книги / Математика без формул
..pdfванием^ от начала координат до некоторого подвижного верхнего предела. Эти изменения сравним с поворота ми синусоиды.
Покуда косинусоида проходит над осью абсцисс, пло щадь под ней положительна и нарастает, и в соответст вии с этим синусоида, выйдя из начала координат, идет вверх. Высота косинусоиды уменьшается, все меньшие добавки к площади дает увеличение верхнего предела интегрирования, и рост синусоиды замедляется. Коси нусоида ушла под ось абсцисс, добавки к площади стали отрицательными, и синусоида пошла на спад.
И вот в некоторой точке она обратилась в нуль. При смотритесь теперь к графику косинусоиды: вертикаль, соответствующая верхнему пределу интегрирования-, ограничивает справа фигуру, распадающуюся на две части: они равны друг другу, но лежат по разные сторо ны от оси абсцисс, так что их площади имеют разные знаки, поэтому суммарная площадь этой двухлепестко вой фигуры в алгебраическом смысле равна нулю.
Читателю, который чувствует себя вполне освоив шимся с приведенными таблицами, мы хотели бы пред ложить несложную задачу: из функций, встречающихся- в первой таблице, выбрать такие три, чтобы первая была производной от вто рой, а вторая — производ ной от третьей.
Готово? Убедитесь в пра вильности своего выбора.
А теперь смотрите вни мательнее: мы превратим эту тройку в пару.
Понятен ли вам смысл этой записи? Не правда ли, ее расшифровка очевидна: операция дифференциро вания, дважды применен
221
ная к параболе, дает в результате константу.
В подобной очевидности — огромное достоинство символического языка, который Лейбниц разработал для дифференциального и интегрального исчисления.
Итог этого небольшого раздела подведем определе нием: результат двукратного дифференцирования функ ции называется второй производной. Сходным образом определяются третья производная, четвертая и т.д.
•
Воспользуемся еще раз автомобилем, на котором мы так стремительно ворвались в область дифференциаль ного и интегрального исчисления. По графику зависи мости пройденного пути от времени мы построили тогда другой график, который показывал, как зависит от'вре мени мгновенная скорость движения. Он получался из первого дифференцированием — скорость есть произ водная пути по времени.
|
|
|
Взяв этот график, произ |
|||
|
|
|
ведем над ним те же опера |
|||
|
|
|
ции: определим скорость |
|||
|
|
|
изменения скорости, |
най |
||
|
|
|
дем производную от произ |
|||
|
|
|
водной, вторую |
производ |
||
|
|
|
ную пути по времени.^ Коро |
|||
|
|
|
че говоря, найдем ускоре |
|||
|
|
|
ние. Вот он — |
результат |
||
|
|
|
дифференцирования |
ско |
||
|
|
|
рости. |
|
|
|
|
|
|
Ускорение... Месть |
вве |
||
|
|
|
дения этого понятия в меха |
|||
|
|
|
нику принадлежит Галилею. |
|||
|
|
|
Великому физику |
посчас- |
||
0 |
’ |
2 |
3" тливилось — |
он |
шел к |
|
|
|
|
своим выводам от изучения |
движений, которые ускоряются простейшим образом. Он исследовал падение тел и нашел, что все они под воздействием силы тяжести падают на Землю с одним и тем же ускорением, неизменным по ходу падения.
222
Факт замечательный! Располагая им, мы сможем почти автоматически повторить открытия Галилея — ус тановить законы падения тел, то есть определить, по какому графику нарастает со временем путь, пройден ный падающим телом, — пусть это будет, к примеру, камень.
Сконструируем формулировку задачи из уже приме нявшихся картинок И символов Искомый график заме ним картинкой со знаком вопроса, приписав к нему слева знак второй производной. Отметим, что речь идет об ускорении: поставив справа знак равенства и график функции-константы, покажем, что это ускорение извест но нам — оно постоянно, не зависит от времени (рис. ниже).
Такая комбинация уже попадалась нам на одной из предыдущих страниц. Там она не содержала неяснос тей: на месте вопроса была вычерчена парабола. Стало быть, путь, пройденный падающим камнем, растет со временем по закону параболы.
Касательная, проведенная к нашей параболе в начале координат, горизонтальна, ее угловой коэффициент равен нулю. Это значит, что камень начинает падать с нулевой начальной скоростью, без толчка. Именно тако му случаю соответствует найденное нами решение.
Найденному решению можно подыскать наглядное подтверждение, Падающий камень нужно толкнуть вбок. Приданное ему горизонтальное движение сохранится — смещение камня по горизонтали будет нарастать про порционально времени. А вертикальное, как мы уже знаем, пропорционально квадрату времени. Траектория камня будет параболой.
223
•
Особенность только что решенного нами уравнения заключалась в том, что неизвестная функция стояла под знаком производной. Уравнения подобного сорта назы ваются дифференциальными. Порядок наивысшей про изводной, входящей в дифференциальное уравнение, называется его порядком. Например, уравнение, ре шенное нами, — второго порядка.
Найти неизвестную функцию из дифференциального уравнения — значит, как принято говорить, проинтегри ровать его. Если искомая функция найдена, ее называют решением дифференциального уравнения, а ее гра фик — интегральной кривой.
Наконец, еще один термин. Для его пояснения вер немся вновь к задаче Галилея. Она решена нами не полностью. Пока что мы умеем рассчитывать лишь такое падение камня, когда оно начинается без начальной скорости, говоря попросту, когда камень выпущен из рук. А если его подбросить вверх или толкнуть вниз?
В поисках ответа вспомним, как когда-то, найдя пер вообразную для заданной функции, мы сдвигали по строенную кривую вверх и вниз. От таких сдвигов пер вообразная не переставала быть первообразной все для той же исходной функции. И еще подумаем о том, что мыслимы также сдвиги первообразной вправо и влево — это все равно, что изменить начало отсчета аргумента (в нашей задаче — времени падения).
fto Y ?
о
После этого возьмем интегральную кривую, постро енную нами для падения камня без начальной скорости, возьмем эту параболу и, не поворачивая, передвинем ее по координатной плоскости так, чтобы она проходила
224
через начальную точку с должным угловым коэффици ентом, равным начальной скорости, которая придана камню толчком вниз или броском вверх. Оказывается, это и будет решением поставленной задачи.
Сохраняя свою форму, парабола свидетельствует, что законы движения остаются прежними: это все то же равноускоренное падение. Сдвигаясь по координатной плоскости, парабола указывает, что начальные условия движения были иными.
Такое можно сказать про любой процесс: не изменяя ни на миг законам своего течения, он будет все же течь каждый раз по-особому в зависимости от того, каково состояние в начальный момент.
Стало быть, решая дифференциальное уравнение, описывающее процесс, необходимо учитывать началь ные условия.
Изменение начальных условий, как правило, приводит к перестройке интегральной кривой. В задаче Галилея все обошлось простым сдвигом параболы, но это скорее редкое исключение, объясняемое простотой дифферен циального уравнения.
•
Если вы думаете, что дифференциальные уравне ния — это вещи, встреча с которыми в обыденной жизни исключена, то отложите на время эту книгу в сторону, возьмите свой транзистор, включите его и настройтесь на волну, разносящую по эфиру звуки легкой музыки
А пока вы вращаете рычажок настройки, разрешите коротко, в двух словах, прокомментировать ваши дейст вия на языке радиотехники и математики.
Если бы вы заглянули во внутренности своего радиоящика, то обнаружили бы, что рычажок настройки со единен с конденсатором, а тот в свою очередь связан в замкнутую цепь с катушкой и другими деталями, важны ми сейчас для нас лишь тем сопротивлением, которое они оказывают электрическому току.
Конденсатор, катушка, сопротивление — вот радио техническая троица, образующая сердце каждого при емника, колебательный контур. Частоту биений этого
225
сердца, частоту пульсаций заряда на конденсаторе ре гулирует настроечный рычажок; когда она совпадает с частотой передающей станции, приемник по законам резонанса воспроизводит звуки, рассылаемые по эфиру антеннами передатчика.
Как же рассчитать частоту пульсаций заряда? Всякая замкнутая электрическая цепь живет и рабо
тает по закону Кирхгофа: если в цепи нет источников тока, сумма падений напряжения на всех ее участках равна нулю. В нашем контуре таких участков три — конденсатор, сопротивление, катушка.. Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду, на сопротивле нии — току, производной заряда по времени, на катуш ке — производной тока по времени, то есть второй производной заряда. Коэффициентами пропорциональ ности между членами перечисленных пар служат соот ветственно емкость конденсатора, величина сопротив ления, индуктивность катушки.
Определив падение напряжения на каждом'из участ ков цепи, просуммируем их и приравняем к нулю — и вот оно, уравнение, определяющее пульсации заряда!
Заряд входит в него под знаком первой и второй производной. Уравнение получилось дифференциаль ное
226
Вот так нежданно-негаданно на волнах легкой музыки выплыло нечто, что в обыденной жизни, казалось бы встречаться не может — дифференциальное уравнение Мы не хотим утомлять вас перечнем других приборов и явлений. Можете поверить нам на слово там, где
требуется рассчитывать не только некоторые состояния но и изменения состояний, процессы, движения в самом широком смысле слова, — там всюду математик прихо дит к дифференциальным уравнениям
•
«Лишь дифференциальное исчисление дает естество знанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение», — писал Энгельс.
Картина мира, которую нарисовала классическая фи зика, выполнена в технике дифференциальных уравне ний
Завоевывая для математики все более широкие сферы приложения, дифференциальное и интегральное исчисление одновременно наводило порядок и в тылах этой древней науки. Оно давало универсальные и эф фективные методы для решения многих задач, которые по своей статической сути принадлежат к прежней, элементарной математике, но с которыми та не могла совладать.
Элементарная математика знает формулы для объема пирамиды, конуса, шара. Каждая из этих формул далась первооткрывателям приемом оригинальным и неповто римым. Это скорее драгоценные камни, нежели стро ительный материал, из которого можно «смонтировать» общую формулу для объема любого тела.
Как, например, вычислить объем лимона? Задача ка жется неразрешимой.
А между тем каждый из нас делает первый шаг к ее решению, готовя лимон к употреблению, нарезая его на дольки. С того же начал бы и знаток интегрального исчисления, готовясь вычислить объем этого эллипсои да вращения из рода цитрусовых. Объем лимона равен сумме объемов долек; для каждого из них он прибли-
227
женно выражается произведением высоты на площадь основания — либо верхнего, либо нижнего, а можно взять и любую промежуточную величину.
Вэтом нетрудно усмотреть ту же схему интегрирова ния, по которой мы вычисляли площади криволинейных фигур. Под таким углом зрения теперь видна вся дорога до поставленной цели: сначала определить функцию, по которой площадь сечения лимона меняется вдоль его оси, для этой функции найти первообразную и наконец воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница,
Так, в чисто статические на первый взгляд задачи входят движение, переменные величины, а вместе с ними — методы дифференциального и интегрального исчисления. И задачи, не разрешимые в рамках элемен тарной математики, элементарно решаются благодаря новому подходу, суть которого составляют переменные величины.
Недаром вся созданная на их основе математика, обеспечившая становление и развитие классической физики, называется высшей в отличие от прежней, эле ментарной.
Впопулярной книге английского математика Джона Литлвуда «Математическая смесь» есть страничка, где приведена забавная классификация углов из старого ©правочника по альпинизму,
перпендикулярно — 60'; абсолютно перпендикулярно — 65", нависающе — 70‘.
228
Смешно? Смешно. Но этот пример мы привели не тблько ради смеха. Тут есть над чем поразмышлять со всей серьезностью.
65', 70’... Градусами измеряются углы. А углы образу ются двумя прямыми. Но скажите, читатель: видели ли вы когда-нибудь горы' с прямыми склонами, словно у египетских пирамид? Нет? Так что же тогда имеют в виду, когда говорят о наклоне непрямой поверхности или линии?
Оставим пока поверхности в стороне, ограничимся для начала линиями. На какой-нибудь гладкой линии отм!етим точку и спросим: каков в этой точке наклон линии?
Држе если вы не альпинист, ответ у вас, надеемся, готов. Его подсказывает интуиция и содержание предыдущих страниц. В отмеченной точке нужно по строить касательную к кривой. И вот они — две прямые: касательная и горизонталь. Теперь уже можно говорить про угол. А к углу можно приложить транспортир.
Но лучше в качестве меры угла использовать угловой коэффициент касательной, то есть производную. И го ворить: наклон кривой в точке А равен плюс двум, наклон в точке В — минус половине.
Мы описали этими словами изображенное на графи ке. Заметим попутно, что для опытного математика ссылка на график после таких слов становится излиш ней. Он и без картинок представляет, что минус поло вина — это пологий спуск, а плюс два — крутой подъем кривой, если прослеживать ее слева направо.
В таких случаях математик часто обращает внимание не столько на величину чисел, сколько на их знаки. Знак без числа — это, конечно, потеря точности. Но зато
229
прибыль в общности. Ведь если наклон меняется плав но, т0 рост остается ростом на некотором промежутке, а не только в той его точке, где положительная производндя зарегистрировала рост. Положительный знак производной в промежутке — свидетельство возраста ния функции в этом промежутке, отрицательный — сви детельство спада. Производная сменила знак в некото рой точке — значит в этой точке соседствуют участки роста и спада. Значит, это точка экстремума — макси мума или минимума. Спад сменился ростом — минимум. Рост сменился спадом — максимум. (Заметим: если производная существует в точке экстремума, то там она обязательно равна нулю. Это облегчает поиск экстрему мов).
Но расти и снижаться можно по-разному. Рост может становиться все быстрее, а может, наоборот, замед ляться и даже смениться спадом. Спад тоже может либо усиливаться, либо тормозиться и даже перейти в рост. Особенности такого рода мы характеризовали словами «выпуклость» и «вогнутость».
Выпуклость — это замедляющийся рост и нарастаю щий спад. Проследите взглядом ход нашей выпуклой кривой слева направо, в направлении, указанном стрел кой оси абсцисс: наклон кривой уменьшается, уменьщается производная.
А теперь немножко поиграем рловами. Выпуклость — это уменьшение производной. Уменьшение — это отри цательная производная. Уменьшениепроизводной — это отрицательная производная производной. Это отри цательная вторая производная. Итак, выпуклость — это отрицательная вторая производная.
Вдумчивый читатель, конечно, разглядит точный смысл за этой'словесной игрой и согласится с ее ре зультатом: отрицательный знак второй производной — свидетельство выпуклости. Точно так же положительный знак второй производной — свидетельство вогнутости.
Естественно предположить далее, что абсолютная ве личина второй производной может служить мерой кри визны— той скорости, с которой вращается касательная по мере роста аргумента. Предположение верное, од нако точная формула кривизны содержит, кроме второй,
230