книги / Математика без формул

Попробуйте угадать — каков дальнейший ход графи­ ка? Как ведет себя та его ветвь, что скрыта от глаз?

Возможны варианты.

Читатель, конечно, догадывается, что стрелка справа несет ту же смысловую нагрузку, что и стрелка слева. Как и раньше, значение функции в исследуемой точке отмечено-жирным кружком. Функция может оказаться и не определенной в точке а, тогда жирного кружка на графике нет.

Если стрелка упирается в жирный кружок, то она становится излишней, и ее можно убрать. Если посту­ пить так с первым графиком, то после исправления мы узнаем в нем обычную непрерывную функцию Функцию-

представленную вторым графиком, естественно назвать непрерывной справа, представленную третьим — не­ прерывной слева. Но непрерывной в точке а — повторя­ ем! — . можно назвать лишь функцию, изображенную на первом графике. Все остальные, как принято говорить испытывают разрыв в точке а.

Теперь приглядимся внимательнее к неисправленным вариантам и подумаем: что у них общего, несмотря на все их различия? Нет, не только левая ветвь, но и ордината точки, в которую указывает стрелка левой ветви (на графике она отмечена буквой А). Это число именуют особым названием — левым пределом функ­ ции (или пределом слева) в точке а. По симметрии число В называют правым пределом функции (или пределом справа) в точке а.

Функцию естественно назвать непрерывной в точке а если у нее в этой точке предел слева совпадает с пределом справа и оба предела совпадают со значени­ ем функции в этой точке.

201

•

Как же определить понятие предела функции?

В строгом определении, очевидно, не годятся описа­ ния типа: «Ордината точки, к которой подходит взгляд, следя за ходом графика». «Следить взглядом» — поня­ тие не математическое. Однако из .него нетрудно из­ влечь вполне математическую идею, ведь в нем слышит­ ся отзвук уже знакомого нам термина «последователь­ ность».

Что будет, если к значению а устремить слева неко­ торую последовательность аргументов, не совпадаю­ щих с а? (Говорим «не совпадающих», потому что функ­ ция может быть и не определена в точке а). К какой величине устремится последовательность значений функции? К значению А — подсказывает график. Так вот, если такое будет происходить при любом выборе пос­ ледовательности аргументов, сходящейся к а слева, то число А называется левым пределом функции (или пре­ делом слева) в точке а. Точно так же определяется и предел справа.

Годится для определения и «метод газеты». Размес­ тим «газету» так, чтобы ее центр очутился в точке гра­ фика, соответствующей предполагаемому пределу — скажем, пределу слева. Если при любой высоте «газеты» ее левую половину удается обрезать сбоку настолько, что левая ветвь графика на урезанном промежутке не выступает ни за верхний, ни за нижний край газеты, то предполагаемый предел действительно является левым пределом функции в точке а. (Напомним, что значение функции в самой точке а в рассуждениях о пределе не принимается Во внимание). Точно так же по «методу газеты» определяется и предел справа.

В обоих определениях можно рассматривать сразу обе половинки окрестности точки а. Так, в первом опре­ делении можно строить такие сходящиеся к а последо­ вательности, члены которых могут быть как меньше, так и больше а (но не совпадать с а). И если полученные при этом последовательности значений функции всегда будут сходиться к некоторому пределу, то он будет называться просто пределом функции в точке а. Во

202

втором определении можно рассматривать значения функции на всем протяжении «газеты» как вправо, так и влево от точки а. И если знакомая нам процедура уре­ зания каждый раз позволяет заключать линию графика в рамки «газеты», то ее центр будет называться преде­ лом функции в точке а.

Напоследок — одно замечание. На картинке, с кото1 рой начался предыдущий раздел, можно было закрыть не правую, а левую половину. Домысливание графика, согласно уже перечисленным вариантам, не даст нам ничего принципиально нового, разве что в последнем случае. Здесь в результате дополнения может получить­ ся нечто вот такое:

Оба графика вуют разрывньи ям: ведь ни та, HI имеют конечного точке а. Иногда в

чаях говорят, что функция в этой точке стремится к бесконечному пределу, обраща

ется в бесконечность, имеет бесконечный разрыв и т.п

Линейная и показательная функции, парабола и ко­ рень квадратный — каждая из них непрерывна в любой точке своей области существования. Непрерывна всюду, как говорят в таких случаях.

Прекрасные примеры всюду непрерывных функций дают процессы движения. Причина в том, что простран­ ство и время непрерывны.

Недаром мы так охотно прибегали к образам движе­ ния, начиная рассказ о непрерывности. Но заметим: когда дело дошло до строгих определений, мы перешли к статическим изображениям прямоугольников, обреза­ емых то с боков, то сверху и снизу.

Если угодно, в этом переходе отразился знаменатель­ ный перелом в развитии математики.

Создавая учение о функциях, математики поначалу охотно доверялись наглядным кинематическим аналоги­ ям, памятью о которых в математической терминологии

203

до сих пор остались слова «стремится», «возрастает» и т.п. Аналогии часто были весьма плодотворными, но нередко заводили в тупики парадоксов. Решение пара­ доксов стало возможным лишь после того, как француз­ ский математик Огюстен Коши выбросил из уже создан­ ного учения о функциях ненужные остатки динамических образов и заменил их статическими.

Так возник тот «язык эпсилон-дельта», на котором ныне трактуются понятия непрерывности и разрывов, предела и производной (название языку дали применяе­ мые в нем обозначения для разброса функции и аргу­ мента — греческие б^свы е и 8 соответственно; читатель наверняка обратил на них внимание, разглядывая кар­ тинки на предыдущих страницах).

И любопытно: нарочито статичный язык позволил объ­ яснить многие запутанные феномены движения вроде пресловутых парадоксов Зенона, позволил подвести ло­ гическую базу под те представления о движении, на почве которых развивались первые идеи учения о функ­ циях.

Что ж, это нередкое явление в развитии науки: ученый охотно доверяется подсказывающей силе наглядных об­ разов, но затем логическим анализом проверяет под­ сказки и все достигнутое благодаря им.

204

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Знаете ли вы, что такое ралли9 Это автомобильные гонки, успех в которых определя­

ется соблюдением программы соревнований Скажем соблюдением сроков, отведенных на отдельные этапы маршрута: штрафные очки назначаются и за опоздание, и за опережение.

Двое сидящих за столом завтра займут свои места в автомобиле. Водитель и штурман, сегодня они обсуж­ дают тактику движения на предстоящем этапе ралли.

Лучший вариант, казалось бы, простпо известному расстоянию до пункта назначения и отведенному вре­ мени рассчитать среднюю скорость движения и старать­ ся придерживаться ее на всем пути На графике зависи­ мости пройденного пути от времени такой идеальный режим изобразится прямой с угловым коэффициентом, равным скорости

Длина предстоящего этапа — 300 км, отпущенное на него время — - 3 ч Средняя скорость движения получа­ ется отсюда простым делением100 км/ч

205

Однако постоянная скорость — идеал едва ли дости­ жимый. Выдерживать ее во все время пути затрудни­ тельно. Да и неразумно: трудные участки лучше просле­ довать помедленнее, а на ровных и прямых, напротив, поднажать. Вот и рекомендуемый график движения, розданный участникам ралли, заметно уклоняется от идеальной прямой: судя по графику, стартовать предла­ гается не спеша и наверстать упущенное к концу этапа.

Но как определить поточнее режим скорости, вер­ ность которому обеспечит рекомендуемую зависимость пути от времени? Иными словами, как, зная зависимость пути от времени, вычислить скорость в каждый момент, мгновенную скорость? Чему, судя по приведенному гра­ фику, она равна, например, через час с момента старта?

Средняя скорость на всем этапе в целом способна дать лишь грубый оценочный ответ на такие вопросы: отклонения от нее за все время пути могли быть весьма велики.

А если ограничиться отрезком времени покороче? Не станет ли от этого средняя скорость более точной оцен­ кой скорости мгновенной?

Измерим среднюю скорость автомобиля За час, начи­ ная с интересующего нас момента. Как свидетельствует график, на этом отрезке времени она составляет 95 км/ч.

Повторим измерения на получасовом интервале от выбранного мгновения. Средняя скорость упала до 86 км/ч.

2

Можно надеяться, что эта цифра уже точнее оценива­ ет мгновенную скорость в интересующий нас момент

206

дуга графиха, которой мы ограничились на сей раз, едва заметно отклоняется от отрезка прямой, стягивающего ее концы.

Это побуждает брать для измерений средней скорос­ ти все меньшие промежутки времени: пятнадцать минут десять, пять, три, две, одну, половину, четверть...

Вот результаты этих последовательных замеров: 83; 82; 81; 80,6; 80,2; 80,1; 80,05 км/ч...

Полученная последовательность явно обнаруживает стремление к пределу. Избранный нами путь ведет к какой-то цели.

Сделаем решающий шаг к ней: устремим к нулю продолжительность интервала, на котором измеряется средняя скорость.

Измерения при этом будут становиться все труднее В самом деле, как вести их на протяжении десятиили стотысячных долей секунды, за которые автомобиль проходит* лишь доли миллиметра? На пути к пределу мы где-то перейдем грань между автомобильным спортом

ичистой математикой. Но это не должно нас пугать, к этому мы и стремились и автомобилем воспользовались лишь для того, чтобы удобнее и быстрее добраться до цели.

Предел, к которому стремится средняя скорость на уменьшающихся до нуля, стягивающихся к данному мо­ менту отрезках времени (если этот предел существует!),

иназывается мгновенной скоростью в данный момент.

•

Посмотрим еще раз на построенные графики. Мы видим на них последовательность секущих. Каждая про­ ходит через две точки кривой. Одна из этих точек — общая для всех секущих и неподвижна. Другая стремит­ ся к ней, так что расстояние между ними последователь­ но уменьшается до нуля, до слияния обеих точек в одну.

Предельное положение секущих есть касательная — таково определение этой прямой.

Итак, исследуя вопрос о мгновенной скорости, мы нашли способ построения касательной. Мы видим, что она проходит через заданную точку графика пути с

207

угловым коэффициентом, равным мгновенной скорости в соответствующий момент времени.

*I

Так камень, сорвавшийся с пращи, свободно'летит по касательной к прежней траектории, указывая на­ правление своей скорости в момент отрыва.

Касательная к графику пути меняет наклон от точки к точке. Каждому моменту времени соответствует

свое значение мгновенной скорости. И для каждого момента рассчитать ее можно с помощью такой же процедуры, с которой мы только что познакомились.

Вот итог таких расчетов. Точно придерживаясь такого графика скорости, наши автомобилисты в своем движе­ нии в точности воспроизведут рекомендуемый график пути.•

•

У водителя и штурмана, которые на предыдущих стра­ ницах так тщательно готовились к ралли, неприятности. Расчеты мгновенной скорости, точный ее график — все насмарку. Стало известно, что сильные држди размыли дорогу на последних километрах предстоящего этапа. Финишировать придется на пониженной скорости, а

208

грозящее отставание компенсировать прибавкой темпа на среднем участке. Во всяком случае график скорости придется перестроить —

рости? Не сулит ли он в " итоге штрафных очков за § опоздание или опереже­ ние? Как рассчитать прой- S денный путь по графику скорости, которая столь => резко изменяется за время движения?

Если бы скорость была неизменна, расчет не пред­ ставлял бы трудностей: пройденный путь был бы равен произведению скорости на время. Та же формула по­ зволила бы довольно точно оценить пройденный путь, если бы скорость за время движения менялась не слиш­ ком сильно. Время в пути следовало бы умножить на некоторое среднее значение скорости, лежащее где-то между максимальным и минимальным, — подобно тому, как на прежнем графике скорости тонкая горизонталь­ ная прямая лежала между наивысшей и наинизшей точ­ ками жирной кривой.

С новым графиком скорости, казалось бы, так уже не поступишь. Слишком резко колеблется кривая. Лишь на среднем участке ее можно без большой ошибки заме­ нить горизонтальной прямой, то есть счесть движение равномерным, скорость — постоянной и путь, пройден­ ный за это время, рассчитать по той самой формуле: «скорость на время». График движения на этом промеж­ утке времени изобразится прямолинейным отрезком.

На крайних участках скорость меняется сильнее, и если применить такой же прием, погрешность будет побольше. Но все-таки это лучше, чем ничего.

Так получается первый приближенный вариант графи­ ка движения — трехзвенная ломаная. Наклон каждого звена равен прикинутой нами средней скорости движе­ ния на каждом из интервалов разбиения.

209

Кажется, этап будет пройден не в срок, а с опереже­ нием в добрую четверть часа. Но с уверенностью это утверждать еще нельзя — больно уж неточен расчет. Большие сомнения вызывает выбор средней скорости, в особенности на крайних интервалах разбиения. Гра­ фик скорости там слишком сильно отклоняется от идеа­ лизированного среднего.

Будь интервалы поуже, эти отклонения были бы на­ верняка поменьше, а результаты расчета — поточнее.

И действительно, разделив интервалы пополам и по­ вторив на каждом из шести новых интервалов ту же процедуру, мы вычертим ломаную менее угловатую. Еще раз измельчим интервалы. Новый график отлича­ ется от предыдущего уже слабее.

Проведем такие построения еще и еще раз, разбивая отрезок времени на все более мелкие части. Можно заметить, что новые графики все меньше отличаются друг от друга. Сам собой напрашивается предельный переход: устремить к нулю длину интервалов разбиения.

Ломаная превратится в гладкую кривую. Это и будет график движения, для которого задана зависимость пути от времени.

График оказался удачным: придерживаясь намечен­ ного режима скорости, наши автомобилисты пройдут предстоящий этап в назначенный срок.

210