книги / Математика без формул

Если радианную меру вам захочется обратить в гра­ дусную и наоборот, учтите, что они пропорциональны друг другу и закон пропорциональности таков: угол в Г выражается в радианной мере числом 0,017453..., а угол, равный единице в радианной мере, в градусной составляет 57°17’44,8"... (дуга окружности, стягивающая такой угол, по длине равна своему радиусу).

И пусть вас не удивляет, если в дальнейшем мы будем говорить «синус двойки», «тангенс половины». Зная, как соразмерены градусная и радианная меры, вы можете прикинуть в уме: двойка — это примерно сто четырнад­ цать градусов, половина — чуть меньше двадцати девя­ ти.

Такой пересчет удобен на первых порах знакомства с радианной мерой. Надеемся, что впоследствии вы убе­ дитесь, что она гораздо удобнее градусной.

Вы увидите, например, что тригонометрические функ­ ции встречаются не только в задачах, связанных с угла­ ми, поворотами, вращением. Если аккуратно снять шкурку с пластика колбасы, порезанной наискосок, то эта гибкая полоска, расправленная на столе, превратит­ ся в волну синусоиды. А вот пример посерьезнее. По синусоиде изгибается линейка, сжатая с концов, упругая балка под непомерной нагрузкой.

V А

Как поточнее перенести форму прогнувшейся линей­ ки на график? Какие единицы откладывать по горизон­

171

тальной его оси? Аргумент синуса мы привыкли выра­ жать в градусах. Но как измерить в них расстояние между концами прогнувшейся линейки?

Вот тут и обнаруживает свои преимущества радианная мера. Выберем единицу измерения так, чтобы рас­ стояние между концами линейки выражалось числом я. Отрезок такой длины отложим на оси абсцисс и постро­ им на нем график синуса.

Несколько характерных точек можно нанести на гра­ фик сразу. Синус прямого угла, как известно, равен единице, а радианная мера прямого угла — я/2. Это число соответствует середине отрезка, отложенного на оси абсцисс, — значит над ней следует поставить точку с ординатой, равной единице. Синус 30' равен полови­ не, а радианная мера этого угла — я/6. На графике появляется еще одна точка с координатами я/6 и 1/2.

Так, точка за точкой на координатной плоскости воз­ никает аккуратная синусоида.

« ...А за окном то вверх взлетали, то вниз нырялй провода», — вот непременный штрих картины, которую видит из вагонного окошка пассажир поезда дальнего следования.

Впрочем, чтобы увидеть эти красивые взлеты и спады, не нужно отправляться в дальнюю дорогу. Ведь точно по такому же закону провисает и цепочка ходиков, и верев­ ка, на которую хозяйка собирается вешать белье.

Оказывается, этот изящный прогиб математически описывается полусуммой двух экспонент — одна с плю­ сом, другая с минусом перед аргументом. Называется такая функция цепной линией.

Есть у нее и другое название — гиперболический косинус. Оно связано с чисто математическими свойст­ вами функции и, казалось бы, затеняет ее связи с физической реальностью. Это не так: абстрактность второго названия при желании можно понять как указа­ ние на то, что цепная линия пригодна не только для математического описания провисающих проводов и веревок.

172

Эта красивая функция задает, например, форму мыль­ ной пленки, натянутой между двумя проволочными коль­ цами: если посмотреть на эту прозрачную трубку сбоку, ее абрисбудет представлять собой цепную линию.

Коль скоро речь пошла о гиперболическом косинусе, нельзя не упомянуть о гиперболическом синусе — полуразности экспонент, одна с плюсом, другая с минусом перед аргументом.

Существует в математике и гиперболический тангенс, который, как и в тригонометрии, конструируется в виде отношения синуса и косинуса, разумеется, гиперболи­ ческих.

Определение тангенса — не единственная аналогия между функциями гиперболическими и тригонометри­ ческими. Формулы, связывающие между собой гипер­ болические функции, весьма похожи на формулы для тригонометрических функций.

•

Функции, о которых мы рассказывали до сих пор, называют элементарными. То же звание носят их все­ возможные комбинации с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня. Употребляя понятия, речь о которых еще впереди, ска­ жем ради полноты, что обратные и сложные функции,

173

полученные из перечисленных, также называются эле­ ментарными.

Не нужно думать, что в математике есть принцип отбора, по которому функции зачисляются в разряд элементарных. Так распорядилась история. Функции, названные элементарными, раньше, чем прочие, появи­ лись в математике и сыграли важную роль в ее развитии и ее приложениях. Опыт их использования богат, их символы привычны.

1V

к

Ф ун к ц и и Хевисайда

Если быть строгим, то надо признать, что функция, изображенная на рисунке (ее называют «абсолютная величина X», или «модуль X»), столь же элементарна, как

илинейная функция.

Афункция Хевисайда, Изображение которой приведе­ но следующим? Состоящая из двух горизонталей, онато уж совсем элементарна. Но появившаяся в матема­ тике на рубеже прошлого и на­ шего веков, она \Ьке не получила звание элементарной.

кругами на воде. Вот что мы увидим, если остановим мгно­ вение и рассечем пополам вод­ ную толщу.

Просматривая атлас функций — не найдется ли там чего похожего? — мы бы крикнули «эврика!» на страниц це, где изображены так называемые функции Бесселя.

174

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.

Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.

Точно так же облик каждой функции можно предста­ вить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Функции — это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы про­ иллюстрировать характерные свойства функций, нам показалось естественным обратиться к пословицам.

Ведь пословицы — это тоже отражение устойчивых зако­ номерностей, выверенное многовековым опытом наро­ да.

•

«Чем дальше в лес, тем больше дров», — гласит по­ словица. Изобразим графи­ ком, как нарастает количест­ во дров по мере продвиже­ ния в глубь леса — от опушек, где все давным-давно собра­ но, до чащоб, куда еще не ступала нога заготовителя.

Горизонтальная ось графи­ ка — это лесная дорога. П6 вертикали будем отклады­

176

вать (допустим, в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги.

График представит количество дров как функцию пути.

Согласно пословице эта функция неизменно возрас­ тает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес...) значение функции будет больше (... тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

Сходное свойство иллюстрирует и пословица «Каши маслом не испортишь». Качество каши можно рассмат­ ривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться

ина прежнем уровне. Подобного рода функции называ­ ются монотонно неубывающими.

Чувствуете ли вы, читатель, разницу между дровами

икашей? То бишь между монотонным возрастанием и монотонным неубыванием?

Возрастание — это только вверх. Неубывание — это либо вверх, либо ни вверх, ни вниз. Возрастание — частный случай неубывания. Например, всюду постоян­ ная функция (константа) принадлежит к числу неубыва­ ющих, хотя она ни на одном участке своей области определения не возрастает.

«Дальше кумы — меньше греха».

Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая. $

177

ограничена сверху некоторой «мерой».

Вот знакомый график синуса. И здесь есть своя мера, выше которой не вздымаются волны синусоиды. Такой мерой, такой непреступаемой верхней гранью может послужить и десятка, и семерка, и тройка, и единица.

Единица среди всех 1 перечисленных величин

• на особом положении: , ото точная верхняя грань для значений синуса.

I видно, что понизить ее уже нельзя. Для любого уровня, что ниже точной

верхней грани, найдутся значения функции, его превос­ ходящие. В этом одно из двух отличительных свойств точной верхней грани. А другое и совсем очевидно: ее не превосходит ни одно значение функции.

Обратите внимание на это выражение: «не превосхо­ дит». Это значит «меньше .или равно». Синус и в самом деле кое-где равен единице — в точках, соответствую­ щих макушкам волн. Во всех остальных он меньше единицы.

Есть у значений синуса и точная нижняя грань— минус единица.

Есть точная нижняя грань и у значений показательной функции — нуль. Правда, в отличие от синуса, который в некоторых точках равен по величине своей точной нижней грани, у показательной функции нет ни одной точки, где она обратилась бы в нуль. Как говорят, пока­ зательная функция своей точной нижней грани не до­ стигает.

Это, разумеется, не мешает нулю служить точной нижней гранью для показательной функции. Во-первых, для любого уровня, даже чуть-чуть выше нуля, найдутся точки кривой, лежащие под этим уровнем. Во-вторых, ни одна точка кривой не лежит ниже нуля. Нуль облада­ ет, таким образом, обоими отличительными свойствами точной нижней грани.

Сверху же никаких ограничений для показательной функции не существует. Назначьте любой уровень — как

178

бы ни был он высок, найдется значение функции еще большее. (Отметьте про себя эту фразу, в ней — опре­ деление функции, неограниченной сверху.)

Однако показательная функция способна и на боль­ шее: превзойти любой назначенный уровень не только в одной, но сразу во всех лежащих правее, более дале­ ких от нуля, точках. А это уже не простая неограничен­ ность. Про такую функцию говорят, что она стремится к бесконечности при бесконечном возрастании аргумен­ та.

Чувствуете ли вы, читатель, тонкую разницу между неограниченностью и стремлением к бесконечности? Если нет, то специально для вас мы выведем на эту Границу, как на цирковую арену, своего математичес­ кого коня, который способен скакать выше любой меры. Мы заставим его допрыгивать до все больших значений показательной функции.

Если представить траекторию коня как график неко­ торой функции, то это будет функция неограниченная: любую высоту наш конь возьмет в каком-то из прыжков. Но выше превзойденного уровня он не останется на­ всегда. Такую функцию, хотя она и неограниченная, нельзя назвать стремящейся к бесконечности.

Просматривая графики функций, о которых говори­ лось раньше, мы не раз найдем приложения только что сформулированным понятиям.

Вот, например, логарифм. Он неограничен снизу: какой уровень ни назначь — каждый раз, как бы ни был низок этот уровень, найдется значение логарифма еще ниже.

179

•

Нельзя не заметить: рекорды глубины логарифм бьет один за другим при значениях аргумента, все более близких к нулю. Говорят, что логарифм неограничен снизу в окрестности нуля.

Про логарифм можно сказать и больше: его кривая способна опуститься ниже любого назначенного уровня не только в одной какой-то точке, близкой к нулю, но сразу во всех точках некоторой окрестности нуля (ши­ рина окрестности, разумеется, зависит от того, какова назначенная глубина). Это означает, что логарифм стре­ мится к минус бесконечности при стремлении аргумента к нулю.

«При стремлении аргумента к нулю справа»,— уточнит нас, пожалуй, дотошный читатель. И тем самым даст нам повод к рассказу о том, как и зачем математики иногда не обращают внимания на знаки чисел.

Плюс десять и минус десять — это, конечно, числа разные. Но математик скажет, что они одинаковы по абсолютной величине. Этот обобщающий термин по­ зволяет математику говорить, что гипербола стремится к бесконечности при стремлении аргумента к нулю, что парабола и линейная функция бесконечно возрастают при бесконечном возрастании аргумента. Без упомина­ ния знаков плюс и минус бесконечное возрастание по­ нимается как возрастание по абсолютной величине. А когда говорят о стремлении аргумента к какой-то точке, не упоминая о знаках «плюс» и «минус», о левой и правой ее окрестностях, считается, что он может стремиться к ней с любой стороны.

•

«Пересев хуже недосева», — издавна говорили земле­ дельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной гус­ тоте ростки начинают глушить друг друга.

100