книги / Математика без формул

одном и том же множестве можно ввести и такой поря­ док, которым оно будет упорядочено, и такой, который его не упорядочивает.

Возьмем хотя бы множество натуральных чисел. Как уже говорилось, его упорядочивает отношение «х мень­ ше у». Рассмотрим теперь на нем другое знакомое нам отношение порядка: «х делит у», или, что то же самое, «у делится на х». Результат рассмотрения может пока­ заться странным: новым отношением, порядка множест­ во натуральных чисел отнюдь не упорядочено — нетруд­ но найти в нем такие два числа, что ни одно из них не делится на другое (5 и 7, 9 и 13 и т.д.).

Может быть, такая странность наблюдается только в мире чисел?

Что ж, обратимся к миру фигур. Рассмотрим на нем отношение вложения (такого, что контур вложенной фи­ гуры нигде не касается контура объемлющей). Это от­ ношение нерефлексивно (ни одну фигуру не вложишь в себя), антисимметрично (если одна фигура вкладывает­ ся в другую, то обратное невозможно — ситуация такая же, как с матрешками), транзитивно (здесь дело обстоит опять-таки как с матрешками).

Как видим, все свойства строгого порядка присущи отношению вложения. Но оно не упорядочивает множе­ ство фигур на плоскости: две различные фигуры, как показано на правом рисунке, могут оказаться такими, что первая не входит во вторую, а вторая не входит в первую.

А теперь станем сравнивать фигуры по площади. Мы обнаружим, что этим отношением их множество упоря­ дочено: про любые.две фигуры, не равные по площади, можно сказать, что площадь одной из них больше пло­ щади другой. В частности, из двух фигур на нашем рисунке, которые мы никак не смогли связать отноше­

101

нием вложения, правая явно уступает по площади левой (это можно и доказать: из всех ромбов с одинаковыми сторонами наибольшая площадь у квадрата).

Итак, если на каком-то множестве введено некоторое отношение порядка, это еще не гарантирует, что мно­ жество упорядочено этим отношением.

Если подобное наблюдается в строгой математике, то тем более это вероятно в тех жизненных ситуациях, когда речь заходит о каком-либо отношении типа поряд­ ка. Например, говоря о картинах и спектаклях, литера­ турных и музыкальных произведениях, употребляют слова «лучше», «талантливее» и т.п. Если даже отноше­ ниям, выраженным этцми словами, свойственны все признаки отношения порядка, остается открытым во­ прос: упорядочивают ли они упомянутые множества про­ изведений искусства? Всегда ли о любых двух постанов­ ках и книгах можно сказать, что одна лучше или талан­ тливее другой — подобно тому, как о двух цветах на картине мы с уверенностью можем утверждать, что один предшествует другому в спектре?

•

Бинарные отношения, которым мы посвятили немало примеров, — это всего лишь частная разновидность отношений, которые могут связывать элементы некото­ рого множества.

Мы уже говорили, что существуют также отношения, охватывающие сразу три, четыре, пять и вообще п элементов (л-арные отношения, как говорят математи­ ки).

Мы остановимся здесь на ^тернарных. Поясняя их, мы приводили в качестве примера отношение между роди­ телями и ребенком. Нетрудно подыскать пример тер­ нарного отношения и в элементарной математике.

Рассмотрим множество всех отрезков. Возьмем какие-либо три из них и спросим: можно ли составить из них треугольник? Определяющее правило на этот счет формулируется так: сумма любых двух отрезков из всякой троимы должна превосходить третий. Все тройки

102

отрезков, находящихся в таком тернарном отношении, пригодны для того, чтобы строить из них треугольники.

Когда исследуется какое-либо бинарное отношение, заданное на множестве вещественных чисел, то при этом очень помогает его график — фигура на плоскости.

Очевидно, чтобы описать графиком некоторое тер­ нарное отношение между вещественными числами, нам потребуется уже трехмерное пространство с системой координат в нем: каждую точку этого пространства можно трактовать как тройку вещественных чисел.

Пусть элементы всякой такой тройки выражают собой длины трех отрезков, из которых мы хотим составить треугольник. Как мы уже установили, для желаемого построения годится не всякая тройка, а лишь такая, элементы которой находят­ ся в вышеописанном тер­ нарном отношении.

Отберем все подходя­ щие тройки и посмдтрим: что за точки соответствуют им в трехмерном простран­ стве? В какую область про­ странства сложатся эти точки?

У нас получится пирами­ да, упершаяся вершиной в начало координат, касаю­ щаяся ребрами координат­ ных плоскостей и не имею­

щая основания, — она простирается неограниченно. Это и будет график того тернарного отношения, о котором мы завели разговор.

Он был титулярный советник, Она — генеральская дочь, Он робко в любви ей признался — Она прогнала его прочь.

103

По всей вероятности, причиной трагедии послужило какое-то несоответствие чинов и званий. Сейчас нам трудна это понять, но когда-то табель о рангах многое значила во взаимоотношениях людей (Табл. 2).

*Чин существовал в XVIII веке, потом был упразднен.

**Кавалерийский чин.____________________________

Здесь приведены армейская и гражданская колонки табели о рангах — в том ее варианте, который относится ко времени создания процитированного романса. Со­ ставленная Петром Первым, она впоследствии претер­ пела некоторые изменения.

Прослеживая взаимно однозначное соответствие между множествами гражданских и военных чинов, мы видим: титулярный советник действительно не ровня генералу, поскольку в пересчете на военные чины соот­ ветствует всего лишь капитану. Не улыбается бедняге и сравнение по гражданской шкале: здесь даже самому незнатному из генералов, генерал-майору, соответству­ ет действительный статский советник, что опять-таки гораздо Выше титулярного советника.

104

Итак, несчастный уступает своему несостоявшемуся тестю и'по военной, и по гражданской линии. Потому что взаимно однозначное соответствие, связывающее военную и гражданскую колонки табели о рангах, сохра­ няет отношение старшинства, которое установлено в том и другом множестве чинов.

Подобные случаи взаимно однозначного соответст­ вия, когда элементам одного множества, находящимся в некотором отношении, соответствуют элементы дру­ гого множества, находящиеся в том же отношении, На­ зываются изоморфизмом.

Изоморфизмом было, например, взаимно однознач­ ное соответствие между множеством спектральных цве­ тов и множеством слов фразы: «Каждый охотник желает знать, где сидят фазаны». Это соответствие сохраняло отношение предшествования, которое можно ввести в

обоих множествах.

Следует сразу же отметить, что наши примеры со сватовством титулярного советника и с фразой про охотника и фазанов дают еще не совсем полное, а сказать вернее,— предельно узкое представление об изоморфизме. Когда он устанавливается между двумя множествами, то не обязательно, чтобы элементы того и другого подчинялись одному и тому же отношению, как было в наших примерах.

Об изоморфизме говорят и тогда, когда в каждом из эквивалентных множеств действует свое отношение' Важно лишь вот что: если несколько элементов из одно­ го множества связаны некоторым действующим там отношением, то соответствующие им элементы другого множества связаны господствующим там отношением.

В таких случаях говорят, что изоморфизм, установлен­ ный между этими множествами, переводит одно отно­ шение в другое.

Из этого примечания, которое подчеркивает широту понятия изоморфизма, нетрудно понять, что им можно связывать не только упорядоченные множества — в них могут рассматриваться отношения весьма разнообраз­ ные, как станет ясно из дальнейших примеров.

Ради эффекта возьмем для начала такой, где изомор­ физм устанавливается между множествами чисел .и точек, причем отношение, существующее в одном, на

105

первый взгляд не имеет ничего общего с отношением, действующим в другом множестве.

Множество чисел здесь составлено из всех делите­ лей числа тридцать: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Множество точек — это вершины куба, расположенного так, как показано на рисунке.

Введем в нашем число­ вом множестве бинарное отношение кратности: «х делит у» (Мы уже рассмат­ ривали его когда-то на множестве всех натураль­ ных чисел и отметили, что оно этого множества не упорядочивает. Несложно проверить, что не упорядо­

чивает оно и наше числовое множество: в нем без труда можно подыскать такие пары чисел, что ни одно из двух не делится на другое — 2 и 3, 5 и 6,10 и 15.)

Во множестве вершин куба введем бинарное отноше­ ние следования: две вершины считаются связанными этим отношением, если из одной в друсую можно пройти по ребрам куба снизу вверх.

Взаимно однозначное соответствие между обоими множествами установлено самым простым образом: каждой вершине приписан один из делителей тридцатки (см. рисунок). Легко видеть, что это изоморфизм: если в нашем множестве чисел какое-то одно делится на другое, то соответствующие им вершины куба связаны восходящим путем по ребрам куба. Например, путь из точки 30 через точку 10 в точку 5 — это путь наверх. Остальные пути читатель может проследить самостоя­ тельно.

В примерах изоморфизма, подобранных нами, про­ стоты ради фигурировали такие множества, в которых вводилось лишь одно-единственное отношение. Можно рассмотреть случаи, когда в том и другом множестве, между которыми устанавливается взаимно однозначное соответствие, введено несколько отношений и каждое

106

из них, действующее в одном множестве, переводится в свое, действующее в другом множестве. Таково наи­ более общее понятие изоморфизма.

Перед вами фрагмент таблицы десятинных логариф­ мов. Слева — положительные числа, справа от каждого из них в той же строчке поставлен его логарифм. Так установлено взаимно однозначное соответствие между множествами чисел левой и правой колонки.

нии давали третье.

Итак, множество чисел правой колонки с тернарным отношением «сумма» между ними связано изоморфиз­ мом со множеством чисел левой колонки, где действует тернарное отношение «произведение».

Операция сложения гораздо проще и выполняется легче, чем операция умножения. Таблица логарифмов для того и существует, чтобы заменять умножение сло­ жением, а деление — вычитанием. Чтобы перемножить

107

два числа, следует отыскать в таблице их логарифмы, затем сложить оба логарифма и таким образом получить в результате логарифм произведения, а напоследок по нему найти все в той же таблице само искомое произ­ ведение. Деля одно число на другое, из логарифма первого следует вычесть логарифм второго, а затем по полученной разности найти в таблице искомое частное.

Особенно эффективна эта процедура, когда требует­ ся перемножать и делить многозначные числа. С такими числами, например, приходится ии/ють дело в астроно­ мии — оттого их и называют астрономическими.

Недаром французский естествоиспытатель Пьер Симон Лаплас говорил, что изобретение логарифмов удлинило жизнь астрономов.

•

Тот, кто бывал в Москве, конечно, провел немало времени в московском метро и видел схемы его линий, вывешенные в каждом вагоне подземных поездов. Когда-то эти схемы выполнялись в реалистической ма­ нере, извилистые линии были тесно привязаны к плану города. Но впоследствии географическая точность была принесена в жертву геометрической четкости: радиаль­ ные линии стали прямыми, кольцевая превратилась в строгую окружность.

При всей своей географической недостоверности второй план не менее удобен, чем первый. Оба изо­ морфны друг другу. Взаимно однозначное соответствие между точками-станциями на них очевидно: и там и тут они отмечены одинаковыми названиями. Это соответст­ вие сохраняет отношение следования: и там и тут путь от «Курской-радиальной» ведет нас через «Бауманскую» к «Электрозаводской», а пройдя от «Красносельской» к «Сокольникам», мы оказываемся далее на «Преобра­ женской площади». И там и тут путь от «Беляева» до «Новых Черемушек» проходит через «Калужскую», а чтобы проехать от «Юго-Западной» до «Университета», согласно тому и другому плану, надо проследовать через «Проспект Вернадского».

108

Если же судить с точки зрения ориентации, то второй план даже предпочтительнее первого: он проще, на­ гляднее.

Эта незатейливая иллюстрация вновь напоминает нам о достоинствах изоморфизма. Он позволяет спрямлять пути науки, заменяя один объект исследования другим, более простым, но сохранившим (быть может, в преоб­ разованном виде) все связи между своими элементами, существенные для исследования, свою структуру (кста­ ти, в дословном переводе слово «изоморфизм» и озна­ чает «одинаковая структура»).

Примеров тому немало: от моделирования физичес­ ких процессов до наблюдавшихся порой попыток пере­ фразировать целые науки, перевести одну на язык дру­ гой.

Раскройте вторую книгу «Начал» Эвклида и прочтите первое предложение:

«Если одна из двух линий разделена на произвольное число частей, то прямоугольник между этими двумя линиями равен вместе взятым прямоугольникам, содер­ жащимся между неразделенной линией и отдельными частями другой».

Разобравшись в черте­ же, вы, конечно, догада­ етесь, что Эвклид изла­ гает на геометрическом языке распределитель­ ный закон умножения от­ носительно сложения. И возможно, вас удивит эта нарочитая наглядность: не проще ли было напи­ сать алгебраическую формулу?

Все дело в том, что древнегреческие математики не владели понятием вещественного числа в той мере, в какой оно известно нам. Греки пользовались целыми и рациональными числами, но не знали иррациональных.

В этом смысле и нужно понимать, например, их вывод

отом, что диагональ квадрата не соизмерима с его стороной: отношение этих двух отрезков выражается

числом -J2, числом иррациональным, неизвестным

11 0