книги / Математика без формул

ответить на вопрос: какова область значений этой функ­ ции, создаваемый ею образ множества всех веществен­ ных чисел? Но когда перед нами ее график, ответ почти очевиден: это множество тех вещественных чисел, ко­ торые больше или равны 3/4.

Как видим, графикам числовых функций числового аргумента присуща та наглядность, которая помогает быстро и несложно исследовать свойства этих функций.

«Занимайте места согласно купленным билетам» — это неписанное правило коротко и ясно определяет отображение множества зрителей на множество кресел. Зрители — прообразы, кресла — образы.

Быть может, этот пример^ вызывает у нас неприятные воспоминания. Вероятно, с вами случались такие казу­ сы, когда, придя в кинотеатр, вы обнаруживали, что ваше место уже занято: растяпа-кассир продал на него два билета. Вам ничего не остается, как искать свобод­ ное кресло, билет на которое остался непроданным.

Какие же требования следует наложить на отображе­ ние, чтобы исключить Подобные вещи — и накладки, и пропуски? Этих требований два, и они совершенно оче­ видны.

Во-первых, разным прообразам должны соответство­ вать разные образы (тогда не будет накладок: каждый зритель получит свое кресло).

Во-вторых, каждый элемент множества, которому принадлежат образы, должен иметь прообраз (тогда не

71

будет пропусков: каждое кресло получит своего зрите­ ля).

Всякое такое отображение называется взаимно одно­ значным соответствием.

Смысл этого термина станет совершенно понятным, если два требования, которым должно удовлетворять любое отображение без Закладок и пропусков, мы по­ пытаемся сформулировать одной фразой. Тогда опре­ деляющее свойство такого отображения выразится так: каждый элемент множества, которому принадлежат об­ разы, имеет прообраз, и притом только один.

«Постойте! — вероятно, уже напрягает память чита­ тель. — Где-то раньше мне уже встречалась очень похо­ жая фраза!»

Спешим с подсказкой — давая определения понятию отображения, мы подчеркивали: каждый элемент мно­ жества прообразов имеет образ, и притом только один. (Если не выполнено хотя бы одно из этих двух условий, соответствие не получит звание отображения — вспом­ ните пример с рыбаком!)

Сравним теперь две фразы, обращающие на себя внимание своим сходством:

каждый элемент множества, которому принадлежат образы, имеет прообраз, и притом только один;

каждый элемент множества прообразов имеет образ, и притом только один.

Эти фразы взаимозаменяемы, не правда ли? Стоит лишь поменять местами слова «прообраз» и «образ». Отсюда и термин «взаимно однозначное соответствие».

Такое переименование можно произвести с любой парой «прообраз — образ». И тогда множество образов взаимно отобразится на множество прообразов.

В нашем кинопримере для этого достаточно каждому креслу поставить в соответствие сидящего в нем зрите­ ля. Это отображение называется обратным по отноше­ нию к тому, которое каждому зрителю ставило в соот­ ветствие его кресло.

72

•

Два множества, между которыми можно установить взаимнооднозначное соответствие, называются эквива­ лентными.

Множество месяцев в году, например, эквивалентного множеству зодиакальных созвездий. Оттого-то древний астролог, составляя гороскоп для очередного клиента, не указывал, в каком месяце тот родился, а витиевато писал: «Появился на свет под таким-то знаком зодиака»

Водолеи Рыбы Овен Телец Близнецы Рал Лев Дева Весы Скорпион Стрелец Козерог

™ X T ^ I S < Q n i > ^ I I L x ' V )0

Январь Февраль Март Апрель Маи Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь

Множество цветов в спектре эквивалентно множеству нот в гамме. (Недаром иные незатейливые проекты цветомузыки предполагают, что на экране вспыхивают цвета, соответствующие нотам мелодии.)

Если, прочтя наши примеры, вы начали подыскивать свой собственный, а дело не клеится, не отчаивайтесь. У вас всегда в запасе предельно простой вариант: возь­ мите любое множество и с каждым его элементом со­ поставьте тот же самый элемент. Такое отображение множества не себя называется тождественным.

Не смущайтесь незатейливостью этого примера. У него есть свои достоинства. Он иллюстрирует одно из трех свойств, которыми обладает эквивалентность мно­ жеств. Именуется это свойство рефлексивностью, и заключается оно в том, что любое множество эквива­ лентно самому себе.

А остальные свойства?

Довольно очевидно, что если мы подыскали длй неко­ торого множества другое, ему эквивалентное, то второе множество будет эквивалентно первому. В этом выра-

73

жается второе свойство эквивалентности множеств, именуемое симметричностью.

Доказать его просто. Ведь эквивалентность множеств заключается в том, что между ними можно установить некоторое взаимно однозначное соответствие. А оно, как мы видели в предыдущем разделе, работает в обе стороны, С его помощью можно отобразить первое множество на второе, но также можно, взяв обратное к этому отображению, отобразить второе множество на первое.

Еще пример, где множество месяцев в году отобра­ жается на множество знаков зодиака.- Вспомним цифер­ блат больших часов Казанского вокзала в Москве: знаки зодиака сопоставлены там с цифрами, обозначающими часы дня. Опустив промеж­ уточные звенья, можно со­ поставить напрямую месяцы и часы. В самом деле, если январь соответствует Водо­ лею, а Водолей на часовом циферблате ставится рядом с цифрой 1, то это означает, что январь соответствует первому часу дня. Аналогичным образом ф евралю можно поставить в соответ­

ствие второй час, марту — третий и так далее-до декаб­ ря, который окажется сопоставленным с двенадцатым часом.

Отображение множества месяцев на множество часов возникает при этом как результат определенной комби­ нации трех отображений, первое из которых сопостав­ ляет месяцы со знаками зодиака, второе — знаки зодиа­ ка с цифрами от 1 до 12, третье — цифры с часами дня. Такая комбинация называется произведением, или су­ перпозицией, отображений.

Итак, мы видим: если в цепочке множеств любые два соседа эквивалентны друг другу, то эквивалентны и множества, стоящие по краям цепочки. В этом выража­ ется третье свойство эквивалентности множеств, име­ нуемое транзитивностью.

74

•

У Марины Цветаевой в очерке «Мать и музыка» есть такие строки:

«До явно белое, пустое, до — всего, ре — голубое ми — желтое (может быть — midi?), фа — коричневое (может быть, фаевое выходное платье матери, а ре — голубое — река?)».

Можно удивляться продемонстрированному здесь бо­ гатству поэтической фантазии. Можно не соглашаться с этими цветомузыкальными соответствиями (написав­ шая процитированные строки и сама говорит далее, что у каждого свои резоны на звуки й краски). Но бесспорно одно: есть нечто общее между семью нотами гаммы и семью цветами радуги. Это «нечто» роднит оба назван­ ных множества и с семью днями недели, и с семью струнами гитары, и с семью чудесами света, и с семью холмами, на которых стоит Рим, и с семью гномами из сказки о Белоснежке...

Это нечто общее выражается словом «семь». Все перечисленные множества попарно эквивалентны-, и в каждом из них — по семь элементов.

Обратите внимание: именно так в математике и воз­ никает понятие натурального числа.

Натуральное число — это общее свойство попарно эквивалентных конечных множеств.

Так, число пять — это выражение той общности, кото­ рая связывает попарно эквивалентные множества пяти олимпийских колец, пяти материков, пяти лучей морской звезды, пяти пальцев на руке.

•

У читателя, прочитавшего предыдущий отрывок, могло создаться впечатление: чтобы установить эквива­ лентность двух множеств, сначала надо пересчитать одно, потом другое и затем, сравнив их численности, убедиться, одинаково ли количество элементов в них.

Но ведь, говоря так, мы оказываемся в порочном кругу. В самом деле, понятие натурального числа мы

75

строили на основе понятия эквивалентности множеств, а теперь пытаемся устанавливать эту эквивалентность, основываясь на понятии натурального числа.

Порочного круга избежать можно. Эквивалентность множеств можно устанавливать без всякого пересчета.

В партии перчаток, поступивших в магазин, множест­ во левых перчаток эквивалентно множеству правых — утверждать это можно, не заглядывая в накладную.

«На каждый прилив — по отливу», — сказал поэт, про­ возгласив тем самым, что множество приливов эквива­ лентно множеству отливов, хотя их никто не считал и вообще не может пересчитать: приливные волны набе­ гали на берега материков, когда на них и не пахло жизнью. И будут набегать еще века и века...

Этот образ навевает мысль о бесконечности. В нашем рассказе об эквивалентности множеств она не пред­ ставляется чужеродной. Примеры с перчатками и при­ ливами явно подсказывают, что можно установить экви­ валентность не только конечных, но и бесконечных мно­ жеств.

Но стоп! Бесконечность — вещь непростая, и прежде чем рассуждать об эквивалентности бесконечных мно­ жеств, разберем несколько наводящих примеров.

•

«Мест нет».

Туристам и командированным, вероятно, хорошо зна­ комо это традиционное «приветствие», которым их встречала не одна гостиница.

А вот немецкий математик Давид Гильберт спроекти­ ровал такую гостиницу, в которой не возникает никаких проблем с размещением гостей.

Администратор такой гостиницы спокоен даже тогда, когда все номера заполнены. Даже в такой ситуации он никогда не откажет вновь прибывшему.

— Вы желаете одноместный номер? Милости просим. Только придется немного подождать. Сейчас мы пере­ селим жильца из первого номера во второй, жильца из второго — в третий, жильца из третьего — в четвертый

76

и так далее. И пожалуйста — номер первый к вашим услугам.

Разумеется, то, что лроделал администратор гостини­ цы Гильберта, невыполнимо ни в одной реальной гости­ нице. Будь в ней даже миллион номеров, жилец послед­ него номера в результате вышеописанного переселения окажется выселенным. Такого не случится лишь в гос­ тинице, где за каждым номером, к какому ни подойди есть дверь следующего.

Очевидно, количество номеров в этой гостинице бес­ конечно. Мы произносим это слово уже вполне созна­ тельно и без всякой опаски, ибо рассказ о гостинице Гильберта позволяет строго определить понятие беско­ нечного множества.

Но прежде чем формулировать это определение, по­ говорим еще о достоинствах замечательной гостиницы Оказывается, она способа принять даже такую турист­ скую группу, число участников которой бесконечно. Что в таком случае делает администратор? Например, пере­ селяет жильцов из первого номера во второй, из второ­ го — в четвертый, из третьего — в шестой... Короче говоря, у каждого жильца в ордере на поселение преж­ ний номер заменяется номером вдвое большим. Таким образом, заселяются лишь четные номера, а первый третий, пятый и все остальные нечетные оказываются свободными. В них и поселяют одного за другим турис­

тов из бесконечно большой группы.

Обратимся к схемам переселения, которое провел администратор гостиницы Гильберта в первый и во второй раз. Первая строка каждой таблицы показывает размещение жильцов до переселения, вторая — после Жирные цифры обозначают занятые номера, светлые — свободные. Стрелки указывают порядок переселения Одновременно они позволяют установить взаимно однозначное соответствие между множествами номе­ ров, занятых до и после переселения.

77

Но ведь до переселения (и первого, и второго) были заняты все номера гостиницы, все их множество, а после— лишь часть этого множества, лишь его истинное

подмножество (то есть включенное во множество, но не равное ему, вспомните поговорку: «Всякая селедка рыба, но не всякая рыба — селедка»).

Итак, оба раза мы установили взаимно однозначное соответствие между воем множеством и его истинным подмножеством.

Часть множества эквивалентна целому. Ну не дико­ винка ли?

Для конечных множеств — диковинка. Для бесконеч­ ных— естественное явление, фундаментальное свойст­ во, которое можно принять за их определение.

Бесконечным называется' множество, из которого можно выделить эквивалентное ему истинное подмно­ жество.

Диковинный мир, в котором Гильберт построил свою гостиницу, — это, конечно, математическая фантазия.

Сейчас мы продемонстрируем еще одно явление того же рода, вполне реальное, но еще более удивительное

78

Займемся геометрическими построениями. Начертим на листе бумаги отрезок, а над ним параллельно ему проведем другой, вдвое меньший по длине. Серией

параллельных прямых соединим точки малого отрезка с точками одной из половинок большого. Так между мно­ жествами точек малого отрезка и половины большого устанавливается взаимно однозначное соответствие Иными словами, два эти множества эквивалентны.

А теперь возьмем те же самуе отрезки, но построения сделаемнесколько иначе. Лучи, проведенные на этот раз, устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками малого и большого отрезков. Стало быть, оба множества точек эквивалентны.

Сопоставим два полученных нами вывода. Множество точек половины большого отрезка эквивалентно множе­ ству точек малого, а оно, в свою очередь, эквивалентно множеству точек всего большого отрезка. Но ведь по свойству транзитивности, которым обладает эквива­ лентность множеств (это свойство было объяснено тремя разделами прежде), сказанное означает, что мно­ жество точек половины большого отрезка эквивалентно множеству точек всего отрезка в целом.

Разумеется, так оно получилось потому, что множест­ во точек нашего (да и любого) отрезка бесконечно.

Этим примером мы еще раз продемонстрировали теоретико-множественную истину: из бесконечного множества можно выделить эквивалентное ему истин­ ное подмножество.

79

Если читателю понравился фокус с отрезками, то мы готовы предложить ему нечто еще более диковинное.

В чем заключается новый трюк, поясняет рисунок.

Ъ _________________ Г - —._____ _________ I_________ I— ______

Ну не поразительно ли — множество точек отрезка эквивалентно множеству точек полупрямой! Грубо гово­ ря, в отрезке столько же точек, сколько их в луче.

Числовая разметка рисунка показывает, что оба эти точечные множества эквивалентны множеству всех ве­ щественных чисел между нулем и единицей включитель­ но.

У последнего-множества есть особое название, кото­ рое стоит запомнить на дальнейшее: континуум. Всякое эквивалентное ему множество называется континуаль­ ным (а иногда и точно так же — континуум).

Тот же рисунок показывает, что множество всех поло­ жительных вещественных чисел континуально. Неболь­ шим усложнением схемы нетрудно обосновать, что та­ ково же и множество всех вещественных чисел вообще

Можно доказать, что континуальным является и множе­ ство всех точек квадрата, и множество всех окружностей на плоскости...

Кстати, свое название есть и у множеств, подобных множеству номеров в гостинице Гильберта. Отличитель­ ное их свойство о том, что их элементы можно пронуме­ ровать, поставить во взаимно однозначное соответст­

80