книги / Математика без формул

«Точка есть то, что не имеет частей. Линия же— длина без ширины. Концы же линии — точки. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней...»

Ну как — все ясно? Нет, пожалуй. Недоуменные вопро­ сы напрашиваются и после этих слов. Разве только про прямую линию можно сказать, что она равно располо­ жена по отношению к своим точкам? Ведь таким же свойством обладает и окружность. И потом — что такое длина? Что такое ширина? Не нуждаются ли эти понятия, в свою очередь, в строгом определении?

Подобные вопросы могут показаться кощунством: придираться к самому Эвклиду!,Что же, мы далеко не первые, кто упрекает его в не рогости. Особенно учас­ тились такие придирки на рубеже XIX и XX веков, когда математики стали задумываться: а такое ли уж стройное здание геометрии? Начали они, естественно, с фунда-^ мента. Вот тут-то и были замечены некоторые погреш­ ности, допущенные отцом геометрии. Началась кропот­ ливая работа по их устранению.

Как же выглядят начала геометрии в современном изложении? Возьмем книгу немецкого математика Да­ вида Гильберта «Основания геометрии»:

«Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками, вещи второй системы мы называем прямыми, вещи третьей системы мы называем плоскостями. Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных соотношениях и обозначаем эти соотношения различными словами, как-то: лежать, между, конгруэнтный (то есть совмещаемый наложени­ ем. — Авт.), параллельный, непрерывный».

Как видно, Гильберт и не собирается определять основные объекты геометрии — точку, прямую, плос­ кость.

«Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе», — говорил немецкий математик Карл Вейерштрасс.

11

Если геометрия упорно отказывается выдавать истоки своих понятий и представлений, если нам никак не удается определить их в строгих математических терми­ нах, то, может быть, нам в наших затруднениях помогут поэтические образы.

«Звезды на небе — как искорки». «Луч света — как тетива лука». «Равнина — как гладь озера».

Поэтический дар, которым человек наделен от приро­ ды, побуждал его подмечать сходство в различном. Многократно отмечая то или иное свойство у различных предметов, человек осознавал это свойство и давал ему имя.

Тетива лука и луч света прямы. В этом обобщающем суждении уже явно выражено понятие прямой. Напоми­ ная о тетиве лука и о луче света, оно е то же время уже отделено от них, существует само по себе в нашем сознании.

В нашем сознании... Вот почему мы так и не нашли подходящего инструмента для проведения прямой на бумаге. Штрих карандаша, мазок кисти — все это были реальные образы. Они не способны точно выразить идеальный образ прямой.

Так появлялись абстрактные геометрические понятия. И чем настойчивее искал человек простые, но харак­ терные, немногие, но существенные свойства предме­ тов, чем смелее отбрасывал при обобщении черты вто­ ростепенные и случайные, чем шире был круг предме­ тов, тем более содержательным и вместе с тем более отчетливым становилось соответствующее абстрактное понятие, будь то плоскость или прямая, точка или окруж­

ность.

Так складывался набор элементарных геометрических образов.

Но человек — не только созерцатель и роэт. Чело­ век — прежде всего труженик.

В своей практической деятельности, постигая свойст­ ва реальных предметов и их взаимосвязи, человек уста­ навливал свойства созданных им геометрических обра­ зов и отношения между ними.

Старинная легенда рассказывает, как зародилась наука геометрия. Было это в Древнем Египте. Огромная река течет через всю эту местность — Нил. Разливаясь

12

с каждой весной, Нил затоплял поля и уничтожал межи, разделявшие земельные участки.' Межи приходилось восстанавливать каждый раз заново. Из года в год, из века в век совершенствовались приемы землемерия. Если произнести это слово на древнегреческом языке, мы узнаем в нем название науки, о которой рассуждаем: геометрия.

Натягивая межевую веревку между двумя колышками, древние землемеры не раз имели возможность убедить­ ся, что эта несложная операция всегда приводит к одно­ му и тому же результату. Многократно повторенный опыт внушал вывод: через две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Так рождались аксиомы общие для всех, кто Трудится на земле.

И чем настойчивее вскрывал человек устойчивые и закономерные связи между предметами реального мира, чем глубже осмыслял их логику, чем чаще узнавал при оамых различных обстоятельствах то или иное со­ отношение, чем успешнее использовал его в своих рас­ суждениях и действиях, тем надежнее подтверждала свое звание соответствующая аксиома: через любые две точки можно провести прямую; существуют три точки, не лежащие на одной прямой, и так далее.

Аксиом становилось все больше. Они складывались в единую систему. Математики заботились о том, чтобы такая система была полной, то есть чтобы из нее можно было вывести любую из известных геометрических тео­ рем. И еще о том, чтобы она была непротиворечивой, то есть чтобы из нее нельзя было вывести взаимоисклю­ чающие утверждения.

Взятые вместе, эти аксиомы описывает все свойства основных геометрических объектов, все соотношения между ними, используемые при выводе геометрических теорем. Потому и не нуждаются в определении основ­ ные геометрические понятия — точка, прямая, плос­ кость. Их определения содержатся в аксиомах геомет­ рии.

13

Если вы знаете азбуку Морзе, то вам не составит труда прочесть написанное здесь ее знаками слово «математика».

Но если вы даже совсем не понимаете языка радис­ тов, для вас, видимо, не секрет, что из этих точек и тире складываются буквы, из букв — слова, из слов фразы, из фраз — тексты, посылаемые в эфир.

Так же и в геометрии: из основных геометрических объектов, таких, как точка и прямая, конструируются объекты все более сложные.

Что есть квадрат? Определение гласит: это прямо­ угольник, у которого все стороны равны между собой. Понятие квадрата, как видим, выводится из более об­ щего понятия прямоугольника. А что такое прямоуголь­ ник? Это параллелограмм, у которого все углы прямые. Еще один шаг к понятию более элементарному. А парал­ лелограмм9 Это четырехугольник, у которого противо­ положные стороны параллельны. Понятие четырех­ угольника, в свою очередь, основывается на понятии отрезка, а тот определяется как часть прямой, заклю­ ченной между двумя лежащими на ней точками, включая

их самих.

Так по ходу своего анализа мы добрались до первич­ ных геометрических понятий, о которых идет речь в аксиомах геометрии: «точка» и «прямая», «лежать» и «между».

Такой способ построения математических понятий изложил еще Аристотель. Великий древнегреческий фи­ лософ назвал его так: определение через род и видовое отличие.

Скажем, прямоугольник Относится к роду параллело­ граммов, а его видовое отличие состоит в том, что все его углы прямые. Параллелограмм относится к роду четырехугольников, а видовое отличие заключается здесь в параллельности противоположных сторон.

14

Когда математик вводит в свое рассуждение новый объект и называет его видовое отличие, то он тем самым формулирует некоторое утверждение, используемое

сразу два утверждения: «АВ па­ раллельно CD» и «ВС параллель­

но AD» — два новых «кирпичика»_____________

для математической «кладки». Ас А О точки зрения умелого каменщи­ ка, это не так уж мало!

Судите сами: начиная изучать геометрию на плоскос­ ти и познакомившись с фигурирующими в ее аксиомах основными понятиями — точкой и прямой, школьник добавляет к ним совсем немного новых — угол, тре­ угольник, параллелограмм, окружность... Но какое бога­ тое сооружение вырастает на этой основе на протяже­ нии школьного курса математики!

•

Блез Паскаль, французский математик и философ, получил не школьное, а домашнее образование. Его учителем был отец, Этьен Паскаль, один из просвещен­ нейших людей своего времени.

Согласно учебному плану Паскаля-старшего матема­ тику предполагалось проходить с пятнадцати-шестнад­ цати лет. Но ребенок поломал все планы всего учителя. Услышав от отца про геометрию, узнав от него несколь­ ко аксиом из «Начал» Эвклида, Блез стал интересовать­ ся дальнейшим.

Отец, считая, что время для этого еще не настало, от разговоров о геометрии уклонялся. Каково же было его удивление, когда однажды, зайдя в детскую, он застал двенадцатилетнего сына за доказательством теоремы о сумме углов треугольника.

Удивительно рано проявилась математическая ода­ ренность будущего прославленного ученого. Однако в этой истории не менее удивительно другое.

15

Дело в том, что свои геометрические построения Блез проводил с помощью «палочек» и «колечек» — так он называл прямые и окружности. По всей вероятности, он представлял их себе имеющими вполне ощутимую тол­ щину. Точками ему, вероятно, служили этакие бусинки, шарики определенного и постоянного радиуса.

То, что столь необычные средства не помешали Пас­ калю прийти к успеху в его геометрических доказатель­ ствах, объяснимо лишь одним: для бусинок и палочек справедливы все те аксиомы, что и для точек без частей и прямых без ширины, как их определял Эвклид.

Через две точки можно провести прямую, и притом только одну, говорим мы. Две бусинки можно соединить палочкой, и притом только одной — так, вероятно, это утверждение представлял себе маленький Блез.

Он представлял это так потому, что так ему было удобнее, понятнее. Он, как сказали бы ученые, модели­ ровал своими палочками абстрактное понятие прямой. Точно так же моделируем его мы, проводя карандашом на бумаге ровные тонкие линии. Так же моделировал его древний землемер, натягивая веревку между колышка­ ми, так же моделирует его сегодня геодезист лучом лазера.

Подобных моделей может быть сколько угодно. И если в них воплощены одни и те же геометрические аксиомы, все они подчиняются следствиям из аксиом.

Нечто похожее мы наблюдаем во всех точных науках. Одно и то же уравнение описывает распространение тепла, просачивание нефти Через земные слои, проник­ новение электромагнитного поля в плазму. Одно и то же уравнение описывает течение жидкости, прцгиб мем­

браны, напряжения в брусе, подвергнутом кручению. Само уравнение служит, как говорят, математической

моделью явления или процесса. Одна и та же модель бывает пригодна для нескольких процессов и явлений, совсем непохожих друг на друга внешне, но подчиняю­ щихся одним и тем же математическим закономернос­ тям. Если общее,для них уравнение оказывается слиш­ ком сложным и (пока не поддается решению, можно, следя за одним процессом, безошибочно судить о его математическом двойнике.

16

Не заглянешь в толщу стального бруса, не увидишь картину напряжений внутри него. И тогда эксперимен­ татор натягивает гибкую мембрану на жесткий контур, повторяющий своей формой профиль бруса. Под рав­ номерной нагрузкой мембрана вспучивается. Ее изгибы точь-в-точь соответствуют распределению напряжений по сечению бруса. Почему это так? Потому что матема­ тическая задача формулируется одинаково и там и тут. Мембрану и брус породнила математика.

В каждом таком примере выразительно проявляется мощь математики. Она умеет разбираться в разнооб­ разнейших вопросах, исходя из немногих взаимосвязан­ ных основных понятий и утверждений.

Наблюдая различные процессы и явления, ученый старается разглядеть самые существенные' их черты, самые глубокие их закономерности. Часто они оказыва­ ются общими для широчайшего круга наблюдаемых со­ бытий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

•

Впрочем, когда мы хвалим математику, мы должны соблюдать осторожность.

Математические понятия — понятия отвлеченные, аб­ страктные. Это лишь слепок с реального мира, лишь его бледный силуэт. И поэтому та же приближенность свой­ ственна результатам любой математической теории, ка­ кими бы строгими и логичными путями они ни были получены: выводы не могут быть точнее предпосылок.

Выделяя абстрактные понятия в чистом виде, отсекая второстепенные детали, математик всегда обедняет жизнь. В математических рассуждениях, логичных и пос­ ледовательных, нет места ни шутке, ни неожиданному сравнению. Математическая мысль не исчерпывает всех проявлений человеческого разума

17

•

Прекрасная вещь — спелый арбуз. Но как убедиться в его спелости? Одни стучат по арбузу костяшками согну­ тых пальцев другие сжимают его с боков, прислушива­ ясь к внутренним звукам, третьи внимательно изучают хвостик. Однако самый надежный способ — вырезать уголок, вынуть и посмотреть на него. Вы ведь помните, какую форму он имеет?

aJ+ b V

Конечно, арбуз появился на этой странице не как лакомство. К вырезанному кусочку, напоминающему пи­ рамиду, мы хотим привлечь ваше внимание совсем не с той стороны, которая интересна при выборе арбуза, — не к красной вершине этой пирамиды, а к зеленому треугольнику в ее основании.

Вероятно, вам никогда не приходило в голову изме­ рять его углы. А зря. Ведь если бы вы измерили их и сложили, то пришли бы к любопытному результату: сумма углов этого треугольника превышает 18Q граду­ сов!

Еще более любопытный результат получился бы, если бы пробный кусочек увеличился до восьмушки арбуза. У треугольного основания этой пирамиды каждый из углов составляет по 90 градусов, а значит, их сумма в полтора раза больше нормы, которую предписывают законы школьной геометрии.

18

Непорядок у арбузных треугольников не только с уг­ лами. Возьмем последний из треугольников, рассмот­ ренных нами, — тот, у которого все углы прямые. Попро­ буем применить к нему теорему Пифагора. Она Гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Но наш треугольник, как нетрудно заметить, еще и равносторонний. Гипотенуза и оба катета у него равны друг другу. Стало быть, их нельзя подставить в пифагорово равенство, не нарушив его: сумма не может равняться каждому из двух слага­ емых!

Разумеется, мы несколько преувеличиваем, когда го­ ворим про свое изумление. Противоречия с эвклидовой геометрией, которые обнаружились при выборе арбуза, понятны. Ведь поверхность, на которой нарисозаны странные треугольники, искривлена. А 180-градусная норма установлена для-суммы углов плоских треуголь­ ников, которые только и изучаются в школьном курсе геометрии. Для них же выведена и теорема Пифагора.

Однако, на дело можнр взглянуть и по-иному. Можно изучить геометрические закономерности, лежащие в основе удивительных фактов, с которыми мы только что столкнулись. Затем можно свести эти закономерности в систему аксиом. Исходя из этих аксиом, можно строить некую новую геометрию, отличную от эвклидовой.

Русский математик Николай Иванович Лобачевский, известен как создатель первой неэвклидовой геомет­ рии. Не менее известен немецкий математик Бернгард Риман. Его именрм называют другую неэвклидову гео­ метрию, которой Подчиняются прямые на сфере — будь то поверхность арбуза или Земли. Прямыми здесь счи­ таются дуги больших окружностей. Так называются ок­ ружности, центры которых совпадают с центром сферы. Это, например, экватор или меридианы на глобусе.

И в геометрии Лобачевского, и в геометрии Римана многие утверждения противоречат представлениям эвк­ лидовой геометрии, которую излагают школьные учеб­ ники.

Например, в геометрии Эвклида через каждую точку, не принадлежащую некоторой данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и прйтом толь­ ко одну. Геометрия Римана не знает параллельных, в

19

ней любые две прямые имеют общую точку. В самом деле: на глобусе любые два меридиана пересекаются в полюсах. А вот в геометрии Лобачевского через данную точку можно провести сколько угодно прямых, парал­ лельных данной прямой.

В геометрии Эвклида сумма углов всякого треуголь­ ника равна 180 градусам, отношение длины окружности к радиусу всегда равно двум «пи» (2л = 6,2831852...). В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше, чем 180 градусов. Отношение длины окружности к радиусу здесь всегда больше, чем два «пи». В геометрии Римана — все наоборот. В этом можно убедиться с помощью все той же сферы. О сумме углов любого треугольника на ней мы уже говорили. Она всегда больше 180 градусов. По поводу окружностей Можно привести не менее ошеломляющий пример. Самая большая окружность на сферической поверхнос­

ти земного шара, экватор, только лишь в четыре раза длиннее своего радиуса, половины меридиана.

Однако, не надо думать, что у Лобачевского и Римана все не так, как у Эвклида. Например, в каждой из трех геометрий справедливы не­ равенства треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей, а разность — меньше.

Для геометрии Римана мы могли бы доказать это, проведя соответ­ ствующие построения на сфере. Есть наглядное пособие и для геометрит Лобачевского. Оно показа­ но на рисунке рядом. Эта диковин­ ная поверхность, состоящая как бы из двух воронок, сомкнутых растру­ бами, называется псевдосферой.

20