книги / Математика без формул

вие с числами натурального ряда. Всякое такое множе­ ство называется счетным.

Нетрудно показать, что счетным является, например, множество всех дробей. Для этого их достаточно рас­ положить в таблицу так, чтобы числитель каждой дроби совпадал с номером ряда, в котором она находится, а

знаменатель — с номером столбца. А потом остается пронумеровать все дроби по схеме, приведенной на стр. 29.

Континуум (множество всех вещественных чисел между нулем и единицей включительно) и натуральныйряд (множество всех положительных целых чисел) в подобных сопоставлениях играют роль эталонов.

У дотошного читателя может возникнуть вопрос, а как эти два эталона соотносятся между собой?

Оказывается, хотя оба множества и бесконечны, но бесконечности эти разные. Множества эти неэквива­ лентны.

На числовой оси нетрудно показать, как из множества положительных вещественных чисел, не превосходящих единицы, можно выделить подмножество, эквивалент­ ное натуральному ряду; пусть единице соответствует единица, двойке — одна вторая, тройке — одна третья и так далее.

81

Но перенумеровать все точки единичного отоезка невозможно.

Соотношение между этими бесконечными множества­ ми — натуральным рядом и континуумом — примерно такое же, как между двумя конечными множествами, например с пятью и десятью элементами. Из десятка всегда можно выделить пяток, из пятка десяток— никог­ да.

Когда некоторому конечному множеству можно поста­ вить во взаимно однозначное соответствие часть друго­ го конечного множества (или, выражаясь-строго, истин­ ное подмножество другого конечного множества), гово­ рят, что численность первого множества меньше чис­ ленности второго. Скажем, если в первом пять, а во втором десять элементов, то на языке чисел сказанное выразится так: 5<10 (пять меньше десяти).

Когда же два конечных множества эквивалентны, то есть между ними можно установить взаимно однознач­ ное соответствие, говорят, что они равночисленны. Ска­ жем, если в каждом по пять элементов, то факт их равночисленности выражается равенством: 5 = 5 (пять равно пяти).

В мире бесконечных множеств при подобных сравне­ ниях применяется иная терминология. Здесь не говорят

численность, а говорят мощность.

Если-два бесконечных множества эквивалентны, то есть между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, то их называют равномощ­ ными, или имеющими одинаковую мощность. Если же одно бесконечное множество эквивалентно истинному подмножеству другого, а в обратную сторону такой эк­ вивалентности установить уже нельзя, говорят, что мощ­ ность первого множества меньше мощности второго.

Таким образом,понятие мощности бесконечного мно­ жества представляет собой обобщение понятия числен­ ности, применимого лишь к конечным множествам.

82

ОТНОШЕНИЯ

Брат моей жены — кто он мне? Деверь? Шурин? А кто такая золовка? А свояченица?

Непросто разобраться в тонкостях родственных отно­ шений. Хорошо бы подвергнуть их математическому анализу, но таких исследований, насколько нам извест­ но, еще никто не предпринимал. Поэтому мы изложим здесь самые простые соображения на этот счет.

Большую семью, представленную замысловатой схе­ мой, будем рассматривать как некоторое множество. Исследуем для начала какое-то одно отношение, спо­ собное связать лишь два элемента нашего множества (такое отношение называется бинарным). Например, такое: «х есть брат у».

Прослеживая горизонтальные линии схемы, отберем все те пары представителей исследуемой нами семьи, для которых употребимо слово «брат». Например, Иван Петрович есть брат Петра Петровича, Владимир Васи­ льевич — брат Зинаиды Васильевны, Миша — брат Маши.

Очевидно, подобные высказывания могут утратить смысл от перестановки имен. Миша — брат Маши, но неверно, что Маша — брат Миши.

Итак, речь идет о парах упорядоченных.

Разговор о таких парах у нас заходит уже не в первый раз. Множество всевозможных упорядоченных пар, со­ ставленных из элементов некоторого множества, мы привыкли называть произведением этого множества на себя. В данном случае на себя умножается множество родственников.

Отбирая среди всех возможных пар лишь те, для которых употребимо слово «брат», мы тем самым выде­ лили из произведения множества родственников на себя некоторое его подмножество. Перечень отобран­ ных пар составил исчерпывающий рассказ об отноше­ нии «х есть брат у» среди членов исследуемой нами семьи.

84

Оказывается, таким образом можно полностью оха­ рактеризовать любое бинарное отношение, определен­ ное на любом множестве: надо лишь перечислить все такие пары элементов множества, в каждой из которых первый элемент находится в данном отношении ко вто­ рому. Поэтому и говорят: всякое бинарное отношение, определенное на том или ином множестве, есть некото­ рое подмножество произведения этого множества на себя.

Среди всевозможных отношений, которыми можно связать элементы того или иного множества, могут быть и такие, которые охватывают не два, а больше элемен­ тов. Скажем, три — их называют тернарными. Это, на­ пример, отношение между родителями и ребенком. В большой семье, представленной нашей схемой, это отношение связывает Ивана Петровича, Ольгу Никола­ евну и Машу, Мишу, Люсю и Андрейку. Чтобы описать отношение между свояками, мы уже должны упоминать сразу по четыре элемента множества родственников (сами свояки и их жены, доводящиеся друг другу сестра­ ми).

Ясно, что бинарные отношения проще тернарных и прочих. Ими и занимаются больше. Их, как правило, и имеют в виду, используя термин «отношение». Для не­ которых наиболее употребительных в математике би­ нарных отношений введены специальные обозначения: х < у (х меньше у ),х = у (х равно у), х < у (х меньше или равно у), х ~ у (х эквивалентно у) и т.д.

•

Любой, даже малосведущий в медицине читатель знает: кровь каждого человека относится к одной из четырех групп.

Это существенно осложняет переливание крови от одного человека другому: надо быть уверенным, что кровь первого подойдет второму.

Отношения совместимости между группами крови не­ просты. Кровь первой группы можно переливать любо­ му. Люди с кровью второй группы могут быть донорами лишь для обладателей такой же крови и для людей с

86

кровью четвертой группы. То же можно сказать и про кровь третьей группы: она совместима лишь с собой и с кровью четвертой группы. Наконец, обладатели крови четвертой группы могут давать свою кровь лишь таким же, как они.

Перед нами — еще один пример бинарного отноше­ ния. Оно определено на множестве, элементы которо­ го — группы крови.

Если сказанное словами перевести на язык чисел, то получится, что число 1 находится в описанном отноше­ нии к числам 1, 2, 3, 4; число 2 — к числам 2 и 4; число 3 — к числам 3 и 4; число 4 — лишь к самому себе. Можно выразиться еще короче: описанное отношение полнос­ тью характеризуется числовыми парами (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4).

Но, пожалуй, наиболее лаконичное выражение ска­ занному выше дает приведенная рядом картинка, где в числовой сетке жирными точками отмечены все только

что перечисленные пары чисел. (Первое число каждой пары откладывается по нижнему горизонтальному обре­ зу сетки, второе — по левому вертикальному).

Кстати, перечень всех пар элементов множества, на­ ходящихся между собой в некотором отношении, назы­ вается графиком этого отношения. Мы намеренно при­ берегли этот термин до разговора об отношениях между числами, поскольку именно в этом случае графики от­ ношений выражаются сообразными этому слову нагляд­ ными картинками.-

87

В той сетке, на которой мы изобразили отношение совместимости между группами крови, нетрудно раз­ глядеть фрагмент двумерной системы координат. Возь­ мем ее целиком. Пары чисел, находящихся в каком-либо отношении, будем изображать точками плоскости. Пер­ вое число пары будем откладывать по оси х (обозначая той же буквой), второе — по оси у (обозначая соответ­ ственно).

Для примера рассмотрим на множестве веществен­ ных чисел бинарное отношение «х равно у». Его гра­ фик — прямая линия, биссектриса угла между коорди­ натными осями.

Теперь рассмотрим на множестве всех вещественных чисел бинарное отношение «х меньше у». Графиком для него служит часть координатной плоскости, лежащая кверху от только что построенной биссектрисы.

Собственно говоря, на координатной плоскости таким способом можноизобразить любое бинарное отноше­ ние между числами. Возникший при этом график будет представлять собой некоторую фигуру, более или менее замысловатую. И наоборот, всякую фигуру на коорди­ натной плоскости можно трактовать как график некото­ рого бинарного отношения между числами. Если точка плоскости принадлежит этой фигуре, то первый элемент пары чисел, выражающей координаты точки, находится в данном отношении ко второму элементу.

Так перекидывается своеобразный мост между алгеб­ рой и геометрией: числовые отношения становятся гео­ метрическими фигурами, фигуры же можно описывать на языке чисел. Желающих поупражняться в этом мы

88

отсылаем к рисункам, где графиками числовых отноше­ ний выступают круг и квадрат.

Сходство между словосочетаниями «график отноше­ ния» и «график функции» довольно глубокое, как выяс­ нилось в предыдущем разделе. Но есть между ними и различия.

Иллюстрируя понятие функции, обычно рисуют кри­ вую в координатных осях. Причем такую, что любая пересекающая ее вертикаль имеет с ней лишь одну общую точку.

Графиком отношения между числами может быть любая фигура на плоскости.

Различие понять нетрудно. Вспомним определение функции: каждому значению аргумента ставится в соот­ ветствие только одно ее зна­ чение. Поэтому среди пар «значение аргумента — зна­ чение ф ункции» (полны й набор, которых и есть график функции) нет таких, у которых одинаковы первые элементы и различны вторые.

Для графиков отношений таких ограничений нет.

Потому и говорят: функция есть частный случай бинарно­ го отношения.

89

Вспоминая понятия отображения, операции и т.п., родственные понятию функции, можно сказать, что и они включаются как частности в понятие отношения.

Взять хотя бы операцию сложения. На уроках ариф­ метики нам давали такое ее определение: сложить два числа х и у означает поставить им в соответствие третье число z, называемое их суммой.

Исходя из этого определения, бинарную операцию сложения нетрудно представить как тернарное отноше­ ние: «х, будучи сложено с у, дает в сумме г».

•

Среди математических символов, кажется, нет более понятного и бесхитростного, чем знак равенства. Одна­ ко эта простота обманчива. У бинарного отношения равенства есть свои свойства, и о них стоит поговорить.

Сотношением равенства мы чаще всего сталкиваемся

вмире чисел. Возьмем число 6. Вряд ли кому придет в голову отрицать, что S = 6. Да и вообще каждое число равно самому себе. Какой бы банальностью ни казалось

это свойство равенства, мы все-таки отметим его спе­ циальным термином: рефлексивность.

Другие свойства равенства нам будет легче объяс­ нить, напомнив, что одно и то же число можно предста­ вить по разному. Например, 6 — это и 3 + 3, и 4 + 2, и 5 + 1 . Так вот; если 3 + 3 = 4 + 2 , то 4 + 2 = 3 + 3 . Подобную перестановку допускает равенство любых двух чисел. Называется это свойство равенства симмет­ ричностью.

Если 3 + 3 = 4 + 2 , а 4 + 2 = 5 + 1,то, очевидно, 3 + + 3 = 5 + 1. И какую бы тройку чисел ни взять, если крайние порознь равны среднему, то они равны и между собой. В этом выражается еще одно свойство равенст­ ва — транзитивность.

Итак, рефлексивность, симметричность, транзитив­ ность. Три эти свойства составляют самую суть равен­ ства. Но, оказывается, они присущи не одному ему.

Вспомним: эти же три сакраментальных слова мы произносили, говоря про эквивалентность множеств. Бинарное отношение эквивалентности между множест­

90