книги / Математика без формул

нашей числовой последовательности ограничены снизу что существует число, меньшее любого члена нашей последовательности.

Это, в-четвертых, слово «рекорд». Рекорд Считается таковым лишь в том случае, когда он превосходит предыдущее достижение. Очередной рекордный ре­ зультат в беге на сто метров должен быть меньше прежнего. В этом выражается существенная особен­ ность нашей последовательности: математик назвал бы ее монотонно убывающей, имея под этим в виду, что каждый последующий ее член меньше предыдущего.

Вот теперь все готово для решающего утверждения. В теории последовательностей есть теорема: всякая монотонно убывающая и ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел.

Это значит, что на шкале результатов в беге на сто метров есть отметка, к которой стремится последова­ тельность рекордных достижений. Какую малую окрест­ ность этой отметки ни взять, все члены последователь­ ности, начиная с некоторого, будут лежать в этой ок­ рестности. Заметим, что это вовсе не противоречит утверждению о том, что вечных рекордов не бывает; Ведь последовательность рекордов может стремиться к своему пределу, не достигая его, наподобие «конфет­ ной» последовательности из предыдущего раздела. Если нынешний рекорд отличается от предела на деся­ тую долю секунды, то следующий может отличаться на пять сотых, следующий за ним — на одну сотую, следую­ щий — на пять тысячных... и каждый очередной резуль­ тат будет рекордом, поскольку он меньше предыдущего. Нужно только замерять время с точностью до все более мелких долей секунды.

В заключение напомним, что в своих рассуждениях мы основывались на теореме о существовании предела для всякой монотонно убывающей и ограниченной снизу числовой последовательности. Есть также теорема о том, что предел имеет всякая монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность. Эту теоре­ му мы применили бы, если бы подвергли математичес­ кому разбору, например, рекорды штангистов.

t21

Когда расшифровывались древневавилонские текс­ ты, ученые отметили любопытный факт: терминология и обозначения тогдашних математиков изобиловали сло­ вами шумерского языка, к тому времени давно уже умершего. Подобное наблюдается и сегодня. Раскройте любой труд по математике и вы увидите, как насыщен современный математический лексикон заимствова­ ниями из мертвых языков — латинского, древнегречес­ кого. Такие термины хороши тем, что содержат лишь заложенное в них определениями и не вызывают неже­ лательных ассоциаций, чего можно было бы опасаться, будь они взяты из разговорной речи.

(номер члена последовательности)

Произнося слово «постоянная», математик напишет «const», да и прочтет это сокращение, возможно, тоже по латыни: «константа», что значит в переводе «постоянная». Показательную функцию (скоро мы будем говорить о ней) он назовет экспонентой и в ряде случаев обозначит ехр — начальными буквами латинского слова «ехропеге», то есть «выставлять напоказ», а обозначая предел, сократит до трех букв его латинское название «limes».

«Теперь сходитесь». Хладнокровно, Еще не целя, два врага Походкой твердой, тихо, ровно Четыре перешли шага, Четыре смертные ступени.

Свой пистолет тогда Евгений, Не преставая наступать, Стал первый тихо подымать. Вот пять шагов еще ступили,

122

И Ленский, жмуря левый глаз,

Стал тоже целить...

Не пугайтесь, ради бога, не пугайтесь, читатель! Ро­ ковой выстрел, сразивший Ленского, не прозвучит на этой странице. Эти пушкинские строки, этот отрывок из «Евгения Онегина» мы привели исключительно как повод для разговора о том, какое важное значение для мате­ матики имеет понятие предела.

О

Перед вами несколько окружностей. Как граненый ствол старинного дуэльного пистолета охватывает чер­ ный кружок дула, так каждую из этих окружностей охва­ тывает описанный правильный многоугольник. Внутри каждой окружности — правильный вписанный много­ угольник с тем же числом сторон.

Прослеживая этот ряд слева направо, вы видите, что число сторон у многоугольников-растет: три, четыре, пять, шесть...

Посмотрим, что происходит при этом с периметрами вписанных и описанных фигур. Если отложить их на числовой прямой, засечки будут сходиться, как дуэлян­ ты.

Но можно ли понимать эту сходимость в том же строгом смысле, в каком мы говорим о сходимости последовательностей? Существует ли предел, к которо­ му стремится последовательность периметров, скажем, вписанных многоугольников? А описанных?

123.

Оказывается, и тот и другой предел существует. Возь­ мем периметры описанных фигур. Их последователь­ ность монотонно убывает. К тому же она ограничена снизу — например, периметром любого из вписанных многоугольников, хотя бы квадрата. Значит, эта после­ довательность имеет предел. Сходится и последова­ тельность вписанных фигур: ведь она монотонно воз­ растает и ограничена сверху — хотя бы периметром описанного квадрата.

Но что это? Последовательности, разговор о которых мы начали с описания дуэли на пистолетах, сходятся, словно противники, решившие схватиться врукопаш­ ную. Похоже, что они сходятся к одному пределу.

Мельчась в изломах своих сторон, описанные много­ угольники все плотнее облегают окружность, все теснее прижимаются к ней вписанные. Периметры тех и других можно рассматривать как все более точные приближе­ ния длины окружности., а общий предел периметров — как точное значение этой длины.

Замечательно, что с помощью той же процедуры оп­ ределяется длина других кривых: с этой целью исследу­ ется, как ведут себя длины ломаных, вписанных в кри­ вую, звенья которых укорачиваются неограниченно, стремятся к нулю.

Уже этот пример показывает, какое важное значение для математики имеет приятие предела.

Когда требуется определить некоторую величину, сначала можно оценить ее приближенно, затем рас­ смотреть еще ряд приближений все более точных, а потом, исследуя уже сам процесс приближения, найти искомую величину как предел последовательности ее приближенных, все более уточняющихся оценок.

Определить искомую величину другим из известных способов часто оказывается делом значительно более трудным или попросту невозможным. Например, не из­

124

члены нашего ряда — числа (три, пять, два...). Такие ряды называются числовыми.

С годами мальчик становится юношей, юноша — муж­ чиной. Отметки на дверном косяке сближаются, и с некоторого времени их перестают ставить. Не потому, что обычай забыт, а потому, что пропадает интерес: отметки сливаются, ложась во все более тесную окрест­ ность предельного роста.

Математик сказал бы, что последовательность значе­ ний роста, отмеченных на дверном косяке, имеет пре­ дел. Илисказал бы так: ряд сходится. А поскольку значения роста представляют собой частичные суммы ряда, математик мог бы попутно высказать такое опре­ деление: ряд называется сходящимся, если последова­ тельность его частичных сумм имеет предел; этот пре­ дел и называется суммой ряда. Если же у последова­ тельности частичных сумм нет предела, то ряд называ­ ется расходящимся.

Итак, последовательность значений роста сходится. А что можно сказать про последовательность приростов от года к году?

Понятно, что члены этой последовательности убыва­ ют, стремясь к нулю. Будь иначе, человек рос бы неог­ раниченно. Убывание членов ряда необходимо для его сходимости. Необходимо, но недостаточно.

Как вы думаете, что было бы, если бы ребенок за первый год вырос на дециметр, за второй — на полде­ циметра, за третий — на треть, за четвертый — на чет­ верть и так далее? До какого роста вырос бы сын?

Опираясь на утверждения соответствующего раздела математики, мы со всей ответственностью заявляем, что такой ребенок, живи он вечно, со временем перерос бы любую наперед заданную гору.

Убывания слагаемых еще недостаточно для сходи­ мости ряда. Они должны убывать достаточно быстро.

Насколько быстро — об этом говорят признаки сходи­ мости рядов.

126

•

Свои незаурядные математические способности не­ мецкий математик и физик Карл Фридрих Гаусс обнару­ жил в раннем детстве.

Ученикам класса, в котором он учился, учитель однаж­ ды задал вопрос: «Сколько будет, если сложить все целые числа от одного до двадцати?»

Не прошло и несколько минут, как Гаусс крикнул: «Нашел — двести десять!»

«Как тебе это удалось?» — спросил изумленный учи­ тель. И Гаусс рассказал о своей догадке: если сложить первый член заданного ряда чисел с последним, полу­ чится столько же, если сложить второй с предпоследним или третий с третьим от конца... Иными словами, члены ряда, равноотстоящие.от его концов, в сумме всегда дают одно и то же число — двадцать один. Всего таких сумм — десять. Ответ на поставленную задачу теперь получается перемножением двух этих чисел.

Мы поведали эту историю исключительно для того, чтобы сказать, что ни о чем подобном мы больше гово­ рить не будем.

В школьной математике изучаются арифметические прогрессии (то есть такие последовательности чисел, в которых разность двух соседних равна постоянному числу) и прогрессии геометрические (то есть такие последовательности чисел, в которых отношение двух соседних равно постоянному числу). Даются формулы, позволяющие вычислить сумму конечного числа членов той и другой прогрессии.

Ничем подобным мы заниматься не будем. В нашем рассказе не встретятся больше слова «последний член», «конец ряда». Нас будут интересовать бесконечные ряды.

Нельзя сказать, что наш рассказ при этом целиком будет лежать за пределами школьной математики. Ведь в ней тоже однажды встречается бесконечный ряд. Мы имеем в виду бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

127

О ней-то мы и поговорим сейчас. Как повелось, объ­ ясняться мы будем не на языке формул, а на языке рисунков.

В равнобедренный треугольник вписан круг. В про­ странство над ним — второй круг, касающийся первого и боковых сторон треугольника. В пространство над вторым кругом' — третий. Так весь угол при вершине треугольника заполняется последовательностью круж­ ков все меньшего радиуса. Их число не ограничено.

Если провести горизонталь Амежду первыми двумя круга­ ми, она отсечет от треуголь­ ника ему подобный. Законы подобия подсказывают: диа­ метр второго кружка так от­ носится к диаметру первого, как диаметр третьего к диа­ метру второго и так далее.

Это постоянное отношение меньше единицы. Диаметры кружков образуют беско­ нечно убывающую геометрическую прогрессию.

А теперь вопрос: что будет, если последовательно складывать диаметры кругов? Чему равна сумма такого бесконечного ряда?

Цели вы забыли школьную формулу для суммы беско­ нечно убывающей геометрической прогрессии, не огор­ чайтесь. В этом примере можно обойтись без формул. Нужно лишь повернуть все круги так, чтобы их диаметры стали вертикальными. Бесконечная сумма оказывается равной вполне конечной величине — высоте треуголь­ ника.

И вы снова убедитесь в том, что бесконечная сумма членов некоторой последовательности может состав­ лять вполне конечную величину.

Нам показалось необходимым подчеркнуть это после разговора о предельном росте человека. Тогда у чита­ теля, чего доброго, могло сложиться впечатление, будто предел роста существует лишь потому, что с некоторого возраста рост прекращается, приросты становятся рав­ ными нулю. Теперь в истории со вписанными кругами ни один из суммируемых диаметров не равен нулю, и тем не менее частичные суммы их ряда стремятся к

128

пределу. Все дело в том, что члены ряда стремятся к нулю достаточно быстро.

Ряды, рассматриваемые в математике, — это не про­ сто наборы наудачу взятых чисел. Члены ряда строятся по определенному закону.

Вот так называемый гармонический ряд, описанный нами на словах в истории с мальчиком-великаном.

+

Мы уже знаем, что суммирование этого ряда не ведет к конечному результату. Гармонический ряд расходится, его частичные суммы нарастают безгранично.

Адот другой ряд, уже сходящийся. Его суммирование дает знаменитое число е, столь же популярное в мате­ матике, как и число я:

В той и другой строчке чисел обратите внимание на слагаемое, огражденное отточиями. Это так называе­ мый общий член ряда. Он-то и служит выражением закономерности, по которой строится ряд. Подставив вместо п конкретное число, мы получим величину сла­ гаемого с таким номером. В первом случае для этого нужно разделить единицу на номер слагаемого, во вто­ ром единица делится на произведение всех целых чисел от единицы да п (такое произведение и обозначается символом л!).

Закономерность, по которой строится ряд, — залог лаконичной его записи. Вместо длинной цепочки чисел математик пишет выражение для общего члена ряда и перед ним ставит заглавную греческую букву «сигма», обозначающую суммирование.

Если сверху и снизу к этой красивой букве приписаны числа, это значит, что речь идет о частичной сумме ряда. Приписки — это номера первого и последнего слагае-

129

мого частичной суммы, так называемые пределы сум­ мирования — нижний и верхний.

Но если над знаком суммирования вы увидите зна­ чок с», не принимайте его за поваленную набок восьмер­

сумм, как мы уже знаем, и называют суммой ряда.

Наблюдательный читатель, конечно, припоминает, что знак бесконечности уже встречался ему на предыдущих страницах — в обозначении предела последовательнос­ ти. Там этот знак выражал неограниченное возрастание индекса. _

Это воспоминание дает нам повод еще раз подчерк­ нуть: бесконечность — не число, ее знак — не цифра, а символ, подразумевающий предельный переход. Об этом следует помнить ввиду многочисленных злоупот­ реблений словечком «бесконечность», чем нередко гре­ шат люди, знакомые с математикой лишь понаслышке.

•

Видали ли вы, как молодой неопытный продавец взве­ шивает — ну, например, полкилограмма сахарного песку?

Два взмаха совком — и пакет с песком на весах. Перебор. Стрелка ушла за семьсот граммов. Приходит­ ся отсыпать. Совок вычерпывает из пакета добрую по­ ловину содержимого, и пакет вновь на весах. На сей раз -меньше, чем нужно. Еще одно движение совком. Изли-

130