книги / Математика без формул

нилось и в завершенном контуре предмета. Иными сло­ вами, множества точек линии-отгадки и линии-загадки пересекаются. Дополняющая линия, очевидно, является их разностью, поскольку все ее точки принадлежат пер­ вому множеству (полному контуру предмета) и ни одна не принадлежит второму (фигуре-загадке).

Кстати, глагол «дополнить», который мы употребили по адресу этой линии, тоже имеет вполне научный смысл. Дело в том, что множество точек линии-загадки не просто пересекается со множеством точек линии-от­ гадки, но и целиком содержится в нем, является его подмножеством. Во всех тех случаях, когда множество­ уменьшаемое включает в себя множество-вычитаемое, их разность называется дополнением второго множест­ ва до первого.

Так заплаты на штанах Чиполлино — это дополнение прорванных штанов до штанов, которые имеют прилич­ ный вид.

Так множество неравнобедренных треугольников'до­ полняет множество равнобедренных до множества всех треугольников вообще.

А

А читается дополнение множества А до универсального множества или просто дополнение множества А

Читатель, вероятно, уже догадался, что термин «до­ полнение» самостоятельного смысла не имеет: говоря о дополнении некоторого множества, всегда необходи­ мо указывать, до чего же именно оно дополняется. Например, множество равнобедренных треугольников

41

можно дополнить не только до множества всех треуголь­ ников, но и до множества всех многоугольников или до множества всех фигур на плоскости.

Бывают, однако, случаи, когда уточняющих справок не требуется. Мы говорим, например, о множестве нечет­ ных чисел. Очевидно, оно служит дополнением для мно­ жества четных чисел. Но дополнением до чего? Ясно: до множества целых положительных чисел, до натурально­ го ряда. И если мы говорим, что множество простых чисел дополняется множеством составных (то есть раз­ ложимых на множители), то и в этом случае понятно, что речь идет о дополнении до натурального ряда.

Как видим, множество натуральных чисел здесь (да и во всей теории чисел, кстати сказать) играет особую роль: все упомянутые нами числовые множества явля­ ются его подмножествами.

Если в каком-либо рассуждении подразумевается по­ добное «всеобъемлющее» множество, его называют универсальным (для данного рассуждения, теории и т.п.). И если в таких случаях говорят о дополнении какого-то множества, не указывая, до чего же именно оно дополняется, следует понимать, что дополняется оно до универсального множества.

Разумеется, в каждом конкретном рассуждении уни­ версальное множество — свое.

Когда, например, мы говорим о какой-либо линии или фигуре на плоскости как о множестве точек, в роли универсального выступает множество всех точек плос­ кости.

Руководитель школьного хора составляет расписание репетиций.

«Так... Четвертые классы... Их три: А, Б, В. Из четвер­ того А восемь человек. Не густо, но эато два солиста. Четвертый Б. Ну, эти все певуны — всем классом запи­ сались. Четвертый В. Ни одного человека! Чем они там занимаются? Ах да, все они в кукольном театре, только из них он и состоит».

42

Руководителю хора еще предстоит согласовывать и увязывать сроки спевок и репетиций, а для наших целей наговоренного им вполне достаточно. Он описал все возможные отношения, какие могут существовать между двумя множествами

На помещенном здесь рисунке прямоугольник символически обозначает множество всех учеников школы. Заштрихованный ова-h в центре, помечен­ ный буквой X, — это мно­ жество. учеников, поющих

в хоре. Ну а теперь схема­ А л Х * 0 Б сХ В - К К сВ В ~ К В -л Х -0

тически изобразим здесь же четвертые классы.

Будем отмечать соответствующие овалы теми же буква­ ми, которыми эти классы обозначены в школьном рас­ писании, — А, Б, В. Кстати и во вполне строгих матема­ тических рассуждениях множества тоже обозначаются прописными буквами, правда, латинскими.

Итак, четвертый А. Восемь его учеников поют в хоре. У множества А и X есть общие элементы, эти множества пересекаются, что и показано на рисунке.

Четвертый Б. Это множество тоже пересекается со множеством X. Но ситуация здесь иная, нежели с пере­ сечением множеств А и X. Там множество А содержало элементы, не входящие в X (всего лишь восемь учени­ ков — хористы). Там можно было говорить только о пересечении. А здесь наблюдается нечто большее: каж­ дый элемент множества Б есть элемент множества X. Иными словами, множество Б включено во множество X.

Это включение строгое: ведь в хоре поют не только ученики четвертого Б.

Четвертый В. Хористов тут нет. Множества В и X непересекающиеся. (Говорят еще так: их пересечение пусто). А еще известно, что множество В и множество К (кукольный театр) состоят из одних и тех же элементов. Иначе говоря, множества В и К равны.

Вот мы и перебрали все отношения, какие могут существовать между двумя множествами. Два множест­ ва могут не пересекаться (как множества В и X из нашего

43

примера), а могут и пересекаться (как А и X, Б и X, В и К). В последнем случае возможны три варианта. Мно­ жества могут быть равны (как В и К). Могут строго включаться одно в другое (как Б включается в X; о включении можно говорить и в случае двух равных множеств: любое из них включено в другое, но тут уж речь идет о нестрогом включении). Наконец, два мно­ жества могут пересекаться так, что каждое имеет эле­ менты, не принадлежащие другому (как А и X). Тогда говорят, что два множества находятся в общем положе­ нии.

•

Круги и овалы, которые мы начали рисовать, экспери­ ментируя с биноклем, сослужили нам неплохую службу. С их помощью потом оказалось возможным проиллю­ стрировать все отношения между множествами и опе­ рации над ними.

Подобные незамысловатые картинки называют диа­ граммами Венна, хотя еще раньше их применял швей­ царский математик Леонард Эйлер в своих знаменитых «Письмахж немецкой принцессе».

Мы еще раз убедимся в пользе этих диаграмм, знако­ мясь с закономерностями, которым подчиняются опера­ ции над множествами.

Вот два примера — и совсем не рядовых они носят громкое название законов де Моргана (по имени иссле­ довавшего их шотландского математика).

Первый: дополнение объединения двух множеств равно пересечению дополнений этих множеств.

Второй: дополнение пересечения двух множеств равно объединению дополнений этих множеств

Звучит сложновато, как трудно произносимая скоро­ говорка, — в переменчивых сочетаниях повторяющихся терминов путается язык

А теперь то же самое на диаграммах'Венна. Двумя перекрывающимися кругами обозначим на них два пересекающихся множества Внешность каждого круга представит собой дополнение соответствующего мно­

44

жества до универсального, обозначенного традицион­ ным прямоугольником.

А и В = АгуВ

Аг>В = А и В

Верхняя картинка: внешность этой лежащей на боку восьмерки из двух кругов можно было бы прлучить, образуя пересечение внешностей того и другого круга. Это первый закон де Моргана в наглядном представле­ нии.

Нижняя картинка: внешность луночки, по которой перекрываются круги, можно представить как результат объединения внешностей того и другого круга. Таков в наглядном представлении второй закон де Моргана.

45

•

Читатель, подробно разбиравший нарисованные на предыдущих страницах диаграммы Венна, конечно, об­ ратил внимание на строчки символов, которыми сопро­ вождался каждый рисунок.

Большие латинские буквы повторяют в этих строчках обозначения множеств, изображенных на картинках, а значки, соединяющие буквы, обозначают операции над множествами, проиллюстрированные картинками.

Эти цепочки символов навевают воспоминания о фор­ мулах школьной алгебры, где маленькие латинские буквы, обозначавшие вещественные числа, соединя­ лись знаками арифметических операций.

Такая аналогия совершенно справедлива.

Ведь что собой представляют законы алгебры? Вы­ сказывания типа: от перемены мест слагаемых сумма не меняется (переместительный закон); умножить сумму на число — это все равно, что умножить на число каждое слагаемое в отдельности и результаты сложить (распре­ делительный закон умножения относительно сложения).

а + b — b + а

a (b + с) = ab +'ас

Здесь нет никаких оговорок относительно чисел, к которым можно применять эти высказывания. Следова­ тельно, выражаемые ими равенства выполняются всег­ да, какие конкретные числа в них ни подставишь. (За­ метим, что равенство двух алгебраических выражений, выполняющееся при подстановке в него любых элемен­ тов некоторого числового множества, называется тож­ деством, определенным на этом множестве.)

Освоив свод таких законов, можно с успехом зани­ маться тем, что называется алгебраическими преобра­ зованиями: упрощать громоздкие выражения, прида­ вать им вид, удобный для тех или иных.вычислений, и т.д.

Подобный свод законов — алгебра множеств — суще­ ствует и для операций, при помощи которых из одних множеств образуются другие, — для объединения, пере­ сечения, дополнения.

46

* Вместо «коммутативность» иногда говорят «переместительный закон», или «переместительное свойство», вместо «ассоциатив­ ность» — «сочетательный закон», «сочетательное свойство», вмес­ то «дистрибутивность» — «распределительный закон», «распреде­ лительное свойство».

В чем-то оба Этих свода законов, эти две алгебры (чисел и множеств) похожи. Иными словами, все эти

47

формулы носят характер тождеств. Подобно формулам школьной алгебры, они используются для того, чтобы преобразовывать выражения, содержащие символичес­ кие обозначения множеств, — упрощать их, придавать им определенный вид и т.д.

•

Взгляните на левый рисунок на этой странице. Такая позиция сложилась на 26-ходу в 21-й партии

титанического матча между Капабланкой й Алехиным, состоявшегося осенью 1927 года.

Белые сдались.

Мы надеемся, что любитель шахмат получил некото­ рое удовольствие, разбирая фрагмент знаменитой пар­ тии. Но, право, мы были бы бестактны, если бы привели пример, понятный лишь щахматистам. Есть в нем нечто,

48

что имеет непосредственное отношение ютеме нашего разговора о теории множеств.

Присмотритесь к записи, не вникая в ее смысл. Всюду в ней встречаются характерные пары, образованные из строчной латинской буквы и натурального числа: f6, Ь2, с1...

На прописные латинские буквы обращать-внимание не будем — это сокращенные обозначения фигур. Чтобы они не составили нам помехи,'уберем фигуры с доски.

Что останется на ней тогда? Только лишь разметочные знаки.

Внизу — горизонтальный ряд букв, от а до h. Слева — вертикальный столбик чисел, от 1 до 8.

Ка>кдая буквенно-числовая пара, о которой говори­ лось выше, образуется так: сначала берется элемент из первого, буквенного множества и за ним ставится эле­ мент, выбранный из второго, числового множества.

Кстати, само слово «пара» — термин теории мно­ жеств. Так называются два элемента, расположенных в определенном порядке (поэтому часто говорят не «пара», а «упорядоченная пара»).

Не довольствуясь несколькими вышеприведенными примерами, образуем всевозможные пары описанного вида. Их множество мы назовем декартовым произве­ дением двух исходных множеств — буквенного и число­ вого (читатель, вероятно, уже заметил про себя, что новообразованное множество насчитывает 64 элемен­ та, ровно по числу клеток шахматной доски — ведь каждой клетке соответствует своя пара, и, наоборот, каждая пара кодирует свою клетку).

Понятие, с которым мА, только что познакомились, настолько важно, что мы приведем особо его строгое определение: декартовым (или прямым) произведени­ ем одного множества на другое называется множество всевозможных пар, первые элементы которых принад­ лежат одному множеству, а вторые — другому.

40

Теперь давайте разберем еще одну партию.

Читатель, даже не очень сведущий в шахматах, веро­ ятно, сразу заметил: здесь что-то не так. Действительно, мы сделали некоторую перестановку: в наших буквенно­ числовых парах (2е, 4d, 7с) на сей раз сначала идут цифры, а потом уже буквы. А ведь в данном выше определении пары подчеркивалось, что порядок эле­ ментов в ней существен. И потому мы не можем назвать равными, скажем, две такие пары: е2 и 2е. Стало быть, множество буквенно-числовых пар, о которых говори­ лось в предыдущем разделе (f6, е2, с1, d4 и т.п.), не равно множеству пар' появившихся в нашем рассказе сейчас (2е, 6f, 4d, 1с и т.п.), — ведь эти множества состоят не из одних и тех же элементов.

Вывод? Он очевиден: произведение двух различных множеств меняется от перемены мест сомножителей — в противоположность произведению чисел, для которо­ го справедлив переместительный закон. Для множеств такого закона нет.

Перестановка сомножителей ничего не изменит лишь в том случае, когда перемножаемые множества равны. Впрочем, и здесь все не так просто.

Возьмем только что применявшееся нами множество целых чисел от 1 до 8. Умножим его на себя. В произ­ ведении получится множество всевозможных пар вида:

(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,4)...

Не кажется ли вам повторением наличие в этой строч­ ке пар (1,2) и (2,1)?

Мы сочтем свой рассказ не напрасным, если вы отве­ тите: нет, эти пары не равны, хотя и образованы одина­ ковыми элементами, потому что расположены эти эле­ менты в разном порядке.

50