книги / Управление большими системами. УБС-2017

Управление организационными и социально-экономическими системами

Задача комплексного оценивания сложных объектов заключается в установлении отображения между пространством сложных объектов и ограниченным множеством действительных значений с помощью механизма комплексного оценивания (МКО):

(1)МКО:О → V R1.

Впрактике решения задач комплексного оценивания себя зарекомендовали матричные механизмы комплексного оценивания, которые разрабатывались, начиная с 80-х годов XX века (см., например, [10, 11 и др.]), и совершенствуются по сей день (см., например, [1–7 и др.]).

2. Матричные механизмы комплексного оценивания

Определение. Матричный механизм комплексного оценивания (ММКО) это механизм комплексного оценивания (1), который задаётся кортежем:

где G – граф, определяющий последовательность агрегирования (свёртки) частных факторов в комплексную оценку, узлам дерева G соответствуют матрицы свёртки;

M – множество матриц свёртки, матрица свёртки является подмножеством декартового произведения шкал качественного оценивания сворачиваемых факторов и шкалы обобщённой, агрегированной оценки;

Q – критериальное (квалиметрическое) пространство, образованное множеством шкал качественного оценивания частных факторов K, промежуточных свёрток и шкалой комплексной оценки V.

Граф G имеет структуру бинарного дерева (рис. 1), листьями которого являются факторы, принадлежащие множеству K, корневая вершина, соединённая 2 рёбрами, является узлом, в котором определяется комплексная оценка v V, остальные вершины графа имеют 3 ребра.

197

221

Управление большими системами. Выпуск XX

v(X1,X2,X3,X4)=mIII(mI(X1,X2), mII(X3,X4))

Рис. 1. Пример графа ММКО для 4 факторов

Бинарная структура дерева (см. рис. 1) объясняется тем, что такая структура соответствует наименьшему количеству элементов матриц свёртки, которые требуется определить для построения ММКО, что было доказано в исследовании [12].

Правило агрегирования пары факторов представляется ввиде матрицы свёртки m M размерностью r × c , где r и c –

максимальное значение шкал оценивания сворачиваемых крите-

риев Хr и Хc (рис. 2).

Размерность матриц свёртки определяется условиями прикладной задачи комплексного оценивания сложных объектов или систем, поэтому все последующие рассуждения будем вести в общем виде, а для единообразия иллюстраций на рисунках будем использовать матрицы свёртки размерностью 4×4.

Элементы матрицы свёртки заполнятся экспертами

с учётом приоритетности тех или иных свойств, где

и – номера строк и столбцов матрицы (см. рис. 2)

соответственно. Другими словами, элементы матрицы определяются экспертами по составным правилам вывода «если критерий и критерий , то их свёртка ».

198

222

Управление организационными и социально-экономическими системами

4

3

2

1

Рис. 2. Пример матрицы свёртки размерностью 4×4 (примечание: здесь и далее начало координат расположено в нижнем правом углу)

Матрица должна быть неубывающей, что может быть вы-

этого в некоторых случаях на целочисленные матрицы свёртки накладывают дополнительное ограничение – разница между соседними по горизонтали и вертикали элементами не должна

Определение. Матричный механизм нечёткого комплексного оценивания (ММНКО) – это механизм комплексного оценивания, который задаётся кортежем:

199

223

Управление большими системами. Выпуск XX

где в отличие от кортежа (2) дополнительно определяются Р – подход к теоретико-множественным операциям над нечёткими множествами и процедура дефаззификации – DF, которая переводит нечёткие переменные на множество действительных значений.

В случае применения ММНКО для оценивания состояния сложного объекта могут применяться лингвистические и нечёткие переменные, т.е. сложный объект описывается в пространстве(символ с тильдой далее будет означать применение

множество, носителем которого является множество Tq, образованное набором термов tq, каждому из которых поставлено в соответствие некоторое значение характеристической функции (с определёнными оговорками можно считать

аналогом лингвистической переменной), – это

нечёткая переменная, носителем которого является действи- тельно-значная шкала , каждому значению которой по-

200

224

Управление организационными и социально-экономическими системами

ставлено в соответствие некоторое значение характеристической функции.

В этом случае задача комплексного оценивания с помощью ММНКО принимает вид установления отображения между пространством сложных объектов и нечётким множеством:

Дефаззификация необходима для сведения задачи (4) к (1):

В случае нечёткого комплексного оценивания аргументы матрицы представлены в нечётком виде, поэтому элемен-

там матрицы соответствуют по два значения функции

принадлежности. Для определения единственного значения функции принадлежности необходимо использовать теорети- ко-множественную операцию пересечения в соответствии с принципом обобщения Заде [15], который в общем случае для двух произвольных нечётких множеств записывается следующим образом:

где – элемент носителей нечётких множеств, и – зна-

чения функций принадлежности элемента каждому нечётко-

му множеству,– операция пересечения (объединения).

Теоретико-множественную операцию объединения необходимо выполнять для элементов матрицы свёртки, имеющих одинаковые значения, которые образуют носитель свёртки в нечётком виде.

201

225

Управление большими системами. Выпуск XX

3. Комплексное оценивание с матрицами свёртки, элементы которых определены в нечётком виде

Элементы матрицы свёртки могут быть определены экспертом (группой экспертов [4]) как дискретные значения шкалы, что соответствует тому, что эксперты высказывают категорические суждения, так и используя теорию нечётких множеств в виде нечётких переменных, что соответствует модальным суждениям эксперта (группы экспертов).

Возможность построения матриц свёртки с нечёткими элементами описана в работе [15]. Там же в [15, c. 181–183] приводятся результаты вычислительного эксперимента и сравнение топологического представления матрицы, полученной в результате транзитивного замыкания на дереве комплексного оценивания [8] с матрицей, топологическое представление которой построено по элементам матрицы в нечётком виде. Близость полученных результатов свидетельствовала о возможности использования матриц свёртки с нечёткими элементами.

В [15] исследовался ММНКО, где процедура Р – максимин

(7)–(8), поэтому в данной работе приведём результаты аналогичного исследования с применением аддитивно-мультиплика- тивного [3] ММНКО (9)–(10).

Результат матричной свёртки будет представлен в виде нечёткой переменной:

(11),

202

226

Управление организационными и социально-экономическими системами

где – это деления шкалы, описываю-

щей свёртку факторов и , элементы матрицы прини-

мают значения из этого интервала, определяется с помо-

щью процедуры Р.

Для представления результата свёртки в виде числа, принадлежащего множеству действительных чисел, в работах [15, 16] предлагается использовать уравнение центра масс, который с учётомпринятыхвданнойработеобозначенийприметвид:

Для перехода от действительных значений к нечётким переменным воспользуемся принятым в [15, 16] опущением, что функция принадлежности нечёткой переменной должна быть не нулевой только на паре ближайших дискретных значений шкалы оценивания и сумма значений функции принадлежности должна равняться единице.

Формально предложенную процедуры фаззификации можно записать следующим образом:

где – целая часть переменной , – остаток переменной ,

значения функции принадлежности при других дискретных значениях шкалы Q равны нулю.

4. Пример комплексного оценивания с матрицами свёртки, элементы которых определены в нечётком виде

Пусть имеется 4-факторный ММНКО, граф которого имеет вид (см. рис. 1), а матрицы свёртки следующие (рис. 4):

203

227

Управление большими системами. Выпуск XX

Определим матрицу транзитивного замыкания при дискретных значениях факторов и

(рис. 5). Для сокращения записи будем использовать запись элементов матрицы свёртки в дефаззифицированном виде.

204

228

Управление организационными и социально-экономическими системами

С помощью аддитивно-мультипликативного подхода, вычислив комплексные оценки по полученной матрице на всей области определения X1, X2, получим поверхность (рис. 6).

Если вычислить комплексные оценки, используя аддитив- но-мультипликативный ММНКО , при всех

значениях и , которые фаззифицируются

согласно (13), а результат комплексного оценивания представить в дефаззифицированном виде согласно (12), то получим поверхность (рис. 7).

Сравнивая полученные зависимости комплексной оценки 4-факторного ММНКО от двух частных факторов (см. рис. 6) и 2-факторного ММНКО (см. рис. 7), видно, что незначительная разница между поверхностями есть, но погрешность по модулю не превышает 6,33 %.

На основании того, что удаётся построить 2-факторный ММНКО. приближенный к многофакторному механизму, можно сделать вывод, что для комплексного оценивания могут использоваться ММНКО с матрицами свёртки, элементы которых определены нечётко или непрерывной оценкой, которая может быть фаззифицирована. Это, в свою очередь, является основанием для того, чтобы применять процедуры активной экспертизы для определения матриц свёртки, в том числе нечёткой активной экспертизы [6].

205

229

Управление большими системами. Выпуск XX

Рис. 6. Зависимость комплексной оценки 4-факторного ММНКО от двух частных факторов X1 и X2, построенная с помощью аддитивно-мультипликативной ММНКО

Рис. 7. Зависимость комплексной оценки 2-факторного ММНКО от двух частных факторов X1 и X2, построенная по матрице транзитивного замыкания с помощью аддитивно-мультипликативной ММНКО

206

230