книги / Математика без формул

обладает ни один предмет, который этому множеству не принадлежит. Прйнадлежность предмета данному мно­ жеству тогда можно выразить, сказав, что он обладает данным свойством.

Поистине незаменим этот способ, когда элементы множества просто невозможно перечислить каким-либо списком, даже оборванным словами «и так далее».

Взять хотя бы уже упоминавшееся по этому поводу множество всех вещественных чисел между нулем и единицей (включительно). Написав эту фразу, мы, соб­ ственно, и указали характеристическое свойство эле­ ментов этого числового множества: каждое принадле­ жащее ему число неотрицательно и в то же время не превосходит единицы. Можно было бы заменить сло­ весное описание формульным (0 < х < 1), но суть дела осталась бы прежней.

Другой пример — окружность. Про нее говорят так: множество точек, удаленных от центра на расстояние, равное радиусу. И в этом выражается определяющее свойство элементов этого точечного множества.•

•

Делу время — потехе час.

Дел у нас с вами, читатель, еще много, а вот для развлечений может не выкроиться ни минутку. Поэтому отведем забавам хотя бы эту страничку.

Давайте сыграем в слова. Правила игры предельно просты: берется какое-то слово, и из его букв образу­ ются новые слова.

Не будем лазить за исходным словом в карман: нам вполне подойдет заголовок этой главы.

МНОЖЕСТВА

нож

нос

сон

стон

жена

манеж

жетон

монета

31

жеманство А теперь, читатель, забавы в сторону — займемся

делом.

Каждое из выписанных в столбик слов будем рассмат­ ривать как множество букв. По правилам игры буквы каждого новообразованного слова в этом столбике чер­ пались из исходного слова. Иначе говоря, любой эле­ мент каждого нового множества букв принадлежит ис­ ходному буквенному множеству.

Говорят, что некоторое множество включается в дру­ гое, если каждый элемент первого множества является также элементом другого. При этом первое множество называется подмножеством (или частью) второго.

Согласно сказанному, множество букв слова «жетон» является подмножеством (или частью) множества букв слова «множества», множество букв слова «нож» вклю­ чается во множество букв слова «жетон» и т. п.

{Н, О Ж) с {М, Н О, Ж, Е, С, Т, В, А)

/

символ включения

{Ж, Е, Т, Q, И) с {М, И, О, Ж, Е, С, Т, В, А) {И, О, Ж) с {Ж, Е, Т, О, Н)

Нетрудно подобрать и математические примеры включения множеств. Совсем неравно мы говорили, что всякое натуральное число есть число вещественное, принадлежит их множеству. А это и означает, что мно­ жество натуральных чисел включено во множество ве­ щественных. С другой стороны, множество натуральных чисел включает в себя множество нечетных чисел, а оно включает в себя множество простых (если не считать двойку; напомним,'что натуральное число называется простым, если делится лишь на себя и на единицу, иными словами, не разложимо на множители). Множе*- ство прямоугольников включается во множество парал­ лелограммов, а оно, в свою очередь, является частью множества четырехугольников.

То, что одно какое-то множество является частью другого, иногда совершенно очевидно. Так, например, дело обстоит в случае с прямоугольниками и паралле­ лограммами. Определяющее свойство параллелограм-

32

ма — параллельность противоположных сторон. Всякий прямоугольник обладает таким свойством и, стало быть, принадлежит множеству параллелограммов.

Но иногда включение одного множества в другое приходится доказывать. Не всякому, быть может, оче­ видно,что любое простое число (кроме двойки) нечетно. А между Уем обосновать это просто. Ведь если бы оно было четным, то оно делилось бы на два, то есть на число, не равное ни ему самому, ни единице, и, стало быть, не было бы простым.

•

Просмотрим теперь еще раз список слов, извлечен­ ных нами из слова «множества». Наша самая большая удача — это, несомненно, слово «жеманство». Будучи образовано по всем правилам нашей игры, оно как множество букв включается в исходное слово «множе­ ства». Гордимся же мы им потому, что оно также и- включаете себя исходное слово. Действительно, каждая буква слова «множества» принадлежит множеству букв слова «жеманство».

{Ж, Е, М, А, Н, С, Т, В, О} с {М, Н, О, ж , Е, С, Т, В, А) (М, Н, О, Ж, Е, С, Т, В, AJ. £ {Ж, Е, М, А, Н, С, Т, В, О) {Ж, Е, М, А, Н, С, Т, В, 0 } = {М, Н, О, Ж, Е, С, Т, В, А)

Иными словами, каждое из этих двух множеств явля­ ется подмножеством другого. Причина такой взаимнос­ ти понятна: оба буквенных множества состоят из одних и тех же элементов. Про такие множества говорят, что они равны друг другу. А выражаясь строго, два множе-. ства называются равными, если одно включается в дру­ гое, и наоборот, то есть если оба состоят из одних и тех же элементов.

Попробуем и на этот счет подобрать пример из мате­ матики. Давайте рассмотрим два множества геометри­ ческих фигур множество равносторонних треугольни­ ков и множество равноугольных треугольников. Есть такая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Следовательно, каждый равносто­

33

ронний треугольник является равноугольным, то есть наше первое множество фигур (равносторонние тре­ угольники) включается во второе (равноугольные тре­ угольники). Но есть и такая теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Следова­ тельно, каждый равноугольный треугольник — равносто­ ронний, то есть и второе множество фигур включается в первое Итак, оба множества равны друг другу.

Общеизвестно: всякая селедка — рыба, но не всякая рыба — селедка.

Ясно, что в этой поговорке речь идет о двух множест­ вах — множестве рыб вообще и множестве селедок в частности.

Поскольку всякая селедка — рыба, множество селе­ док включено во множество рыб.

Символ строгого включения

Но не всякая рыба — селедка. Иными словами, во множестве рыб существует хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству селедок, ну, скажем, лещ или щука. В подобных случаях говорят не просто о включении, а о строгом включении.

Точно так же'множество пешек строго включено во множество шахматных фигур, множество простых чисел — во множество натуральных чисел, множество квадратов — во множество прямоугольников.

Некоторое множество, строго включенное в другое, называется его истинным, или собственным, подмноже­ ством (а не просто подмножеством, как говорили мы в случае нестрогого включения).

Итак, множество селедок есть истинное-подмножест­ во множества рыб, множество простых чисел — истин­ ное подмножество натурального ряда и т. д.

34

•

Помните загадку-шутку: два отца и два сына, а всего трое — как такое может быть?

По-видимому, вы знаете ответ: это мальчик, его отец и его дед. Но даже если это известно, остается пораз­ мышлять вот над чем: в чем, собственно, парадоксаль­ ность загадки?

Да в том, что речь тут идет совсем не о числах (иначе загадка не имела бы решения: два плюс два никак не равно трем). Суть дела относится к теории множеств.

ментов, которые принад­ лежат либо первому; либо второму множеству, то есть

хотя бы одному из них — множеству отцов или множе­ ству сыновей.

Когда новое множество строится из исходных по та­ кому правилу, то оно называется объединением исход­ ных множеств.

Итак, множество, состоящее из мальчика, его отца и его деда, есть объединение множества отцов и множе­ ства сыновей.

Отец мальчика принадлежит обоим. Но в их объеди­ нение он входит только один раз, иначе это противоре­ чило бы понятию «множества»: ни один элемент не может содержаться в нем несколько раз. Так и объясня­ ется парадокс, которым озадачивает шутка про двух отцов и двух сыновей.

35

Чтобы получше рассмотреть смысл нового понятия — объединения множеств, — возьмем бинокль.

Поглядите в левый окуляр и запомните все, что видно в него. Потом в правый окуляр. А теперь глядите в оба — что видите вы на этот раз? Все то, что попадает в поле зрения либо левого, либо правого окуляра.

Применяя уже знакомый нам термин, можно сказать, что множество точек характерной фигуры, напоминаю­ щей поваленную на бок восьмерку, есть объединение двух точечных множеств — двух накладывающихся друг на друга кругов.

Идею объединения множеств можно усмотреть во многих математических формулировках. Новый пример будет связан с понятием абсолютной величины дейст­ вительного числа. Как она определяется? Если число неотрицательное, то его абсолютная величина совпада­ ет с ним самим. Скажем, абсолютная величина десяти равна десяти. Абсолютная величина нуля равна нулю. А чтобы получить абсолютную величину отрицательного числа, надо взять его с обратным знаком. Скажем, абсолютная величина минус семи равна семи. (Заметим попутно, что абсолютная величина любого числа в силу данного определения не может быть отрицательной).

Зная это, разберемся теперь, что означает выраже­ ние: «Множество чисел, по абсолютной величине боль­ ших единицы». Очевидно, все элементы этого числового множества — это либо положительный числа, большие единицы, либо отрицательные числа, меньшие минус единицы. Налицо объединение двух числовых множеств.

Поглядите еще раз в наш бинокль, читатель, да по­ внимательней.

Замечаете ли вы, что отнюдь не все предметы, кото­ рые видны в него, выглядят выпуклыми, объемными?

Дело в том, что объемность появляется у них лише тогда, когда человек глядит на них обоими глазами. Недаром физиологи называют объемное зрение бино­ кулярным (так сказать, «зрением в два глаза»)

36

А и В

А и В читается: объединение множества А и множества В

В поле зрения бинокля попробуем очертить тот учас­ ток, где предметы смотрятся выпуклыми. Очевидно, это будет та луночка, по которой перекрываются круговые поля зрения левого и правого окуляра.

А пВ

Ап,В читается: пересечение множества А и множества В

Придадим нашему выводу теоретико-множественное звучание. Мы взяли два множества (поля зрения двух окуляров) и образовали из них третье. Определяющий признак этого третьего множества в том, 4V0 состоит оно из всех тех и только тех элементов (в данном случае точек), которые принадлежат и первому и второму мно­ жеству.

Когда новое множество строится из исходных по та­ кому правилу, то оно называется пересечением исход­ ных множеств.

После этого интересно вновь рассмотреть поставлен­ ную в предыдущем разделе проблему отцов и детей. Мы уже отмечали, что отец мальчика принадлежит и множе­ ству отцов, и множеству сыновей. Теперь мы можем выразиться более научно: единичное множество «отец ребенка» есть пересечение множества отцов и множе­ ства сыновей.

О множестве вещественных чисел, больших нуля и меньших единицы, можно сказать, что это пересечение множества вещественных чисел, больших нуля, и мно­ жества вещественных чисел, меньших единицы. О мно­ жестве квадратов — что это пересечение множества прямоугольников и множества ромбов (если читателю

38

это не кажется очевидным, пусть он попытается дока­ зать это строго).

•

Рассерженный малыш, адресуясь к коллегам по пе­ сочнице, делает гневное заявление: «Отдайте мне мои игрушки — я с вами больше не играю».

Нет сомнения: через несколько минут дети помирятся и будут по-прежнему лепить куличики. И если мы' при­ влекаем внимание читателя к мимолетному конфликту, то лишь для того, чтобы назвать вещи своими теорети­ ко-множественными именами.

Речь здесь идет о двух множествах: множестве всех игрушек в песочнице и множестве игрушек, которые принадлежат обидевшемуся малышу. Очевидно, он вынес на улицу не все свое игрушечное хозяйство — часть осталась дома. Говоря «мои игрушки», он подра­ зумевает пересечение первого множества (все игрушки в песочнице) и второго (его игрушки в целом).

Есть свое имя и для множества всех остальных игру­ шек в песочнице. Это разность первого и второго мно­ жеств.

А \В

А\В читается: разность множества А и множества В

Если же говорить более общо, имея в виду два про­ извольных множества, то определение их разности та­

39

ково: она состоит из всех тех и только тех элементов первого множества, которое не принадлежит второму.

Сейчас чрезвычайно популярны тесты — от серьез­ ных, научно обоснованных, с помощью которых опреде­ ляют пригодность к той или иной профессии, до про­ стеньких, шуточных, наполняющих развлекательные от­ делы популярных журналов. Не отстанем от века и мы. Дано:

Требуется дополнить каждую картинку непрерывной линией Так, чтобы получились изображения хорошо из­ вестных предметов.

Отгадки, которые мы имели в виду, выглядят так: гриб, гаечный ключ, кость домино «один — пусто».

с = е

Если вновь обратиться к теории множеств (для разъ­

гадочном наброске, сохра­

40