книги / Математика без формул

мых функций представляет собой постоянную, то про другую в таком случае говорят, что ее умножили на постоянный коэффициент. Например, про функцию, вы­ ражающую прямую пропорциональность, можно ска­ зать, что она получается в результате перемножения двух простейших линейных функций — той, которая равна своему аргументу, и постоянной, равной коэффи­ циенту пропорциональности.

X

Наконец, подобным образом можно определить част­ ное двух функций. Заметим: функция-делитель не долж­ на обращаться в нуль ни при одном значении аргумента из ее области определения.

Итак, мы умеем теперь применять к функциям все четыре арифметических действия. В этом и состояла проблема, решить которую нам было необходимо для продолжения разговора о функциях.

151

Пора опробовать в деле только что освоенные нами действия над функциями. Возьмем линейную функцию, выражающую прямую пропорциональность, и прибавим к ней функцию-константу. В итоге получится линейная функция самого общего вида, примеры которой нам дали измерения длины нагреваемого металлического стержня и определение долготы по часам. Постоянной прибавкой в первом случае служила длина стержня .при начальной температуре, во втором — долгота того места, в котором были поставлены часы.

Если линейную функцию самого общего вида умно­ жить на постоянную, она сохранит свой линейный вид. Если сложить две произвольные линейные функции, получится опять-таки линейная функция.

А если к произвольной линейной функции прибавить параболу второй степени, умноженную на некоторый произвольный коэффициент? В итоге возникнет опятьтаки парабола второй степени; правда, ее вершина при этом сместится, если первое из слагаемых, линейная функция, не константа. Формулой для такой «смещен­ ной» параболы служит квадратный трехчлен самого об-

Если складывгть постоянную и линейную функции, параболы второй и более высоких степеней, то будут получаться функции, называемые полиномами.

В разговоре о конкретном полиноме принято указы­ вать его степень. Она равна наивысшей из степеней парабол, которые были слагаемыми при образовании данного полинома. Поэтому, например, о квадратном трехчлене говорят как о полиноме второй степени, о

152

линейной функции — как о полиноме первой, о постоян­ ной — как о полиноме нулевой степени.

Такая терминология не случайна. На предыдущих при­ мерах мы могли убедиться, что график полинома своей формой обязан параболе наивысшей степени, участво­ вавшей в его образовании. Так наклон графика линей­ ной функции, полинома первой степени сохраняется, если к ней прибавить постоянную, полином нулевой степени. А если к ней прибавить полином второй степе­ ни, график станет параболой.

Вся богатейшая семья механизмов, окружающих со­ временного человека, начиналась когда-то с семи,про­ стых машин. Древние знали рычаг, блок, клин, ворот, винт, наклонную плоскость и зубчатые колеса. Эти не­ хитрые по теперешним представлениям устройства ум­ ножали силу человека.

Но... во сколько раз выиграешь в силе — во столько же раз проиграешь в расстоянии. Так гласит золотое правило механики, заключающее в себе теорию семи простых машин.

График, приведенный на этой странице, есть нагляд­ ное выражение знаменитого правила. По горизонталь­ ной оси отложена сила, с которой, например, нужно давить на плечо рычага, чтобы поднять заданный груз на заданную высоту, по вертикальной — расстояние, которое пройдет при этом точка приложения силы.

Хотите обойтись силой, например, вдвое меньшей, чем вес груза, — будьте готовы к тому, что эта точка опустится на вдвое большее расстояние, чем высота подъема груза. Троекратный выигрыш в силе влечет за собой троекратный проигрыш в расстоянии и так далее.

153

Линия, выражающая такую функциональную зависи­ мость, называется гиперболой.

Если отвлечься от механической сущности графика, то в чистом виде останется выражение обратной п р о -' порциональности. Именно в соответствии с ней хозяйка делит пирог между гостями. Чем больше гостей — тем меньше порции.

Закон обратной пропорциональности глядит на нас и со шкалы радиоприемника. Вы крутите ручку настройки, и стрелка движется вдоль шкалы, на которой два ряда чисел — метры и мегагерцы, длина волн и их частота. Длина волн растет, частота падает. Но присмотритесь: при любом сдвиге стрелки во сколько раз увеличилась длина волны, во столько же раз упала частота.

График гиперболы можно увидеть в школьном каби­ нете физики, на лабораторном столе, где демонстриру­ ются явления капиллярности. В штативе несколько тон­ ких стеклянных трубочек, расположенных в порядке воз­ растания диаметров. Известно, что в тонком канале смачивающая жидкость поднимается тем выше, чем меньше его диаметр. Поэтому в самом узком канале жидкость поднялась выше всего, в другом, диаметр которого в два раза больше, — в два раза ниже, в третьем, что толще первого в три раза, — в три раза ниже и так далее.

А теперь опустим в эту же жидкость этакий клин, образованный двумя стеклянными пластинками, со­ мкнутыми по вертикальному ребру. В узкую щель между стеклами жидкость устремится, как в капил­ ляр. Высота ее подъема определится шири­ ной зазора. А он увеличивается равномерно по мере удаления от острия клина. Поэтому свободная поверхность жидкости четко вы­ рисовывает гиперболу — график обратной

пропорциональности.

Так как же все-таки возникла гипербола в стеклянном клине?

154

В учебнике физики можно отыскать формулу Н = k/d: высота поднятия жидкости Н получается делением не­ которого коэффициента к на ширину капиллярного за­ зора d. Зазор в стеклянном клине пропорционален рас­ стоянию от острия клина, иными словами, выражается линейной функцией от этого расстояния, а коэффициент определяется свойствами жидкости (поверхностным на­ тяжением, удельным весом) и с расстоянием от острия клина не изменяется, остается постоянным. Итак, наша гипербола получилась в результате деления простей­ шей линейной функции, константы, на чуть более слож­ ную линейную функцию, выражающую прямую пропор­ циональную зависимость.

Обе эти функции, как мы знаем, простираются и в область отрицательных значений аргумента. Учтя это, достроим график гиперболы до полного вида. На нуль, правда, делить нельзя, так что в нуле гипербола не определена, в ее область определения эта точка не входит.

Факт обратной пропорциональной зависимости можно выразить и иначе, сказав, что связанные ею величины в произведении дают постоянную.

Вспомним примеры из предыдущего раздела — ска­ жем, пример с тортом. Когда число гостей росло, вес порции уменьшался; произведение же этих двух вели­ чин оставалось равным постоянному весу торта. А при­ мер с радиоприемником? Произведение длины радио­ волны на ее частоту всегда равно скорости света.

Заметим: объединяя в произведении зависимую и независимую переменные, мы получаем примеры так называемого неявного задания функции. Этот термин употребляют во всех тех случаях, когда зависимая пере­ менная не выражена через независимую, а вперемешку

155

,с ней, в различных сочетаниях входит в некоторое ма­ тематическое выражение, приравненное постоянной, а чаще — нулю. Подставив в такое равенство значение независимой переменной, соответствующее значение зависимой подыскивают так, чтобы равенство удовле­ творилось. В этом и состоит закон соответствия, кото­ рый определяет функцию, заданную неявным образом.

•

Сейчас много говорят об информационном буме. Поток информации захлестывает: утверждают, что ее количество удваивается каждые десять лет.

Изобразим этот процесс наглядно, в виде графика некоторой функции.

Примем объем информации в некоторый год за еди­ ницу. Поскольку эта величина послужит нам началом дальнейших построений, отложим ее над началом коор­ динат, в которых будет строиться график, по вертикаль­ ной оси. Отрезок, вдвое больший, восставим над еди­ ничной отметкой горизонтальной оси, считая, что эта отметка соответствует первому десятку лет. Еще вдвое больший отрезок восставим над точкой «два», соответ­ ствующей второму десятку, еще вдвое больший — над точкой «три»... Декада за декадой — избранные нами значения аргумента выстроятся по горизонтальной оси в порядке равномерного нарастания, по закону арифме­ тической прогрессии: один, два, три, четыре... Значения функции отложатся над ними, возрастая каждый раз вдвое, — по закону геометрической прогрессии: два, четыре, восемь, шестнадцать... (Нетрудно заметить, что эти числа представляют собой последовательные сте­ пени двойки — первую, вторую, третью, четвертую и так далее.)

А что если посмотреть, как нарастал поток информа­ ции до того года, который принят за начальный? Столь же равномерно, откладывая единицу за единицей, прой­ демся по оси абсцисс влево от начала координат и над отложенными значениями аргумента будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания — вдвое с каждым шагом.

156

Теперь соединим все нанесенные точки непрерывной гладкой линией — ведь количество информации нарас­ тает от десятилетия к десятилетию плавно, а не скачка­ ми.

Перед нами график так называемой показательной функции.

Как же определяется эта функциональная зависимость, обрисованная покуда лишь лег­ ким росчерком пера?

По пути к строгой ее форму­ лировке мы предлагаем вам, чи­ татель, поразмышлять над во­ просом: во сколько раз нараста­ ет объем информации за пят­ надцать лет, если за декаду он увеличивается вдвое? Пятнад­ цать лет — это полторы декады. Стало быть, ответ на поставлен­ ный вопрос дает высота постро­ енной нами кривой в точке с

абсциссой «полтора»: примерно в 2,83 раза. А теперь, обратите внимание: абсциссе «один» на графике соот­ ветствует первая степень двойки, абсциссе «два» — вто­ рая степень, абсциссе «три» — третья... Логично заклю­ чить отсюда, что число 2,83 есть двойка в степени полтора.

Точно таким же образом график укажет нам любую другую степень двойки — целую или дробную, положи­ тельную или отрицательную. Для этого стоит лишь от­ ложить показатель степени на оси абсцисс и измерить в этой точке высоту кривой.

Итак, каждое значение нашей функции есть двойка в степени, равной соответствующему значению аргумен­ та. Так и определяется показательная функция, описан­ ная нами. Число, возводимое в степень (в нашем при­ мере им служила двойка), называется ее основанием.

И еще один термин: график показательной функции именуется показательной кривой. Иногда эту линию называют экспонентой (от латинского «ехропеге» — «вы­ ставлять напоказ»). Многим этот термин знаком по рас­ хожему словосочетанию «экспоненциальный рост», вы­

157

ражающему наиболее броскую черту показательной кривой, — ее безудержно крутой взлет.

Примеры подобного роста подыскать нетрудно. Пока­ зательная функция непременно встречается при мате­ матическом описании таких Процессов, в которых ско­ рость изменения некоторого количества в каждый мо­ мент пропорциональна самому количеству.

По такому правилу размножается все живое: приплод пропорционален достигнутой численности. По закону все более крутого, экспоненциального роста увеличива­ ется колония микробов в чашке Петри. По такому же закону плодились кролики, за короткий срок заполнив­ шие Австралию.

Природа знает и примеры экспоненциального спада, когда скорость убывания некоторого количества в каж­ дый момент пропорциональна остатку (а стало быть, уменьшается вместе с ним; в этом — характерная черта экспоненциального спада).

Скорость химической реакции сохраняет пропорцио­ нальность количеству реагирующих веществ по мере того, как они расходуются с течением времени. (В этой пропорциональности заключается один из важнейших законов химии — так называемый закон действующих масс.) Скорость радиоактивного распада точно так же соразмерна с количеством еще нераспавшихся атомов.

И термин «период полураспа­ да» прекрасно отражает экс­ поненциальный характер про­ цесса: по прошествии этого периода число нерабпавшихся атомов сокращ ается

Т2Г

вдвое, еще период спустя — вчетверо и так далее. Если процесс изобразить графиком, то ординаты любых двух

точек Кривой всегда будут отличаться ровно в два раза, если их абсциссы разнятся на величину периода полу­ распада. Иными словами, когда аргумент изменяется по закону арифметической прогрессии, функция изменяет­ ся по закону геометрической прогрессии (на сей раз убывающей). А в этом — определяющая особенность показательной функции.

158

•

Проницательный читатель отметил некоторую непол­ ноту, узость нашего описания показательной функции.

Строя ее график за разговором об информационном буме или радиоактивном распаде, мы каждый раз раз­ бивали горизонтальную ось координат на отрезки рав­ ной длины и над засечками расставляли точки так, чтобы каждая последующая располагалась вдвое выше или вдвое ниже предыдущей.

Ну а если бы количество информации возрастало с каждым десятилетием не в два, а, скажем, в два с половиной раза? И соответственно по такому же закону изменялась бы высота точек, наносимых на координат­ ную плоскость. Что, в результате получился бы график уже не показательной функции?

Показательной. Но только с другим основанием, рав­ ным двум с половиной. Новый график, в общих чертах напоминая прежний, устремлялся бы ввысь уже с не­ сколько большей скоростью.

Всмотритесь в него: высота кривой над делениями горизонтальной оси равна последовательным степеням числа два с половиной: минус первая его степень равна четырем десятым, нулевая— единице, первая — двум с половиной, вторая — шести с четвертью и т.д.

Беря в качестве основания все новые положительные числа, мы получали бы все новые показательные функ­ ции. Не стоило бы только назначать на роль основания

159

единицу — ведь она остается собой при возведении в любую степень, так что показательная кривая выроди­ лась бы в горизонтальную прямую. Но есть среди всех чисел такое, которое чаще всех прочих служит основа­ нием показательной функции. О нем как-то раз у нас уже заходила речь: это — число е, равное 2,71828... Выбор пал на него в силу важных его достоинств, распростра­ няться о которых мы пока не имеем возможности.

Так что если в разговоре о показательной функции ее основание не указывается, знайте, что им служит число е.

Сколько звезд на небе?

Одним из первых, кто попытался точно ответить, на этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны, они, как люди, рождаются и умирают. И чтобы будущие иссле­ дователи могли следить за возникновением и угасанием звеед, Гиппарх составил свой звездный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил их по видимому блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппарх назвал звездами первой величины, заметно менее яркие — второй, еще столь же менее яркие— третьей и так далее в порядке равномерного убывания видимого блеска — до звезд, едва видимых невооруженным глазом, кото­ рым была присвоена шестая величина.

Когда ученые получили в свое распоряжение чувстви­ тельные приборы для световых измерений, стало воз­ можным точно определять блеск звезд. Стало возмож­ ным сравнить, насколько соответствует данным таких измерений традиционное распределение звезд по ви­ димому блеску, произведенное на глаз.

Оценки того и другого рода сведем на одном графике. От каждой из шести групп, на которые звезды распре­ делил Гиппарх, возьмем по одному типичному предста­ вителю. По вертикальной оси, будем откладывать блеск звезды в единицах Гиппарха, то есть ее звездную вели­ чину, по горизонтальной — показания приборов. За мас-

160