книги / Основы теории и расчёты рудничных транспортных установок
..pdfВыражения (665) и |
(6 6 6) представляют |
собой уравнение |
||
траектории полета частицы, заданное в |
параметрической |
|||
форме. |
|
|
|
|
Из выражения |
(665) |
получим |
|
|
|
|
t - |
------ — . |
(667) |
|
|
|
V0COS а0 |
|
Подставив это |
значение |
t в выражение (6 6 6), находим |
||
|
У |
tg а0 * * gx8 • |
(668) |
|
|
|
|
2VQCOS2 aQ |
|
Это выражение является уравнением траектории частицы в обычной форме.
Определим момент времени t= t\, при котором частица дости гает наивысшего положения. Для этого -момента времени vy= 0 , что на основании уравнения (663) дает
v0sin a — gtx — О,
откуда
|
fx = |
- |
V0 Sin а |
|
(669) |
|
g |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Координаты наивысшего положения частицы получим, под |
|||||
ставляя это выражение в уравнения |
(665) и (6 6 6): |
|
|||
X, |
t-Q Stn з0 COS |
V\ |
(670) |
||
= ------------------------ |
|
= — — sin 2a0; |
|||
|
g |
|
|
2g |
|
УI = — |
Sin2 a0 |
|
v\ SlnJ a0 |
V„ |
|
----------g - |
|
- 2g |
= ~*gr sin a° = h' |
(671) |
|
где h — высота траектории.
Выражение (670) может быть также получено, если взять
первую производную — и приравнять |
ее к нулю. Из уравне- |
||
|
йх |
|
|
ния (6 6 8) имеем |
|
|
|
J L |
= tga0 --------- |
^ ------- |
= 0 , |
dx |
|
COS2 a0 |
|
откуда |
|
|
|
_ |
tgaot>oCOS2a0 |
OQSin ftp COS or0 |
|
X x — |
-----------------------g |
= ------------ |
g----------- |
|
|
||
что возвращает к выражению (670).
Выражение (671) можно также получить, подставляя вы ражение (670) в уравнение (6 6 8). Имеем
|
Ух = |
Vi sin а0COS а0 |
|
|
£l/Jsin8 a0COSJ an |
|
|||
|
■----------------------tg «о |
|
gVvl COS’ a0 |
|
|||||
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
*0 |
|
2 - |
Sin2a0\ |
|
||
т. e. получаем |
выражение |
(671). |
|
|
|
||||
В момент падения на почву у = 0, |
следовательно, |
на основа |
|||||||
нии выражения |
(6 6 6) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
v0t sin a0— |
= |
0 |
(672) |
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*(®0sln a 0 - £ t - J |
= 0- |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*о = |
0 |
и |
= |
g |
(673) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
значение |
t2 |
из |
выражения (673) в |
уравнение |
||||
(665), |
будет иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
__ |
t/pCOS ар*2с/0 sin a0 |
(674) |
||||
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
дальность полета |
частицы |
|
|
|
||||
|
|
|
х 2~ I — - 2- sin 2a0. |
(675) |
|||||
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
Выражение |
(675) |
может быть также получено из уравнения |
|||||||
траектории (6 6 8) при условии, что |
у = 0 . Имеем |
|
|||||||
|
|
х tg a0 - |
2v\ COS» a0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
gx |
|
|
|
|
|
х |
tg a 0 - |
|
|
|
|
||
|
|
2v\cos2 a0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■* = •*<>= |
0 ; |
|
|
||
|
_______ tga0-2^COS*a0 |
2v\Sin a0 COS a0 |
|
||||||
|
X — JC2 — * — ------------------------ = |
— -------------------- |
|
||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
g |
|
т. e. получаем выражение (675).
Из уравнения (671) следует, что траектория имеет макси мальную высоту при а =90°
Amax = - ^ . |
(676) |
Из выражения (675) следует, что максимальная дальность полета будет при о,=45°
/шах-— - |
(677) |
g |
|
Для определения дальности полета материала при закладке по восстанию воспользуемся схемой, изображенной на рис. 105.
Рис. 105. К определению дальности метания мате риала при закладке по восстанию
Уравнением прямой Ох' является
|
y = |
* tg p . |
(678) |
|
Подставляя это значение у в уравнение (6 6 8), |
получим |
|||
* tg p |
= *tg<x0 |
2v\ cos2 a0 |
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
x 0= |
|
|
и |
A : = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
2(tg«o-tgft |
V Q COS* a0. |
(679) |
|
|
|
g |
|
|
Следовательно,
(680)
§ 2. ТЕОРИЯ ЛЕНТОЧНОЙ ЗАКЛАДОЧНОЙ МАШИНЫ С ВОГНУТОЙ
|
ЛЕНТОЙ |
|
|
На частицу материала |
Af, расположенную |
на |
вогнутом |
участке ленты, действуют |
следующие силы (рис. |
106) |
[41]: сила |
тяжести G= mg, нормальная реакция ленты N, |
сила трения |
||
^тр=/iV, где f — коэффициент трения частицы о ленту.
Выбрав произвольное положение точки М, разложим силу
тяжести |
G в двух направлениях: на нормальную составляющую |
|||||||
|
|
G cos ф |
и |
касательную |
со |
|||
|
|
ставляющую |
G sin ф. |
|
|
|||
|
|
Уравнение |
движения |
ча |
||||
|
|
стицы |
в |
касательном |
|
на |
||
|
|
правлении |
|
|
|
|
||
|
|
dv |
|
п |
|
|
|
|
|
|
т -----= F . тР — тё sin <р= |
||||||
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
= fN — mg sin?, |
(681) |
|||||
|
|
где v — касательная |
|
ско |
||||
|
|
|
рость |
частицы; |
|
|
||
|
|
Ф — угловое перемеще |
||||||
|
|
|
ние частицы. |
|
|
|||
|
|
Уравнение |
движения |
ча |
||||
|
|
стицы |
в |
направлении |
|
нор |
||
|
|
мали |
|
|
|
|
|
|
|
|
mv2 |
=N — mg cos <р, |
(682) |
||||
Рис. 106. |
К теории |
ленточной закла |
||||||
|
|
|
|
|
||||
дочной |
машины с |
вогнутой лентой |
|
|
|
|
|
|
|
|
гдe R — радиус барабана. |
||||||
Из уравнения |
(682) следует |
|
|
|
|
|
||
о2
N = mg cos <р+ т — ■. (683)
Д
Подставляя выражение (683) в уравнение (681), получим
т |
= m (g cos 9 + |
-77- 1/ — fug sin <p, |
(684) |
dt |
\ |
Я I |
|
откуда |
|
|
|
dt |
~ g ( f c ° s ? — sincp) + ~Яг < 2. |
(685) |
|
Обозначая через $ путь, пройденный лентой, запишем, что
В то же время
R<? = s
и |
|
|
|
|
ds = |
R df. |
|
(687) |
|
Решая совместно уравнения |
(6 8 6) и (687), |
будем |
иметь |
|
d t = |
J L |
= * * L . |
|
(688) |
|
V |
V |
|
|
Подставляя выражение |
(6 8 8) в уравнение |
(685), |
находим |
|
= gR (/ cos <р— sin <р) + f v 2. |
(689) |
|||
Приближенное решение задачи можно получить, пренебре гая в правой части уравнения (689) первым членом. Тогда по лучим
|
|
vdv |
= |
г о |
|
|
|
|
dy |
/т,- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
/dtp. |
|
(690) |
Проинтегрируем |
это |
уравнение |
|
|
||
|
|
V, |
|
+«, |
|
|
|
|
И И / * |
|
|
||
|
|
о, |
|
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
1пт>2 — In^, = / ( ai + |
®2)- |
(691) |
|||
Сумма углов a t |
и а2 |
равна |
|
полному |
углу обхвата |
а. При |
нимая во внимание, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим
|
In — |
—fa . |
|
(692) |
|
vl |
|
|
|
Потенцируя выражение (692), находим окончательно |
||||
|
v2= |
, м/сек, |
|
(693) |
где V\— скорость, |
с которой материал |
поступает |
на вогнутый |
|
участок ленты, м/сек; |
|
|
|
|
V2 — скорость |
вылета материала из |
машины |
(скорость ме |
|
тания), м/сек. |
|
|
|
|
Из этого выражения следует, что если пренебречь давле нием частицы на ленту от ее веса, то скорость выброса t>2 зави-
217
сит только от |
начальной скорости |
vu |
коэффициента трения |
||
между частицей и лентой /, угла поворота частицы |
с лентой |
а |
|||
и не зависит от радиуса барабана R. |
|
|
v |
||
Уравнение |
(693) справедливо, |
если |
скорость |
частицы |
|
меньше скорости ленты ил.
Если по расчету оказалось, что v2>v.4, то необходимо отка заться от полученного результата, так как в этом случае ско рость метания равна скорости ленты.
Мощность двигателя закладочной машины расходуется на
преодоление сил вредных сопротивлений в самой |
установке |
и |
||
на сообщение материалу кинетической энергии. |
|
|
||
Если погонная нагрузка |
|
материала на ленте |
<7= ^ —, то |
|
элементарная нагрузка на дуге ds равна |
|
|
||
dG = |
qds = |
(694) |
||
|
v |
3,6v |
v |
' |
Принимая во внимание выражение (687) вместо (694), по |
||||
лучим |
|
|
|
|
d G ^ - ^ p - . |
(695) |
|||
|
|
3,6и |
|
|
Элементарная сила трения материала о ленту равна про изведению элементарной центробежной силы на коэффициент трения
dF = dQf-v\ = |
O friL. |
(696) |
gR |
3,6g |
|
Принимая во внимание (693) вместо (696), получим |
|
|
d F = |
. |
(697) |
3,6g |
|
|
Мощность, расходуемая на сообщение материалу кинети ческой энергии
N' = j vndF = р р р - (,°J• - 1) = |
(т>2 - v j, нГи. (698) |
О |
|
Вследствие большого числа перегибов ленты расход энергии На холостой ход составляет около 70% N ПоэТ°Му необходи мая мощность двигателя
N «* . 1:7Q?*- (v, - V,) = 0,00045 |
(«» - « 1)• |
(699) |
1 0 2 -3 ,6 ^ v |
Ч |
|
где г] — к. п. д. передаточного механизма.
Более точное значение скорости метания, чем полученное из уравнения (693), может быть получено, если в правой части уравнения (689) учесть также и первый член {41; 63]. Это урав нение является уравнением типа Бернулли и приводится с по мощью подстановки v2 = u к линейной форме.
Действительно,
|
, |
da |
|
|
vav = - у - * |
|
|
откуда |
|
|
|
— — |
2/u = |
2g7?(/cos<p — sin <р). |
(700) |
d<f |
|
|
|
Интегрирование этого уравнения дает |
|
||
v2 = и = — 2gR--д |
[З/sincp -+(1 — 2/*)cos<p -f Ce2f*], |
(701) |
|
1 + 4/» |
|
|
|
где С — произвольная постоянная, определяемая из условия
,v = v l при <р= — а,.
Имеем
С - eV«. 1 ± J p - <v\+ 3/sin <4 - (1 - 2/2) cos а,] . |
(702) |
Подставив выражение (702) в уравнение (701) и полагая Ф=<Х2, получим искомую скорость метания
- v\eV* + |
2^ [ (1- |
2/2) cos |
+ 3/sin “* |
|
2 |
1 |
L |
(1+4 Р)е%а |
|
|
(1 — 2/-*) cos ax — 3 / Sin a, |
П^ |
||
Введем обозначение |
1+4/» |
|
J |
|
|
|
|
||
J. |
_ o f |
(1 — 2/*) COS a2 + 3 / sin aa |
||
1 |
1. |
(1 + |
4 / * ) ^ |
|
|
(1 — 2у 2) cos ax — 3/sin ail 1 |
|||
|
|
1+4/» |
J ’ |
|
после чего уравнение |
(703) примет вид |
|
||
vl — («1 + kgR) e2la
или
v2 = et* y v\ + k {g R , м/сек.
(703)
(704)
(705)
(706)
Если в этом уравнении пренебречь членом k\gR, то мы при ходим опять к выражению (693).
Значения коэффициента ki |
для а = 30° |
и при |
разных |
/ |
и аг |
|||
приведены в табл. 29 [63]. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
29 |
|
Коэффици |
|
|
Активная дуга обхвата лентой барабана а2, гр ад |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ент трения |
|
150 |
155 |
160 |
165 |
170 |
|
180 |
/ |
145 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
0,6 |
0,556 |
0,552 |
0,550 |
0,548 |
0,546 |
0,544 |
0,542 |
|
0,7 |
0,702 |
0,702 |
0,700 |
0,698 |
0,698 |
0,696 |
0,696 |
|
Как видно из этой таблицы, значения k\ изменяются в срав нительно узких пределах; при среднем значении &i = 0 ,66 воз можная ошибка не превышает 2% . Принимая &i = 0,66, на осно вании уравнения (706) получим
v2= el* v\ + 6,57?, Mfceк. (707)
§ 3. ТЕОРИЯ ЛЕНТОЧНОЙ ЗАКЛАДОЧНОЙ МАШИНЫ С ПРЯМОЙ ЛЕНТОЙ
Разложим силу тяжести G частицы, расположенной на лен те, на две составляющие: продольную G sin р и перпендикуляр
ную G cos р (рис. |
107). Сила трения, |
действующая «а частицу, |
|||
равна F = G f cos р |
и направлена в |
сторону, обратную |
силе |
||
|
G sin.p, |
так как |
скорость |
лен |
|
|
ты |
ил |
больше |
скорости |
час |
|
тицы. |
|
|
|
|
|
Приравняем |
приращение |
|||
|
живой силы частицы к работе |
||||
|
статических сил на длине лен |
||||
|
ты |
L |
|
|
|
Рис. 107. К теории .ленточной за кладочной машины с прямой лентой
Из уравнения (708) получим
= G fL cos Р — GL sin р, (708)
где vi — начальная |
скорость |
частицы, м/сек, |
|
1’г — скорость |
метания, |
м/сек. |
|
v2 = y r v2i - f 2g ( / cos p — sin P) L , м/сек. |
(709) |
Как следует из полученного выражения, с увеличением угла наклона ленты уменьшается разгон частицы; в предельном слу-
220
чае, если f cosp = sin|5, разгона частицы |
вообще |
не произойдет |
||
и конечная скорость (скорость метания) |
будет равна начальной. |
|||
При заданной конечной скорости необходимая длина ленты, |
||||
определенная из выражения |
(709), составит |
|
||
L = |
v \-v\ |
M , |
(710 |
|
cos p — sin ji) |
||||
2g ( f |
|
|
||
Как показывают расчеты, требующаяся длина лент в маши нах с прямой лентой оказывается в обычных случаях чрез
мерно большой. |
|
|
|||
|
Определим |
мощность |
двига |
||
теля [3]. |
|
|
|||
|
На |
горизонтальной ленте ча |
|||
стица |
получает |
ускорение |
|
||
• |
F |
Q/g |
f g = const. |
(711) |
|
J |
т |
G |
|||
|
|
||||
Скорость частицы меняется по закону прямой ОА (рис. 108). Если начальная скорость равна нулю, то путь, пройденный час тицей, равен площади треуголь ника ОАВ:
1 = - ^ . |
(712) |
За это же время лента про ходит путь, определяемый пло щадью прямоугольника АВОС,
Ln — vt = 2L. |
(713) |
Полная величина энергии, .рас ходуемой на ленте на преодоле ние силы трения и на сообщение частице кинетической энергии, равна
A ^ 2 L F = 2 — = 2A'. (714)
Ч
Таким образом, расход энер гии на сообщение частице кине тической энергии равен удвоен ной кинетической энергии са
мой частицы. Половина энергии А расходуется на сообщение частице кинетической энергии, а вторая половина на работу трения.
В общем случае, если начальная скорость частицы vu а конечная v2, то приращение кинетической энергии частицы равно работе сил трения:
(715)
2g
Величина L равна на диаграмме (рис. 108, б) пеции OBDE:
(о, + 1/2) t
Но
Щ — Vl _ |
|
t |
= J, |
|
|
откуда |
|
площади тра
(716)
(717)
|
|
|
|
|
t* * |
|
|
|
|
(718) |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
Подставляя |
выражение |
(718) |
в формулу (716), |
получим |
|||||||
|
|
|
Г __ |
^2 |
v2— ^1 |
|
« * -• ? |
(719) |
|||
|
|
|
|
2 |
|
У |
|
2У |
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"^2 — ]/" 2у1 + г»? |
|
(720) |
|||||
Полная энергия, затрачиваемая на ленте, |
|
||||||||||
|
Л = Fv„t = — — — FL = — — — А' |
(721) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vi + vi |
|
|
Если |
т;1 = |
0 |
и |
|
(рис. 108, в), |
то |
А > 2А ' |
|
|||
Если |
г»! > |
0 |
и |
v2 = г/л |
(рис. |
108, |
г), |
то |
Л > Л ', |
но Л < 2Л'. |
|
Секундная |
производительность машин |
равна |
|
||||||||
|
|
|
|
Q' = — °°^- = - 5 - , |
кГ/сек. |
(722) |
|||||
|
|
|
|
3600 |
3,6 |
|
|
|
|
||
Мощность, расходуемая на сообщение материалу кинетиче |
|||||||||||
ской энергии, |
в общем случае равна |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3,6^-2.10* |
3600-2 |
|
(723) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Полная мощность (с |
учетом |
работы сил трения) |
|||||||||
|
N |
|
2ул |
|
N' _ |
Qv„ (vt — i/Q |
кет, |
(724) |
|||
|
= |
•va + Vi |
|
YJ |
3600т| |
||||||
где ^ — к. п. д. |
передаточного |
механизма. |
|
||||||||
222