книги / Математика без формул

Совокупность упорядоченных пар, на первом месте в которых стоит элемент одного множества, а на втором — элемент другого, мы назвали декартовым произведени­ ем первого множества на второе.

Можно говорить не только о парах, но и, скажем, о тройках — разумеется, тоже упорядоченных. Например, все обеды из трех блюд — это тройки, первый элемент которых принадлежит множеству первых блюд, вто­ рой — множеству вторых, третий — множеству третьих. (Упорядоченность таких троек подчеркивается назва­ ниями блюд: первое, второе, третье.) Такие обеды, составленные во всевозможных сочетаниях по естест­ венному порядку блюд, очевидно,'образуют декартово произведение трех множеств, где первый сомножи­ тель — это множество первых блюд, второй и третий — множества вторых и третьих блюд соответственно.

Три блюда, конечно, не предел для тренированного едока. Помните те обеды, которыми турецкий султан угощал достославного барона Мюнхаузена? Согласно уверениям барона, о честности которого ходят легенды, число блюд в этих обедах было умопомрачительно боль­ шим, так что для математического описания тех знаме­ нитых трапез потребовалось бы понятие упорядоченной л-ки.

(Читатель, вероятно, знает, что в математике буква л применяется для обозначения натуральных чисел и пре­ имущественно в тех случаях, когда под нею можно подразумевать произвольное натуральное число.)

Таким понятием располагает теория множеств. Упо­ рядоченной л-кой называется набор из л элементов, где на первом месте стоит элемент первого множества, на втором — второго и так далее — до л-ного. Всевозмож­ ные такие л-ки образуют декартово произведение тех л множеств, из которых берутся элементы для образова­ ния упорядоченных л-ок.

Сомножители в произведениях множеств могут быть и одинаковыми. Попробуйте-ка представить, например, что получится, если множество букв русского алфавита трижды умножить на себя. Очевидно, в результате по­

51

О ТО БР А Ж Е Н И Я

Без знания языка в чужой стране трудно. Представьте: в каком-то чужедальнем аэропорту вы

спустились с трапа самолета, прошли таможенный до­ смотр и решили, скажем, известить домашних о благо­ получном прибытии. Надо бы спросить у кого-то, где здесь можно телеграммку отбить, а вы по-ихнему, как говорится, ни бум-бум. Как быть?

Вот для таких безъязыких и придуманы средства ви­ зуальной информации: красный крест — медпункт, нож­ ницы и расческа — парикмахерская, чемодан — камера хранения, конверт — о! это как раз то, что вам нужно, — почта.

Основное достоинство этих легко узнаваемых карти­ нок в том, что каждая строго соответствует определен­ ному виду услуг.

Итак, с одной стороны, множество разновидностей сервиса, с другой — множест­ во транспарантов. Соответст­ вие между элементами этих двух множеств помогает ори­ ентироваться в незнакомой обстановке.

Вот еще один пример соот­ ветствия. «Если плотву ловить собираешься — бери мотыля, а на язя бери кузнечика. Для окуня выползок хорош или ру­ чейник; кстати, на ручейника и плотва неплохо идет. Ну, а для леща ничего лучше пшен­ ной каши не придумаешь. Стерлядь, говоришь? Нет, она на все наши наживки — нуль внимания, ее только неводом

и возьмешь. С щукой — та же история: ее либо неводом

53

брать надо, либо блеснить». Так поучает опытный рыбак начинающего, объясняя отточенное многолетним опы­ том соответствие между множеством рыб и множеством наживок, для этих рыб рекомендуемых.

В холле гостиницы за спиной портье рядами висят ключи. Каждый из ни^ открывает дверь того номера, которому он соответствует.

Идет экзамен, и каждому экзаменующемуся ставится соответствующая оценка — элемент множества {двой­ ка, тройка, четверка, пятерка}.

Заселяется новый дом. Опять соответствие: между жильцами и номерами квартир.

Если в каждой из описанных ситуаций отвлечься от конкретных деталей, то сухой остаток будет таков: есть некоторое множество А, и каждому его элементу ставит­ ся в соответствие определенный элемент некоторого множества В: трафарету — услуга, гостиничному номе­ ру — ключ, сдающему экзамен — оценка, жильцу — номер квартиры. Причем с каждым элементом первого множества сопоставляется в точности один элемент второго.

Всякое такое соответствие в теории множеств назы­ вается отображением множества А во множество В или функцией с областью определения А, принимающей значения из В.

В каждой паре из элемента множества А и соответст­ вующего ему в данном отображении Элемента множест­ ва В первый называется прообразом (или значением аргумента), второй — образом (или значением функ­ ции).

Все элементы множества В, выступающие в данном отображении в роли образов, в совокупности называют­ ся образом множества А в этом отображении. (Ясно, что при этом образ множества А включен во множество В, читатель легко докажет это.)

—Алло! Это справочная вокзала? Скажите, сколько стоит билет до Амвросиевки?

—Докуда? До Аросевки?

54

—До Амвросиевки!

—До Абросимовки? Вас очень плохо слышно. Пожа­ луйста, по буквам.

—Анна, Михаил, Владимир, Родион, Ольга...

Итак, еще одно отображение. Множество букв русско­ го алфавита отображается во множество русских имен. И прежде невнятное сообщение становится отчетливым и понятным.

Отображения и в науке часто применяются благодаря имейно этому своему достоинству: они позволяют заме­ нить предмет исследования некоторым его образом, по которому изучать предмет становится проще.

Возьмите схему любого прибора — хотя бы того же телефона. Не правда ли, гораздо удобнее изучать не реальный прибор, а его схему, где каждой детали по­ ставлен в соответствие определенный значок?

Впрочем, понятие «отображение» важно не только этим.

Возьмите любую деталь какого-либо прибора и заду­ майтесь над принципом ее действия. Как, например, работает катушка индуктивности, изображенная на схеме телефона в виде двух почти соприкасающихся спиралей? По закону самоиндукции: если текущий по ней ток непостоянен, то в ней возникает электродвижу­ щая сила, пропорциональная скорости изменения тока.

Опять отображение! Каждому значению скорости из­ менения тока ставится в соответствие значение электродвижущей силы.

Возьмите другие законы естествознания, владение которыми дало человеку столь уверенную власть над

55

природой. Очень многие из них носят характер отобра­ жения, функции. Каждому значению силы, действующей на тело, ставится в соответствие значение ускорения, приобретаемого телом (второй закон Ньютона). Каждо­ му значению давления в газе при постоянной темпера­ туре ставится в соответствие значение плотности газа (закон Бойля — Мариотта). Каждому значению расстоя­ ния между двумя электрическими зарядами ставится в соответствие значение ^илы взаимодействия зарядов (закон Кулона) и так далее.

Мы надеемся, что после сказанного читателю стала ясна важность этого понятия — отображение, функция.

•

Если читатель проглядит еще раз примеры, через которые мы подводили его к понятию отображения, то он, конечно, заметит что-то неладное в примере с ры­ баком.

Во-первых, для некоторых рыб рекомендуется сразу несколько наживок (окуню ставится в соответствие вы-

/ползок и ручейник, плотве — ручейник и мотыль). А определение отображения требует, чтобы каждому эле­ менту множества прообразов соответствовал точно один образ.

Во-вторых, некоторым рыбам (стерлядь, щука) не со­ ответствует никакая наживка.чА определени'е отображе­ ния требует, чтобы образ был у каждого элемента мно­ жества прообразов.

Стадо быть, сопоставление наживок с рыбами, изло­ женное устами старого рыбака, — не отображение.

Призванный к бдительности примером с рыбаком читатель, вероятно, повнимательнее приглядится к дру­ гим примерам и остановит критический взор на описа­ нии экзамена, трактуемого как отображение множества экзаменующихся во множество оценок (двойка, тройка, четверка, пятерка). В этом числовом множестве — всего четыре элемента. И если экзаменующихся больше, то простб невозможно, чтобы у всех были различные оцен­ ки.

56

зажженная лучинка. Каждый играющий передает ее со­ седу со словами: «Жив, жив курилка!» У кого в руках лучинка погаснет, тот должен исполнить какое-то жела­ ние играющих.

Передача лучинки от одного участника игры к соседу ставит в соответствие каждому элементу множества играющих элемент, принадлежащий тому же множеству. Про такое соответствие говорят, что оно отображает множество в себя.

В каждом из наших прежних примеров, иллюстриро­ вавших понятие отображения, прообразы и образы при­ надлежали различным множествам. Однако определе­ ние отображения на таком различии вовсе не настаива­ ет. Стало быть, допустимы случаи, аналогичные игре с лучинкой, — отображения множеств в себя.

Нетрудно придумать и .чисто математический пример подобного отображения. Пусть каждому вещественному числу х ставится в соответствие его квадрат: х2. И прообразы и образы принадлежат здесь одному и тому же множеству вещественных чисел. Оно отображается в себя описанным соответствием.

Вот еще один математический пример такого рода, на сей раз не алгебраического, а геометрического толка.

Каждой точке плоскости ставится в соответствие другая точка той же плоскости, причем так, что направленные отрезки, проводимые из какой-либо точки-прообраза в соответствующую ей точку-образ, одинаковы по длине и направлению. Описанным соответствием множество всех точек плоскости отображается в себя.

Наши последние примеры — с числами, с точками плоскости — вновь отличаются особенностью, которой

58

не было у прежних примеров. До сих пор участниками каждого отображения были конечные множества. Но ведь этого вовсе не требует определение отображения. В нем вообще нет никаких ограничений на природу множеств, которые могут участвовать в отображениях. Стало быть, эти множества могут быть и бесконечными.

Разберем еще один пример такого сорта. Это отобра­ жение замечательно тем, что в нем математика черпает львиную долю средств для наглядного изображения своих понятий.

Начертим прямую, одну из ее точек отметим числом 0, другую, лежащую правее, — числом 1. Отрезок между этими точками назовем единичным, а всю прямую — числовой осью. Будем теперь последовательно откла-

дывать на ней единичный отрезок вправо от точки 1 и обозначать получающиеся засечки числами 2, 3, 4 и так далее. Откладывая единичный отрезок влево от точки О, будем отмечать новые последовательные засечки чис­ лами — 1, — 2, — 3 и так далее. На числовой оси можно изображать и нецелые числа. Например, число 1/2 пред­ ставится на ней серединой отрезка между точками 0 и 1, а чтобы изобразить на числовой оси, скажем, число 2,7, нужно отложить семь раз вправо от точки 2 десятую долю единичного отрезка. Подобным образом на число­ вой оси отмечается любое вещественное число, иными словами, так строится отображение множества вещест­ венных чисел на множество точек числовой оси.

А теперь скрестим на плоскости две числовые оси. •Возьмем какую-нибудь пару чисел, например (2,4). Пер­ вое число пары отложим на горизонтальной оси, вто­ рое — на вертикальной. Через полученные засечки про­ ведем прямые, параллельные осям. Их пересечение обозначит некоторую точку плоскости. Так каждой паре вещественных чисел можно поставить в соответствие определенную точку.

Сведущий читатель, конечно, распознал в этом по­ строении идею декартовых координат. Рассказ о ней нам остается лишь дополнить терминологическими по-

59

яснениями: скрещенные числовые оси называются осями координат, обозначаются они латинскими буква­ ми х (горизонтальная) и у (вертикальная), точка их пере­ сечения называется началом-координат и обозначается буквой О (от латинского «origo» — «начало»), а пара чисел, определяющая положение той или иной точки, называется координатами этой точки: первое число, откладываемое по горизонтальной оси, — абсциссой, второе, откладываемое по вертикальной, — ординатой.

Ради примера на нашем рисунке в декартовой систе­ ме координат отмечены точки плоскости, соответствую­ щие парам (1; 1), ( - 2; 4), (3; 9); (0,5; 0,25), ( - 1 ,5 ; 2,25).

Поскольку декартова система координат на плоскости задается пересечением лишь двух числовых осей и положение точки в ней отмечаетря лишь двумя числами, ее называют двумерной. Помещенный здесь же рисунок трехмерной системы координат позволяет понять, как множество всевозможных троек вещественных чисел отображается на множество точек пространства. Необ­ ходимая для этого дополнительная ось отмечается бук­ вой z, а откладываемая по ней координата точки про­ странства называется аппликатой.

60