книги / Математика без формул

Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить ее графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Макси­ мум — это наибольшее зна­ чение функции по сравне­ нию с ее значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

В примере с урожаем дело обстоит точно так же, как в той застольной ситуа­ ции, которую описывает по­

словица «Недосол на столе — пересол на спине». Каче­ ство пищи зависит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли — невкусно, много тоже в рот не возьмешь. А где-то в промежутке, в золотой середи­ не, когда соли в самый раз, кушанье становится особен­ но лакомым. В этой точке кулинарная функция достигает максимума. Малейшей щепотью соли больше или мень­ ше — и дегустатор с утонченным вкусом скажет, что качество пищи снизилось.

Есть у максимума антипод — минимум. Минимум — это как бы дно впадины, из которой, куда ни шагни, все

Если на всем ее протя­ жении локальных минимумов несколько, то абсолютный

нужно еще поискать. Может, кстати, оказаться, что функ­

181

ция принимает наименьшее значение в граничной точке области определения. (Все сказанное легко перефрази­ руется по отношению к наибольшему значению, абсо­ лютному и локальным максимумам.)

В семье элементарных функций, которая поставляла примеры для наших предыдущих рассуждений, боль­ шинство составляют функции, либо всюду возрастающие, либо всюду убывающие. Такое преобладание от­ нюдь не характерно для всего огромного мира функци­ ональных зависимостей. На практике гораздо чаще при­ ходится иметь дело с такими представителями этого мира, которые наделены обоими качествами: местами они возрастают, местами убывают. Участки убывания и возрастания стыкуются в точках максимумов и миниму­ мов. Подобное можно увидеть у параболы или синусои­ ды. Проследите эти графики слева направо, от меньших аргументов к большим: в точке минимума спад сменя­ ется ростом, в точке максимума — наоборот. Общая стыкующая роль максимумов и минимумов подчеркива­ ется их обобщающим названием «экстремум». Как под словом «ребенок» подразумевается либо мальчик, либо девочка, так понятие «экстремум» распадается на «мак­ симум» и «минимум».

•

«Не круто начинай, круто кончай». Эта пословица за­ служивает того, чтобы быть включенной в правила науч­ ной организации труда. Тем более что за ней так и видится графическое выражение.

Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространен­ ной манерой работы. На нее тоже есть своя пословица: «Горяч на почине, да скоро остыл».

Обе функции, представленные на графиках зависящи­ ми от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному.

Наклон одной кривой постоянно увеличивается. Рост функции усиливается с ростом аргумента. Такое свой­ ство функции называется вогнутостью.

182

Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называется выпуклостью.

Если вам хочется получше уяснить различие между вы­ пуклостью и вогнутостью, сравните график роста чело­ века с графиком роста насе­ ления Земли. Здесь опятьтаки и та и другая функция возрастающие. Но рост чело­ века со временем замедляет­ ся: достигнув зрелого возрас­ та, человек уже не растет. На­ селение земного шара, на­ против, с течением времени растет все быстрее и бы­ стрее. В первом случае мы говорим о выпуклости, во вто­ ром — о вогнутости.

Нетрудно найти иллюстра­ ции этим понятиям и среди элементарных функций. По­ казательная функция — во­ гнутая. Логарифм, корень квадратный — выпуклые. Вы­ пуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше к его полету: достигнув мак­

симальной высоты, он начинает падать; однако искрив­ ление его траекторйи сохраняет прежний характер, и это подсказывает, как распространить понятие вогну­ тости и выпуклости на случай убывающих функций. Все усиливающийся спад — это выпуклость, все замедляю­ щийся — вогнутость.

Парабола вершиной вниз представляет собой вогну­ тую функцию: сначала она спадает все замедляющими­ ся темпами, потом нарастает все ускоряющимися. Во­ гнутой функцией является и гипербола, построенная для

183

положительных значений аргумента. Другая ветвь ги­ перболы выпуклая.

Напоследок стоит отметить, что одна и та же функция может иметь как участки выпуклости, так и участки вогнутости — поглядите на ту же синусоиду. Точки, в которых выпуклость сменяется вогнутостью или наобо­ рот, называются точками перегиба.

«Это сказка про белого бычка». Так говорят, когда какое-то дело безнадежно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату.

Поговорку знают рее, но не каждый знает, как расска­ зывается сказка. Важная деталь рассказа — реакция слушателя. Сказка представляет собой диалог:

—Рассказать тебе сказку про белого бычка?

—Расскажи.

—Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку про белого бычка?

—Так давай же!

—Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе сказку про белого бычка?

—Ну хватит!

—Ты ну хватит... и так далее.

Ссылку на сказку про белого бычка часто заменяют цитированием первых слов песни «У попа была собака». Ради полноты приведем и ее.

«У попа была собака. Он ее любил. Она съела кусок мяса. Он ее убил. И в землю закопал. И надпись написал: «У попа была собака. Он ее любил...» и так далее.

Белый бычок и поповская собака нужны нам для раз­ говора о периодических функциях, для уяснения мате­ матического понятия периода и тех искажений, которые привносятся в него обыденной речью.

Периодичностью в обыденной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть более или менее строгой. Достаточно сравнить между собой приведенные тексты: во втором, какую букву ни

184

возьми, она обязательно повторится через 89 букв. Про первый текст такого не скажешь.

В обыденной речи утвердилось выражение «период солнечной активности». Если бы все явления на Солнце подчинялись строгой периодичности, их можно было бы предсказывать нч сколь угодно долгий срок. Стала бы не нужна всемирная служба Солнца с ее круглосуточны­ ми наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, как в ближайшее время изменится количество солнечных пятен, интенсивность солнечных вспышек и т.п.

X

«•

к J i

с

Все они могут быть спокойны за свое будущее. Мак­ симумы и минимумы солнечной активности сменяют друг друга через неодинаковые промежутки времени и не совпадают по величине. Можно говорить об их чере­ довании, о периодичности же в строгом смысле не может быть и речи.

Большей строгостью проникнуто выражение «перио­ дическая печать». Газеты выходят день за днем, а если понедельник и пропускается, то можно говорить о не­ дельном периоде. Журналы печатаются из месяца в месяц или из декады в декаду, из недели в неделю. Однако абсолютной строгости понятие периода не до­ стигает и тут. Она была бы здесь, если бы время выхода соблюдалось с абсолютной точностью, а тексты полнос­ тью совпадали.

По-видимому, безупречные примеры периодичности способна дать только математика. Здесь периодической называется всякая такая функция, любое значение ко­ торой в точности повторяется каждый раз, когда аргу­ мент увеличивается на определенную величину, назы­ ваемую периодом.

185

(Стоит заметить, что для периодической функции нет меньшей по сравнению с периодом величины того же свойства. Большие могут быть: значение функции будут повторяться и через два периода, и через три, и так далее. Вот почему иногда говорят о наименьшем перио­ де периодической функции.)

Прекрасные примеры периодических функций дает тригонометрия: синус, косинус, тангенс... Вспомните наш рассказ про динамомашину, вспомните, как вра­ щающаяся рамка размеренно и точно раз за разом занимала каждое из своих положений, вспомните пояс­ нявшие рассказ чертежи: цикличность процесса естест­ венным образом обусловливает периодичность описы­ вающих его функций в их зависимости от угла и време­ ни.

Для синуса и косинуса период составляет 360", для тангенса — 180’.

•

Психологи советуют: если вам нужно запомнить боль­ шой объем информации (скажем, большой текст), вооб­ разите себя прогуливающимся по хорошо знакомой улице и мысленно привязывайте отдельные куски текста к подъездам домов, афишным тумбам, киоскам... Когда потребуется воспроизвести заложенное в память, нужно вновь мысленно отправиться на прогулку по той же улице и считывать фразу за фразой с подъездов, забо­ ров, киосков...

Немало информации о свойствах функции быЯо пред­ ложено вашему вниманию на предыдущих страницах. Чтобы понадежнее уложить в память эту информацию, давайте воспользуемся советом психологов.

Отправимся в путь на автомобиле по шоссе из пункта А в пункт Б. Будем внимательно приглядываться к ре­ льефу дороги,-связывая с его особенностями математи­ ческие термины. Мысленно представим высоту в каждой точке пути над некоторым воображаемым горизонталь­ ным уровнем как функцию расстояния, пройденного вдоль этой горизонтали. Промежуток от А до Б — об­ ласть определения описанной функции.

186

Ровный участок дороги, естественно, ассоциируется с термином «константа». Дорога идет под уклон — это монотонное убывание. Кончился спуск — и водитель включает газ, отмечая тем самым точку минимума. До-

рожный знак указывает подъем, а у математика наготове свой термин — монотонное возрастание. Перевалили за гребень холма — пройдена точка максимума. И снова началось монотонное убывание, то есть спуск. На хол­ мах дорога выпукла, в ложбинах вогнута. Не отмеченные дорожными знаками стыки таких участков математик отметит про себя как точки перегиба.

Математические категории, о которых шла речь в этом описании, естественным образом делятся на две груп­ пы. Одни описывают поведение функции в окрестности некоторых характерных точек (максимум, минимум, перегиб), другие — в некоторых промежутках (выпук­ лость, вогнутость, убывание, возрастание).

Чтобы в общих чертах воспроизвести профиль доро­ ги, на графике достаточно наметить его сначала в ок­ рестностях характерных точек, а затем, воспроизводя его поведение в промежутках, заполнить пробелы.

По таким правилам можно восстановить облик любой функции. Так удобнее рисовать даже те функции, кото­ рые выражены формулами — как говорят, заданы ана­ литически.

Но как по формуле функции определить ее характер­ ные точки?

Об этом мы еще поговорим, когда речь пойдет о дифференциальном исчислении.

187

Обкатанные в автомобильных прогулках, отточенные на оселке народной мудрости, наши навыки обращения с функциями мы применим сейчас во вполне серьезном деле.

Физикам важно знать, как ведут себя газы при раз­ личных температурах и давлениях. Поведение газа оп­ ределяется взаимодействием между его молекулами. Предположим для простоты, как это часто делается в физике, что молекулы — это маленькие упругие шарики. Рассмотрим две такие молекулы и будем изучать, како­ му закону подчиняется сила их взаимодействия.

Известно, что на больших расстояниях молекулы вза­ имно притягиваются, причем с ростом расстояния сила притяжения убывает, стремясь к нулю. При сближении молекул она, напротив, возрастает. Когда шарики сбли­ жаются до соприкосновения, в игру вступает еще одна, противоположно направленная сила — сила упругого отталкивания. Она тем больше, чем сильнее прижаты шарики друг к другу, чем меньше расстояние между их центрами. Гипотетически можно представить центры молекул сближающимися на сколь угодно малое рассто­ яние, отчего сила их взаимного отталкивания возраста­ ла бы неограниченно.

Располагая такой не слишком обширной информа­ цией, можно приступать к графику. График должен изо­ бразить силу взаимодействия между молекулами как функцию расстояния между их центрами.

Расстояние между центрами не может выражаться отрицательным числом, не может и обратиться в нуль. График рисуется над положительной полуосью абсцисс. Это — область определения исследуемой функции.

Над дальним концом положительной полуоси абсцисс проведем прилегающий к ней вогнутый штришок. Своей близостью к горизонтальной оси он покажет, что с удалением молекул друг от друга сила их взаимодейст­ вия убывает до нуля, а вогнутой формой — что при сближении молекул сила их взаимного притяжения воз­ растает все круче. В точке с абсциссой, равной удвоен­ ному радиусу молекулы, на условной высоте отметим

188

точку перегиба; в этой точке силы упругого отталкива­ ния, вступив в игру, заставляют кривую графика сменить свое прежнее, все более крутое возрастание на возрас­ тание все более замедляющееся. В точке с абсциссой, еще меньшей, на чуть большей высоте проведем дужку

выпуклостью кверху. Она означает, что сила взаимодей­ ствия достигла максимума: с дальнейшим уменьшением аргумента силы упругого отталкивания преобладают над силами притяжения, кривая устремляется вниз. Выпук­ лый отвесный штрих проведем у нижнего конца оси ординат, чуть правее от него. Эта деталь показывает, что сила отталкивания между молекулами неограничен­ но возрастает, когда их центры неограниченно сближа­ ются.

Поскольку сила взаимодействия между молекулами определена для любого расстояния между их центрами, график должен быть непрерывной линией. Соединим намеченные штрихи гладкой кривой.

Такую картину часто можно увидеть в книгах по физи­ ке, правда, в перевернутом виде; у физиков сложилась традиция трактовать силы притяжения как отрицатель­ ные величины, силы отталкивания — как положитель­ ные.

Кривые такого сорта позволяют объяснить много важ­ ных деталей в поведении жидких и газообразных ве­ ществ.

Оси координат играют для ветвей нашего графика особую роль. Бесконечно удаляясь от начала координат, ветви графика как бы притягиваются к этим своеобраз­ ным прямолинейным направляющим, неограниченно сближаются с ними. Такие прямые называются асимп­ тотами.

Так случилось, что в нашем примере асимптотами служат горизонтальная и вертикальные прямые. Более

189

характернЬ употребление этого термина по отношению к наклонным прямым, когда к ним неограниченно при­ ближаются ветви графика, уходящие в бесконечность.

•

Что нынче в моде? Этот вопрос встает перед каждым, Kto задумал шить костюм или хотя бы брюки. Что зака­ зывать — клеш или дудочки? Какую ширину предписы­ вают брюкам модные журналы в этом сезоне?

•Ревностный поклонник моды тем и отличается, что он всегда знает ответ на такой вопрос. Ему известна зави­ симость ширины брюк от сезона. Известна мода как функция времени, будь то ширина брюк, высота каблу­ ков или длина юбок.

Ну а если клиент — невежда в вопросах моды? Что ответить закройщику на его роковой вопрос: «Брючки понизу сколько сантиметров делаем?»

Клиент в замешательстве. И не дай ему бог ляпнуть наугад первую пришедшую на ум цифру. В ответ он рискует услышать презрительное: «Э, батенька! Такое носили лет пять назад, да перед самой войной, да еще при царе Горохе...»

Оставим на этом вконец сконфуженного заказчика. Проанализируем слова закройщика, ибо в них нам ви­ дится подлинно математическое содержание.

Что же он сказал? По ширине брюк он указал годы, когда носили такие брюки. По значению функции моды он установил значение аргумента. То есть значение функции закройщик рассматривает как аргумент, а прежний аргумент стал при этом функцией.

190