книги / Строительные конструкции
..pdfНижняя граница сжатой зоны размещается ниже полки, т. е. x > h 'n, в сечениях со слаборазвитыми свеса
ми. В этом случае сжатая зона сечения состоит из сж а той зоны ребра и свесов полки.
Положение нижней границы сжатой зоны определя
ется из уравнения. |
|
|
Fa = *пр Ьх + *пр К - |
Ь) V |
(VI -21> |
Условие прочности при моментах, |
вычисляемых от |
|
носительно оси, нормальной к плоскости изгиба и прохо дящей через точку приложения равнодействующей уси лий в растянутой арматуре, имеет вид
М < Rap Ьх (й0 — 0,5*) + д пр {ь'п - Ь) tin (ft0 -0 ,5 /4 ) • (VI -22
Для тавровых сечений должно соблюдаться условие
*<|вЛ о.
Ориентировочно высота тавровой балки может быть определена по формуле (из опыта проектирования)
Л = (15...20) V m , |
(VI.23) |
где h — см., М— тс-м. |
|
Ширину ребра обычно принимают равной: |
|
Ь = (0,4.. .0,5) ft. |
(VI.24) |
Размеры полки Ь'а и h'a чаще всего известны из компо
новки конструкции. Сечение арматуры F& по расчетному моменту определяют в зависимости от расчетного слу чая. Если нейтральная ось проходит в пределах полки, то Еа находят из расчета сечения как прямоугольного с одиночной арматурой при размерах Ь' и h0, используя
табл. VI. 1.
Расчетный случай таврового сечения может быть оп ределен по следующим признакам:
1) если известны все данные о сечении, включая Еа,
то при |
|
*а < *пр bnh„ |
(VI.25) |
граница сжатой зоны проходит в полке; |
при обратном |
неравенстве она пересекает ребро; |
h'n, b , h n задан |
2) если известны размеры сечения bn, |
|
расчетный изгибающий момент, но F& неизвестно, то при |
|
М < Явр ьа а; (л0 - о,5/»;) |
(VI.26) |
91
граница сжатой зоны проходит в полке; при обратном не равенстве она пересекает ребро.
Для случая, когда граница сжатой зоны проходит ни же полки, формулы (VI.21) и (VI.22) можно преобра зовать с учетом соотношений х = |Л 0 и (VI.15):
F* = £*пр bho + *пр (6п ~ |
Ь) h'n; |
(VI .27) |
М < Л0 /?пр bh20 + Rnp (b'„ - b) h'„ |
- 0.5ft'n) , |
(VI .28) |
где коэффициенты £, <4о принимают по табл. VI.1.
Эти формулы можно использовать для подбора се
чения. Если требуется определить F a, то из |
(VI.28) |
вы |
|||
числяют |
M - * n v ibu -b)h'n {ho-OM'n) |
|
|
||
|
(VI.29) |
||||
|
Л, = - |
*пР ьь1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
затем из |
табл. VI. 1 |
находят |, |
соответствующее вычис |
||
ленному Л о, и, согласно формуле (VI.27), |
|
|
|||
|
^ а Ч |
^ + К - б |
К ] ^ - |
(VI-30) |
|
Если |
необходимо |
проверить |
прочность сечения |
при |
|
всех известных данных, то расчетный случай лучше уста новить по формуле (VI.26) и затем (если граница сжа той зоны ниже полки) по выражению (VI.21) вычислить высоту сжатой зоны х, после чего воспользоваться фор мулой (VI.22).
Пример VI.4. В балке таврового профиля расчетный изгибающий момент от действия постоянных, длитель ных и кратковременных нагрузок М = 4 5 тс-м (450 кНХ
Х м ), h = 70 см |
|
(А0= 6 6 см), 6 = 2 5 см, расчетная |
шири |
на полки 6 „ = 6 |
0 |
см, А' = 8 см, бетон тяжелый |
марки |
М 200 (коэффициент условий работы бетона m ei=0,85),
арматура — стержни |
периодического профиля |
из стали |
||||
класса A-III. Требуется определить Fa. |
/?щ>=90 кгс/см2 |
|||||
Решение. Из прил. IV и VI находим |
||||||
(9 М Па), /?а= 36 0 0 |
кгс/см2 (360 МПа) |
для |
диаметров |
|||
более 10 мм. |
случай |
устанавливают |
по |
формуле |
||
Расчетный |
||||||
(VI.26): |
|
|
|
|
|
|
т б1 *пр *плп (ло ~ |
0.5 А„) = 0,85-90.60.8 (66 - |
0,5-8) = |
||||
= 2 280 000 кгс-см (228 000 МПа-см»),
что меньше требуемого по моменту М = 4 5 тс - м (450 кНХ
«2
Х м ). Следовательно, граница |
сжатой |
зоны пересекает |
|
ребро. По формуле (VI.29) |
|
|
|
|
А) — |
п |
|
|
Щ\ #пр Ц) |
|
|
|
4 500000 — 0,85-90(60 —25) 8(66 - |
0,5-8) |
|
“ |
0,85-90-25-66? |
|
0,381. |
|
|
||
Этому коэффициенту из табл. V I.1 соответствует | = =0,512. Согласно формуле (VI.30), искомая площадь сечения арматуры
|
0,85-90 |
= 23,9 см. |
|
|
= (0,512-25-66 + (60 — 25) 8] |
- |
|
||
Можно принять |
(см. прил. V III) |
201 8 А -Ш + 4 0 2 5 |
||
А-Ш с /7а=24,72 см2. |
|
|
|
|
Значение £ =0,512 |
менее граничного |д = 0 ,6 5 3 |
(см. |
||
пример V I.1); следовательно, условие |
применения |
рас |
||
четных формул соблюдается. |
|
|
|
|
§ V1.4. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПО НАКЛОННЫМ СЕЧЕНИЯМ
Основные расчетные формулы
Разрушение изгибаемых элементов по наклонному се чению происходит вследствие одновременного действия изгибающих моментов и поперечных сил на рассматри ваемом участке. В соответствии с этим развиваются внутренние усилия в арматуре, пересекаемой наклонной трещиной, а также в бетоне сжатой зоны. На рис. VI. 16 показана приопорная часть железобетонного элемента, армированного продольной, поперечной и наклонной ар матурой. Эта часть элемента отделена сечением, совме щенным с наклонной трещиной.
Для определения прочности элемента по наклонному сечению должны быть удовлетворены-два условия в соот ветствии с наличием М и Q на рассматриваемом участке балки (см. рис. VI.9, участок 1). Расчетная схема усилий (рис. VI. 16) составлена из предположения, что на эле мент действуют момент и поперечная сила, вычисленные при расчетных нагрузках, а в арматуре и бетоне напря-
93
Рис. VI.16. Расчетная схема усилий в наклон ном сечении (в скобках даны усилия в попереч ной и наклонной арма туре, принимаемые при расчете наклонных сечений по изгибающему мо
менту)
жения равны расчетным сопротивлениям. Таким обра зом, условия прочности имеют вид:
здесь Fa, F*> Fo—площади поперечного сечения стержней соответст венно продольной, поперечной (хомуты) и наклонной (отгибы) арма туры; Qg — поперечное усилие, воспринимаемое бетоном сжатой зо ны в наклонном сечении; а — угол наклона отогнутых стержней к продольной оси элемента; 2, 20, 2Х— плечи усилий в стержнях про дольной, наклонной и поперечной арматуры; Мд и ()д —расчетные
изгибающий момент и поперечная сила, определяемые относительно точки Д.
Формула (VI.31) выражает условие прочности по моменту: прочность элемента по наклонному сечению до статочна, если изгибающий момент Мд всех внешних сил, расположенных на выделенном участке балки, отно сительно центра сжатой зоны не превосходит суммы мо ментов внутренних расчетных усилий, возникающих в продольных, поперечных и наклонных стержнях армату ры, взятых относительно той же моментной точки.
Формула (VI.32) выражает условие прочности по поперечной силе: прочность элемента в наклонном сече нии достаточна, если поперечная сила ($д от всех внеш них сил, расположенных на выделенном участке эле мента, не превосходит суммы проекций на нормаль к оси элемента внутренних расчетных усилий в попереч ных и. наклонных стержнях, пересекаемых наклонной трещиной, и поперечного усилия, воспринимаемого бе тоном сжатой зоны.
Часть поперечных и наклонных стержней, располо женных в наклонной трещине ближе к сжатой зоне, полностью использована быть не может вследствие ма
04
лого раскрытия трещин в этом месте. Поэтому в форму ле (VI.32) усилия в поперечных и наклонных стержнях вводятся с расчетным сопротивлением Ra.x, несколько меньшим, чем Ra (см. прил. V II). В формуле (VI.31) рас четное сопротивление не снижают, поскольку моменты усилий в поперечных и наклонных стержнях, близко рас положенных к моментной точке, малы и на конечные ре зультаты заметного влияния не оказывают.
Расчетную поперечную силу, воспринимаемую бето ном сжатой зоны, определяют по эмпирической формуле
|
|
В_ |
(VI.33) |
|
Qo = |
С |
С 9 |
||
|
где B= kzRt>bfiQ ; fc2 —опытный коэффициент, принимаемый для тя желого бетона равным 2; h0 — рабочая высота элемента; b — ширина
прямоугольного |
сечения или |
толщина стенки |
таврового (двутавро |
||
вого) сечения; |
с — проекция |
наклонного сечения на ось элемента. |
|||
Условие прочности по изгибающему моменту |
(VI.31) |
||||
обычно |
удовлетворяют |
без расчета, соблюдая |
опреде |
||
ленные |
конструктивные |
требования, |
о которых |
будет |
|
сказано |
ниже. Условие |
прочности по |
поперечной силе |
||
(VI.32), как правило, требует особого расчета.
Согласно практическим рекомендациям для элемен тов прямоугольного, таврового и других подобных про
филей, должно соблюдаться условие |
для |
предельного |
значения поперечной силы |
|
|
Q < 0,35/?Пр bh0. |
|
(VI.34) |
Оно обеспечивает прочность бетона |
в стенке между |
|
наклонными трещинами от действия здесь |
наклонных |
|
сжимающих усилий.. |
|
|
Прочность элементов по поперечной силе не рассчи тывают, если в них не образуются (согласно расчету) наклонные трещины. Это устанавливают по эмпиричес кой зависимости
Q< V?p6ft0, |
(VI.35) |
где _ коэффициент, равный для тяжелого бетона 0,6.
Расчет поперечных стержней
Рассмотрим изгибаемый элемент с поперечным арми рованием без отгибов, что чаще всего встречается в прак
тике.
Расчетным из всех возможных наклонных сечений, 95
начинающихся в точке В (рис. V I.17), является то, ко торое имеет наименьшую несущую способность. Учтем, что
<2д = Q - pc; |
= дт с9 |
(VI .36) |
где Q —поперечная сила в начале наклонного сечения |
(рис. VIЛ7); |
|
qx — усилие, воспринимаемое поперечными стержнями, |
отнесенное к |
|
единице длины элемента. |
|
в (VI.32), |
Подставив выражения (VI.33) и (VI.36) |
||
находим |
|
|
Q<(qx + P ) c + — |
(VI.37) |
|
|
с |
|
Наименьшую несущую способность наклонного сече |
||
ния, очевидно, определим из условия |
|
|
dQ |
В |
|
— =(?£ + Р) — — = 0. |
|
|
ас |
cl |
|
Отсюда имеем проекцию расчетного наклонного се |
||
чения: |
|
|
с |
|
(VI.38) |
Подставив это значение в выражение (VI.37), полу чим условие прочности по поперечной силе с учетом на именьшей несущей способности наклонного сечения:
Q < 2 V B(qz + p).
Используя значение В из формулы (VI.33), найдем поперечную силу Qx.б, воспринимаемую хомутами и бе-
|
|
тоном |
в |
расчетном |
наклонном |
|||
|
|
сечении: |
|
|
|
|
||
|
|
<гхЛ= 2 1 |
/ \ v * o (? x+ |
р) • <VI-39) |
||||
|
|
В |
реальных |
условиях во |
||||
|
|
многих случаях нагрузка р при |
||||||
|
|
нимается |
равномерно |
распре |
||||
|
|
деленной |
только |
для |
расчета, |
|||
Рис. VI.17. Усилия |
в по |
а на самом деле она сосредо |
||||||
точена в некоторых местах. Мо |
||||||||
перечных стержнях, |
прини |
|||||||
жет |
оказаться, |
что |
на протя |
|||||
маемые при расчете |
балки |
|||||||
по наклонным сечениям |
жении наклонного сечения она |
|||||||
9в |
|
|
|
|
|
|
|
|
в действительности отсутствует. Поэтому нагрузку сле дует учитывать лишь тогда, когда она фактически рав номерно распределена, как, например, при давлении во ды или грунта.
Принимая р = 0 в формулах (VI.38) и (VI.39), нахо дим, что несущая способность сечения по поперечной силе, обеспечиваемая сопротивлением бетона сжатой зо ны и сопротивлением хомутов, равна:
Ql6 = 2 V k 2bl%Rpqx - |
|
(VI.40) |
||
При этом длина проекции расчетного наклонного се |
||||
чения определяется выражением |
|
|
||
Со |
|
Rp bhl |
|
(VI. 41) |
|
Ях |
|
||
|
|
|
|
|
На основании схемы, |
изображенной на рис. V I.18, |
|||
можно записать соотношения: |
|
|
|
|
?Х u = R&.X /х я или <7х и = Ra.xRx, |
Fx =/хП , |
(VI .42) |
||
где и— шаг поперечных стержней |
(хомутов); fx— сечение одного |
|||
поперечного стержня (одной ветви |
хомута); |
п — число |
поперечных |
|
стержней в сечении элемента. |
|
|
|
|
В расчетах обычно задаются диаметром поперечных |
||||
стержней и их числом в поперечном сечении |
элемента, |
|||
оперируя далее значением fxn = F x как известным. |
||||
Из выражения (VI.40) |
определяют требуемую интен |
|||
сивность поперечного армирования |
|
|
||
Q*- |
|
|
|
(VI.43) |
Ях |
|
|
|
|
4&2 bhl Rp
Рис. VI.18. Расчетные наклонные сечения на участках балки
а—с разным шагом поперечных стержней; 6 —между опорой и сосредоточен ным грузом при условии а<сь
97
Этому значению qх должно отвечать усилие в хому тах на единицу длины элемента:
<7х — |
#а.х Лс |
(VI. 44) |
|
U |
|
Необходимо учитывать, что расстояние между по перечными стержнями не может быть более того, при котором наклонное сечение проходит в пределах между соседними поперечными стержнями, и его несущая спо собность обусловлена лишь прочностью бетона сжатой зоны. В этом случае действительно условие Q ^ Q c - При мем во внимание выражение (VI. 33), в котором введем коэффициент 0,75, учитывающий возможные отклонения фактического направления трещин от расчетного вслед ствие неоднородности бетона, а также возможные не точности в размещении хомутов. Тогда расстояние ме жду поперечными стержнями не должно превышать значения
Нмакс — |
0,75.^2 Rp bhl |
(VI.45) |
|
|
Q |
При установлении шага поперечных стержней по мимо расчетных условий следует принимать во внима ние также конструктивные требования (см. § VI. 1).
На отдельных участках балки интенсивность попереч ного армирования (шаг, диаметр стержней) может быть различной. Начало расчетных наклонных сечений
выбирают на |
грани опоры и в |
месте, где Q |
= Q X.бп (см. |
рис. V I.18,а). |
Соответственно |
принимают |
расчетные |
значения поперечной силы. Участок элемента с интен
сивностью |
<7xi простирается от |
опоры до |
места, где |
Q = Q X.ей (см. рис. V I.18, а ). |
|
|
|
При сосредоточенном грузе Р, расположенном на |
|||
элементе |
на расстоянии а< .са |
от опоры, |
разрушение |
может произойти по наклонному сечению, идущему от
опоры к месту приложения груза |
(см. рис. VI. 18, б, сече |
ние I—/). Условие прочности для этого сечения полу |
|
чается на основании выражения |
(VI.37), в котором при |
нимается с = а : |
|
в |
« |
Qi < ? х а + ~ |
|
или с учетом формулы (VI. 33)
k2 R |
ы4 |
QI < я х а- |
(VI. 46) |
Отсюда усилие на единицу длины балки, приходя щееся на поперечную арматуру в сечении I—/:
1—] _ Qi |
^2 |
bh\ |
|
|
(VI. 47) |
Для сечения II—II за силой Р усилие в хомутах, согласно выражению (VI. 43), может быть вычислено по формуле
|
|
|
и—II |
(Q i - P f |
|
|
|
(VI.48) |
||
|
|
|
ЯX |
|
Щ bh\ Rp |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поперечную арматуру назначают по большему из |
||||||||||
усилий <7^-1 или <7"-П - |
|
|
|
|
|
|||||
Пример VI.5. |
Требуется |
рассчитать |
поперечные |
|||||||
стержни |
балки |
при |
6 = 2 0 |
см, |
Л =40 см |
(Л0= 3 6,5 ), |
||||
<2=8 тс (80 кН ); |
бетон тяжелый марки М 200 (/Лб1= |
|||||||||
= 1); поперечные стержни из стали класса А-Н. |
|
|||||||||
Решение. |
Из |
прил. |
IV и |
VI |
находим, |
что |
Рпр= |
|||
= 9 0 кгс/см2 |
(9 |
М Па), |
/?р= 7 ,5 |
кгс/см2 |
(0,75 |
М Па), |
||||
Да.х = 2 150 кгс/см2 (215 М Па). |
|
|
|
|
|
|||||
Проверка условий |
(VI.34) и (VI.35) |
|
|
|
||||||
|
|
|
Rp bh0 |
Q С 0,35 Rnp bh0-, |
|
|
|
|||
0,6-7,5-20-36,5 = 3300 кгс (33 кН) < Q = 8000 кгс (80 кН) < |
||||||||||
|
<0,35-90-20-36,5 = 23000 кгс (23 кН) |
|
|
|||||||
показывает, |
что |
поперечное |
армирование |
необходимо, |
||||||
размеры поперечного сечения балки допустимы. |
|
|||||||||
Принимаем поперечные |
стержни dx= 6 |
мм |
(fx== |
|||||||
=0,283 см2); n = 2 ; Fx= 0,283 -2=0,566 см2. |
|
|
|
|||||||
Расчетное усилие на единицу длины балки, прихо |
||||||||||
дящееся |
на |
поперечные |
стержни, |
согласно |
формуле |
|||||
(V1.43), равно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Qa |
|
80002 |
|
|
|
|
|
||
|
4k2bl%Rp |
4-2.20.36,5?.7,5 = 40 кгс/см (400 Н/см), |
||||||||
что меньше R^b = 7 ^ 2 0 =75 кгс/см (у50 н/см) _
99
Шаг поперечных стержней из равенства (VI. 44)
2150-0,566 = 30 см,
40
ПО условию |
(VI. 45) |
|
|
|
0 ,7 5 * 2 ^ ^ |
0,75-2*7,5-20-36,5? |
= 37 см; |
||
Имакс — * |
Q |
|
||
|
|
8000 |
|
|
из конструктивных условий (см. § VI. 1) ы ^ Л /2 = 4 0 /2 = |
||||
= 2 0 см, «г^ 15 см. |
|
|
|
|
Принимаем |
шаг |
поперечных стержней ы=15 см по |
||
наименьшему из полученных значений. |
|
|||
Расчет отгибов
Армирование элементов с отгибами применяют срав нительно редко для усиления отдельных участков балки, в которых действуют большие поперечные силы. Места размещения отгибов (отводов части продольной рабочей арматуры из растянутой зоны в сжатую) устанавлива
ют расчетом по |
нормальным и наклонным |
сечениям |
(см. рис. VI. 16). |
Отгибы устанавливают на |
тех участ |
ках, где Q > Q X.6 [см. формулу (VI.40)].
Условие прочности элемента по наклонному сечению
с учетом отгибов, определяемое |
по формуле |
(VI. 32), |
|
может быть записано в виде |
|
|
|
Q< Rал Fo s'n а + |
Qx.б • |
(VI.49) |
|
Отсюда находят площадь сечения отгибов |
|
||
F0 |
Q — Qx.c |
|
(VI.50) |
Яа.х sin а |
|
||
|
|
|
|
Конструктивные условия, обеспечивающие прочность наклонных сечений по моменту
Несущая способность наклонного сечения по изги бающему моменту [см. правую часть неравенства (VI.31)] не должна быть ниже несущей способности нормального сечения, проходящего через точку Д (см. рис. VI. 16). При определенных конструктивных усло виях, рассматриваемых ниже, это требование может быть выполнено, и в этом случае рассчитывать наклон ные сечения по изгибающему моменту необязательно.
100