книги / Математика без формул

плоскости аргументов. Над этим сектором и будет про­ стираться поверхность, к построению которой мы при­ ступаем.

Ее удобно строить так же, как строят корабль. Со­ ставляя теоретический чертеж корабля, конструк­ тор представляет поверх­ ность корпуса натянутой на линии трех семейств — шпангоуты, батоксы, ва­ терлинии. Первые распо­ лагаются равномерным строем вдоль корпуса, вто­ рые — вправо и влево от продольной плоскости симметрии, третьи — по высоте.

Устанавливая «шпангоуты» для нашей поверхности, вообразим на время постоянной одну из независимых переменных — скажем, ускорение силы тяжести. Наша функция обратится тогда в функцию одной переменной, времени, и представится привычной параболой, описы­ вающей равноускоренное движение.

Теперь положим ускорение силы тяжести равным дру­ гой постоянной величине, скажем, ббльшей. Парабола получится покруче и расположится подальше от начала координат. Так построим еще несколько «шпангоутов» последовательно, придавая ускорению силы тяжести одно и то же приращение (рис. слева на стр. 242).

Для установки «батоксов» положим постоянным дру­ гой аргумент нашей функции — время падения. Тогда она вновь станет функцией одной переменной и притом весьма простой: ведь путь, пройденный падающим телом за фиксированное время, прямо пропорционален ускорению. Фиксируя время падения равномерно при­ растающими значениями, будем получать все более крутые графики прямой пропорциональности. Соответ­ ствующие прямые будут располагаться все дальше от начала координат.

Для проведения «ватерлиний» положим постоянным уже значение функции и обусловленную этим дзаимо-

241

связь двух аргументов станем рассматривать как неяв­ ную функциональную зависимость одного от другого. Соответствующую линию поместим на высоте, равной выбранному постоянному значению функции. Придавая функции все новые равномерно прирастающие значе­ ния, построим еще несколько «ватерлиний».

На столь частый скелет уже нетрудно натянуть поверх­ ность. После того, как это сделано, становится особенно заметным, что наши «шпангоуты», «батоксы» и «ватер­ линии» — это линии, по которым поверхность функции рассекают равностоящие плоскости, параллельные ко­ ординатным плоскостям. (Собственно говоря, именно так тезки наших линий определяются и в судостроении, когда речь идет о поверхности корпуса конструируемого корабля.) По таким сечениям можно изучать функцию, даже и не строя ее поверхность.

Если кому-то подобное построение покажется гро­ моздким, то можно ограничиться его заключительной стадией. Да и ту взять в упрощенном варианте, который особенно понятен на языке картографов, а не корабе­ лов.

Проекции линий, которые мы именовали «ватерлиния­ ми», на плоскость аргументов в математике называются линиями уровня. Они вполне родственны по смыслу тем линиям уровня, которые в географических координатах

проводит картограф: точки земного рельефа, располо­ женные над этими линиями, лежат на одинаковой высо­

242

те над уровнем моря. Точки математических поверхнос­ тей, расположенные над и под линиями уровня, лежат на одном и том же расстоянии от плоскости аргументов (либо выше, если соответствующее значение функции положительно, либо ниже, если отрицательно. Попутно заметим еще раз, что соседние уровни, по которым рассекают исследуемые поверхности и картограф, и математик, отстоят друг от друга на одну и ту же вели­ чину).

Картограф раскрашивает промежутки между линиями уровня в разные цвета. Зеленый означает низменности, желтый — возвышенности, коричневый — горы. Немного воображения — и переливы расцветки предстают перед глазами изгибами рельефа. Однако опытный математик способен представить их себе и без подобной декора­ тивности. О характере поверхности он умеет судить лишь по рисунку линий уровня. Скажем, там, где они гуще, поверхность более крута.

Как выглядит в таком изображении исследованная нами поверхность, показывает правый рисунок на стр. 242. Сравните его с левым, и вы убедитесь, что сгущения и разрежения линий уровня хорошо передают крутизну и пологость математических «рельефов».

•

По заснеженному склону горы взбирается лыжник. По следу, который оставляет он, шагая лесенкой все выше и выше, сразу узнается'опытный спортсмен

Каждый раз лыжа ставится строго горизонтально, и каждый шаг направлен перпендикулярно к исходному положению лыжи

Разумность такой тактики можно подкрепить матема­ тикой.

Поставить лыжу строго горизонтально, исключая риск покатиться вниз, — это значит построить касательную к линии уровня. Шагнуть перпендикулярно к исходному положению лыжи — это значит обеспечить наибольшее продвижение вверх по склону. Почему?

Если отвлечься от спорта и рассматривать склон горы как поверхность некоторой функции двух переменных

243

(достаточно «гладкую» поверхность; разъяснение этого эпитета увело бы нас далеко), то можно доказать, что функция в каждой точке своей области определения

растет наиболее быстро в направлении, перпендикуляр­ ном линии уровня, то есть в направлении, перпендику­ лярном касательной к линии уровня в данной точке.

Вектор, указывающий направление наибольшего роста функцйи в данной точке, называется градиентом функции в данной точке. Длина этого вектора выражает скорость возрастания функции в том направлении, ко­ торое он указывает.

К завтраку вы решили сварить себе яйцо. Сколько времени вам потребуется на это?

244

Каждый ответит на этот вопрос по-разному. Один бросит яйцо в кипящую воду надолго, чтобы сварить его вкрутую. Другой с часами в руках аккуратно отмерит пять или шесть минут, чтобы получить яйцо в мешочек. Тре­ тий спешит вынуть яйцо, едва погрузив его в кипяток, — он любитель яиц всмятку.

Говорят, о вкусах не спорят. Но тут и без спора ясно, что степень готовности яйца есть функция времени. Примерный вид этой зависимости каждый постиг на опыте.

Но этот опыт может подвести вас, если вы задумаете сварить яйцо в альпинистком походе, высоко в горах. В горах, где атмосферное давление меньше, вода закипа­ ет при пониженной температуре, там кипяток холоднее, и яйца в нем будут вариться дольше. В соответствии с этим изменится график.

Если бы вы задумали воспользоваться скороваркой, то все сроки сократились бы: ведь в скороварке поддер­ живается повышенное давление, а вода в таких условия*

245

кипит при более высокой температуре. График опять изменйт свой вид.

Итак, степень готовности яйца оказывается функцией двух переменных — времени и давления. И чтобы не загромождать возникающую у нас картину сетью все новых и новых линий, лучше представить график нашей функции поверхностью над Плоскостью обоих ее аргу­ ментов.

И все-таки не будем спешить с заменой серии функ­ ций одной переменной на функцию двух переменных.

Вдумаемся и согласимся, что роль обоих аргументов различна. В продолжении каждого опыта один из них — давление — остается неизменным, так что в математи­ ческом описании процесса его можно считать постоян­ ным коэффициентом, хотя от опыта к опыту он может меняться.

Переменные величины такого рода называются пара­ метрами.

•

В теории функций одной переменной важную ролы играет понятие дифференцируемости.

Существует ли что-нибудь подобное в мире функций многих переменных? Скажем, двух?

Когда речь шла только об одной переменной, диффе­ ренцируемость функций в некоторой точке, при некото­ ром значении аргумента означала возможность заме­ нить криволинейный участок графика простейшей из линий — прямой, совпадающей в данной точке с графи­ ком функции. И заменить не просто, а с выполнением некоторого требования к расхождению между графиком и приближающей прямой в окрестных точках: с умень­ шением ширины окрестности до нуля это расхождение должно стремиться к нулю быстрее, чем ширина окрест­ ности.

Такой приближающей прямой служит касательная — прямая, угловой коэффициент которой равен производ­ ной от функции в данной точке. Дифференцируемость и существование производной — одно и то же, если речь идет о функции одной переменной.

246

Функция двух переменных — это уже не линия, а поверхность. Простейшая из поверхностей — плоскость. Рассуждая по аналогии, мы должны назвать дифферен­ цируемостью функций двух переменных в некоторой точке возможность приблизить искривленную поверх­ ность плоскостью, в данной точке совпадающей с по­ верхностью. Приблизить с тем же, что и в случае одной переменной, требованием к расхождению между по­ верхностью и плоскостью в окрестных точках: с умень­ шением размера окрестности это расхождение умень­ шается и стремится к нулю быстрее, чем размер окрест­ ности. Если такая возможность существует, то функция называется дифференцируемой в данной точке, а при­ ближающая плоскость называется касательной плоскос­ тью.

Если функция дифференцируема в данной точке, то можно дать простой рецепт построения касательной плоскости. Рассечем поверхность двумя вертикальными плоскостями, проходящими через данную точку и парал­ лельными осям аргументов — х и у. В сечении получает­ ся две линии, две функции одной переменной: в ощной плоскости — функция переменной х (переменная у при этом фиксирована, играет роль параметра), в другой — функция переменной у (роль параметра теперь игра­ ет х). К линиям мы умеем проводить касательные. Про­ ведем их в исследуемой точке поверхности. Получим две пересекающиеся прямые. Через две такие прямые мы умеем проводить плоскость. Проведем ее. Это и будет касательная плоскость (рис. на стр. 248 слева).

Угловые коэффициенты касательных, на которые мы словно натянули плоскость, — это производные соот­ ветствующих функций одной переменной: либо х, либо у. По отношению к функции двух переменных эти производные называются частными: частная производ­ ная функции по х и частная производная по у.

Алгоритм построения касательной плоскости весьма четок и неприменим, казалось бы, лишь к немногим, скажем, к разрывным функциям — то есть к таким, по­ верхности которых состоят из разрозненных нестыкующихся кусков. Это не так. Касательную плоскость иногда не удается построить даже к таким поверхностям, в сечениях которых вертикальными плоскостями возника-

247

ют гладкие, дифференцируемые функции, иными сло­ вами, у которых существуют обе частные производные. По-видимому, не случайно их называют частными. Они несут весьма частную информацию о функции, расска­ зывая лишь о ее поведении в вертикальных секущих плоскостях. Между тем в секторах между секущими плоскостями функция может оказаться капризной. Там расхождения между нею и плоскостью, построенной по вышеописанному алгоритму, могут не удовлетворять тем условиям, которые позволяют назвать построенную плоскость касательной.

И это ничуть не удивительно. Ведь за построенную нами плоскость по самой сути ее построения можно поручиться лишь в том, что она тесно прилегает к кри­ вым в сечениях поверхности двумя вертикальными плос­ костями. А это отнюдь не может гарантировать тесного прилегания построенной плоскости к данной поверхнос­ ти в секторах между секущими плоскостями.

Дифференцируемость и существование частных про­ изводных — отнюдь не одно и то же, если речь идет о функциях многих переменных.

Функция многих переменных, дифференцируемая в некоторой точке, имеет там все частные производные. К ее поверхности можно провести касательную плос­ кость, применяя вышеописанную процедуру.

Обратное, вообще говоря, неверно. Функция многих переменных, имеющая в некоторой точке все частные

248

производные, может оказаться недифференцируемой в этой точке (рис. на стр. 248 справа).

На рисунке — проект нового кафе с четырьмя залами. Посетители кафе вряд ли догадываются, что эти своды представляют собой поверхность функции, не диффе­ ренцируемой в центральной точке. Но это так. Если направить оси аргументов по гребням сводов, как пока­ зано на рисунке, и попытаться построить касательную, плоскость к поверхности в начале координат, то извест­ ный нам алгоритм даст горизонтальную плоскость. Именно она наиболее тесно прилегает к поверхности в направлении осей аргументов. Но в промежуточных сек­ торах о прилегании не может быть и речи: направляясь внутри них к центральной точке (скажем, от опор), мы видим, что расхождение между поверхностью и плост костью стремится к нулю пропорционально расстоянию до центра, а отнюдь не быстрее.

•

Снимок с метеоспутника. Как непрост узор облаков! Как сложны процессы, формирующие погоду на земле! Атмосфера неоднородна: в каждой точке — свое давле­ ние, своя температура, свое направление ветра. И все это ежечасно меняется. Синоптики имеют дело с функ­ циями многих Переменных: время, широта, долгота, высота — вот аргументы тех функциональных зависи­ мостей, которые определяют состояние атмосферы. Процессы в ней описываются дифференциальными уравнениями, содержащими производные по всем аргу­ ментам — частные производные. Это так называемые дифференциальные уравнения в частных производных. Их решение — дело трудное и не всегда осуществимое в полной мере даже на современных ЭВМ. Вот отчего точный долговременный прогноз погоды все еще оста­ ется серьезной проблемой.

Это лишь один пример, показывающий, сколь важную отрасль математики образуют дифференциальные уравнения в частных производных. (В отличие от них дифференциальные уравнения для функций одной переменной называют обыкновенными.)

249