книги / Математика без формул

еще и первую производную и слишком сложна, чтобы выводить ее здесь.

Точки, в которых выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, — это точки перегиба. В них вторая про­ изводная меняет знак, обращается в нуль. Касательная в таких точках пересекает кривую.

Наконец, еще об одной роли второй производной. Она позволяет рассортировать экстремумы на максимумы и минимумы. Ведь когда их ищут по нулям первой произ­ водной, они становятся неразличимы — первая произ­ водная Ьбращается в нуль и там и тут. Вторая производ­ ная все ставит на свои места. Bot, скажем, максимум. Это макушка выпуклой кривой, а выпуклость — это от­ рицательный знак второй производной. Стало быть, нуль первой производной в сочетании с отрицательным значением второй — безошибочное свидетельство мак­ симума. Точно так же нуль первой Производной в соче­ тании с положительным значением второй — свидетель­ ство минимума.

•

И снова в путь! В путь по той дороге, кбторую мы освоили незадолго до знакомства с производными.

Мы ехали по ней из пункта А в пункт Б и отмечали: рост... максимум... спад... минимум... опять рост... вы­ пуклость... перегиб... вогнутость... После разговора о дифференцировании мы можем разметить знакомый путь дорожными знаками. Ими послужат первая и вторая производные.

И тогда рассказ о рельефе .дороги сократится до компактной таблицы из четырех строк чисел и символов

231

Вас озадачивает эта шифровка? Мы поможем вам прочесть ее и восстановить по ней картину рельефа.

Числа первых двух строк таблицы — это координаты характерных точек — экстремумов и перегибов, отме­ ченных нулями в третьей и четвертой строке соответст­ венно. Их определяют, отыскивая нули первой и второй производных.

: У

Нанесем эти точки на график. В точках перегиба отметим наклон, указанный в соответствующих клетках третьей строки, в точках экстремумов расставим дужки — выпуклые в точках максимума и вогнутые в точках минимума; отличать их друг от друга можно по данным все той же таблицы — либо по знаку второй производной, либо по тому, с какого на какой меняет в этих точках свой знак первая производная.

Теперь остается соединить все эти элементы плавной кривой — и схематический набросок рельефа дороги готов.

Стоит присмотреться к той точке, где нуль первой производной совпал с нулем второй. Это не экстремум, а горизонтальная точка перегиба. В точках экстремума

232

нуль первой производной сочетается с ненулевым зна­ чением второй

•

Всякий раз, когда мы вели разговор о дифференци­ ровании какой-либо функции, на ее графике неизменно присутствовала касательная — наглядный образ произ­ водной.

П рослеж ивая граф ик функции на подходе к точке касания, мы видим, что он все тесйее сближается с ка­ сательной, а на некотором промежутке совсем не от­ личим от нее, хотя общая точка у обеих линий лишь одна: точка касания.

И мы понимаем, что дело здесь не просто в грубости наших чертежных инстру­ ментов. Ведь стоит провес­ ти через ту же точку другую прямую, с другим угловым коэффициентом — и ощу­

щение слитности пропадает, хотя и на этот раз расхож­ дение между кривой и прямой в окрестности их общей точки уменьшается, стремясь к нулю, когда к нулю стре­ мится ширина окрестности.

В чем же здесь дело? Как выразить его суть строгим математическим определением? Чем выделяется каса­ тельная среди всех прямых, проходящих через одну и ту же точку кривой?

Тем, что расхождение между ней и кривой в окрест­ ности точки касания стремится к нулю быстрее, чем ширина окрестности, когда та сужается. С другой пря­ мой — иначе: расхождение между ней и кривой стремит­ ся к нулю почти пропорционально ширине окрестности

Подойдем к делу с другой стороны. Возьмем график какой-нибудь функции, выберем на нем какую-нибудь точку, оградим ее некоторой окрестностью и попытаем­

233

ся провести через эту точку такую прямую, чтобы рас­ хождение между ней и графиком функции по мере сужения окрестности стремилось к нулю быстрее, чем ширина окрестности. Если это удается сделать, функция называется дифференцируемой в данной точке. При этом прямая наилучшего приближения неизбежно ока­ зывается касательной: ее угловой коэффициент равен производной от функции в выбранной точке.

К сожалению, нет правил без исключений. За любую наугад взятую функцию нельзя пору­ читься в том, что она будет дифференцируемой во всякой точке из своей области опре­ деления.

Вот несколько экспонатов из музея исключений.

Как ни прикладывай прямую к уголку, изображенному на первом графике, расхождение между ней и линией графика в окрестности острия не будет вести себя так, как это требует определение дифференцируе­ мости. Стало быть, изображен­ ная здесь функция не диффе­ ренцируема в точке излома.

Неудача обязательно постиг­ нет нас и в той точке, где функ­ ция терпит разрыв (второй гра­ фик). Обратите внимание на этот пример: чтобы быть диф­ ференцируемой в некоторой точке, функции необходимо быть непрерывной в этой точке.

Необходимо, но недостаточ­ но — об этом свидетельствует третий график.

К счастью, элементарные функции, которые служили нам примерами ранее, не доставят

234

нам подобных разочарований. Каждая из нихдифференцируема в каждой точке своей области определения.

Стоит отметить, что производная любой элементар­ ной функции есть функция элементарная: производная логарифма — это гипербола, производная синуса — ко­ синус и так далее

•

После разговора о дифференцируемости естествен­ но поговорить об интегрируемости.

С интегрированием мы познакомились при расчете пройденного пути по переменной скорости. Мы остави­ ли тогда неосвещенной одну неясность. Разделив на несколько промежутков отрезок времени, на котором был задан график мгновенной скорости, мы затем за­ менили кривую лесенкой горизонтальных ступенек. Каж­ дая ступенька располагалась где-то между максималь­ ным и минимальным для своего промежутка значением мгновенной скорости.

Но где именно? Как выбирать ее высоту?

Этот вопрос решается так: если независимо от выбо­ ра (как высоты ступенек, так и точек, которыми интервал делится на промежутки) описанная процедура интегри­ рования всегда приводит к результату и притом к одному и тому же, то такая функция называется интегрируемой.

Интегрирование — операция, гораздо менее прихот­ ливая, нежели дифференцирование. Она применима ко ■сем непрерывным функциям и даже к тем разрывным, которые испытывают конечный разрыв в конечном числе точек.

Однако если дифференцирование элементарных функций всегда приводит опять-таки к элементарным, то для операции, обратной к дифференцированию, то есть для отыскания первообразной функции — такой результат редкость.

Можно составить из элементарных функций совсем нехитрое произведение, частное или суперпозицию, первообразную для которых не выразишь через элемен­ тарные функции, как ни бейся.

235

Здесь можно привести аналогию из алгебры возводя в квадрат целое число, мы всегда получаем целое однако про обратную операцию — извлечение квадрат­ ного корня — такое скажешь не всегда

236

ФУНКЦИИ м н о ги х ПЕРЕМЕННЫХ

Есть такой студенческий анекдот — об экзаменах, о профессоре и студенте. Профессор спрашивает: как измерить высоту небоскреба с помощью барометра? Правильный ответ предполагает, что давление воздуха уменьшается по мере подъема и потому может служить мерой высоты.

Но студент есть студент. Он не знает правильного ответа и пускается в импровизации: «Можно столкнуть барометр с крыши и одновременно включить секундо­ мер; выключить его нужно, услышав удар барометра об асфальт. Искомая высота Н будет определяться по вре­

силы тяжести. Можно привязать барометр к концу бе­ чевки и заставить его колебаться, как маятник. Периоды колебаний будут разные на земле и на крыше небоскре­ ба, потому что ускорение силы тяжести убывает с подъ­ емом над землей, так что высоту небоскреба можно оценить по разности значений д. Можно привязать ба­ рометр к длинной веревке и опустить его с крыши, а потом измерить длину веревки. Но самый лучший спо­ соб — взять барометр и зайти с ним к коменданту здания со словами: «Господин комендант, посмотрите, какой у меня прекрасный барометр. Если вы назовете мне вы­ соту небоскреба, я подарю вам эту красивую вещь».

Не будем гадать, как отреагирует профессор на этот каскад изобретений. Подумаем о другом: если каждый из методов — как профессорский, так и студенческий — в принципе решает поставленную задачу, то какой из них предпочтительнее?

Начнем с первого из методов, предложенных студен­ том.

Известно, что путь, пройденный падающим телом, пропорционален квадрату времени падения. Итак, опре­ деляемая высота есть функция, время падения — аргу­

237

мент, константа пропорциональности — половина уско­ рения силы тяжести. Кстати, чему оно равно? Раскроем справочник... и увидим, что точного ответа на вопрос не существует! Ускорение силы тяжести различно в различ­ ных точках земной поверхности. (Свою роль здесь игра­ ет и сплюснутость земного шара с полюсов, и неравно­ мерное распределение его массы, но выяснять это не входит в наши планы.) Более того, оно меняется с в.ысотой — на этом основан второй способ студента.

Итак, что же получается? С совершенно одинаковых, построенных по типовому проекту небоскребов баро­ метры падают по-разному. И все оттого, что ускорение силы тяжести оказывается величиной переменной. Ока­ зывается, что рядом с переменным временем падения в формуле высоты стоит не константа, не постоянный множитель, а тоже переменная величина. Измеряемая высота оказывается функцией двух переменных.

Но двух ли? Ведь барометр падает не в безвоздушном пространстве, а воздух подтормаживает падение. Так формула пополняется новыми величинами — плотнос­ тью воздуха, аэродинамическими характеристиками ба­ рометра... Пополняется новыми аргументами, ибо каж­ дая из названных величин — величина переменная.

Может быть, к таким сложностям не приводит метод профессора? Здесь расчеты ведутся по так называемой барометрической формуле, которая связывает давле­ ние атмосферного воздуха с высотой точки наблюдения, температурой воздуха, ускорением силы тяжести.. Стоп, стоп! Здесь, как видим, та же история.

Трудности, с которыми мы столкнулись, раздумывая над ответом студента, возникают при исследовании любой проблемы естествознания. Любое явление, если стремиться ко все более полному, все более точному его познанию, оказывается зависящим от .множества факторов, а функции, которые возникают при попытке описать явление математически,-оказываются функция­ ми многих переменных

238

К счастью, влияние того или иного из этого множества факторов, как правило, бывает неравноценным. Без ущерба для выбранной точности расчета многими из них можно пренебречь, некоторые из оставшихся изменя­ ются столь незначительно, что в рамках той же точности их можно положить постоянными. Так от множества факторов остается ограниченное число главных, опре­ деляющих, и не все они оказываются переменными.

Взять хотя бы задачу о небоскребе и падающем с него барометре. Чем меньше высота небоскреба, тем слабее за время падения успеет сказаться подтормаживающее действие воздуха, так что его сопротивлением, возмож­ но, удастся и вовсе пренебречь после надежной оценки. Возможно, что избранная точность расчетов меньше тех долей процента, в пределах которых ускорение силы тяжести меняется от точки к точке земной поверхности или при подъеме на крыши небоскребов, так что его все-таки можно рассматривать как постоянный множи­ тель, а высоту небоскреба — как функцию одного лишь времени падения.

Искусство исследователя, когда он схематизирует яаление и строит его математическую модель, в том и состоит, чтобы сократить до разумного минимума число существенных черт явленцр, учитываемых в модели, сократить число переменных в возникающих при этом функциях — лучше всего до одной-единственной. Тогда математический аппарат исследования исчерпывается функциями одной переменной.

Однако такое бывает не всегда, и возникает потреб­ ность в понятии функции многих переменных. Сформу­ лируем же его.

Если каждой заданной совокупности значений не­ скольких независимых переменных величин, называе­ мых аргументами, ставится в соответствие определен­ ное значение некоторой другой переменной величины, то она называется функцией вышеуказанных аргумен­ тов.

Заметим, что независимость аргументов свойственна и их взаимоотношениям: значение одного не обуслов­ ливает однозначно значения других.

238

•

С увеличением числа аргументов понятие функции сильно усложняется Функции многих переменных — вещи непростые. И в этом можно убедиться на самом прРстом примере этих непростых функций, когда аргу­ ментов всего лишь два.

Обратимся еще раз к знакомой нам задаче о небос­ кребе и барометре, к той простой формуле, с которой начал студент. Посмотрим, как меняется результат из­ мерения высоты в зависимости от времени падения и ускорения силы тяжести.

Слово «посмотрим», естественно вышедшее из-под пера, сразу ставит перед нами проблему: как сделать наглядной функциональную зависимость от двух аргу­ ментов?

Когда функция зависела только от одной переменной, все было просто. На листе бумаги — две координатные оси. Каждая пара чисел «аргумент — функция» опреде­ ляет точку на плоскости. Эти точки сливаются в линию — график функции одной переменной.

Когда функция зависит от двух переменных, то плос­ кость требуется уже для того, чтобы изображать воз­ можные' сочетания двух аргументов. Добавив к каждой такой паре чисел третье — значение функции, — полу­ чаем точку трехмерного пространства. Эти точки слива­ ются, образуя уже не линию, а поверхность.

Как изобразить ее на листе бумаги? Попытаемся сде­ лать это. Но прежде проанализируем, каковы возмож­ ные сочетания аргументов.

Когда функция зависела от одного аргумента, его допустимые значения, как правило, располагались в некотором интервале — конечном или безграничном с одной или обеих сторон. Когда функция зависит от двух переменных, сочетания которых представляются точка­ ми координатной плоскости, допустимые пары аргумен­ тов образуют на ней область определения функции.

В задаче о небоскребе и барометре обе перемен­ ные — и время и ускорение — могут быть лишь положи­ тельными. Область определения функции — высоты не­ боскреба — лежит между положительными полуосями

240