Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метрологическая обработка результатов технических измерений

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

22.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

при подозрении анормальности некоторого результата наблю дения Х&, заметно отличающегося от остальных в выборке, вычис лить показатель анормальности V\ для этого результата и сопоста вить его с табличной величиной (5 для данного объема выборки. Если подозрения подтвердятся, этот результат наблюдения х%

должен быть из выборки исключен, а значения 1с и з вычислены ваново (для этой же выборки, но без хь)\

вычислить коэффициент вариации V для данной выборки; вычислить среднеквадратичное отклонение результата измере

ния

вычислить доверительные границы е случайной составляющей погрешности результата измерения;

вычислить доверительные границы 0 неисключенных остатков систематической составляющей погрешности результата измерения; вычислить доверительные границы общей погрешности резуль тата измерения (с учетом случайной и систематической составляю

щих); записать результат прямого измерения.

Если одновременно обрабатываются две совокупности резуль татов многократных измерений однородных физических величин и эти результаты предполагается сравнивать между собой, необхо димо установить, насколько статистически достоверны различия между этими выборками*.

Аналитический способ проверки соответствия опытного рас
пределения нормальному. Поскольку рассмотренная	статистиче
ская обработка результатов наблюдений основана на	использова

нии нормального закона распределения случайных величин, необ ходимо прежде всего убедиться, не противоречит ли распределение этих результатов в данной выборке нормальному закону. (Это должно быть сделано до начала статистической обработки,— непо

средственно после		исключения	систематических погрешностей).
При сравнительно небольшом числе наблюдений такую				проверку
можно	выполнить	аналитическим	способом — с помощью	«крите
рия	(по СТ СЭВ 1190—78).		И7» выполняется для выборок объ
Расчет с помощью «критерия

емом от 3 до 50 результатов наблюдений. При этом необходимо прежде всего упорядочить выборку, расположив все наблюдения х( в неубы

вающем	порядке	(в виде вариационного ряда): хг < х2 <			... < хп.
Исходные данные следует записать в				расчетную таблицу	(табл. 3).
				Таблица 3
	Х 1	/	йп - /+ 1	х п —/+1 Х 1	а Ах
1	2	3	4	5	6
1	Х 1
2	Х 2
		1
п	х п	1

0 Соответствующая методика этого анализа приведена на с, 23.

В нижней половине третьей графы таблицы снизу вверх запи-

сываются значения / от 1			до /, причем / =				п12, если п четное, и I =
= (п — 1) /2	при	нечетном		п.	л и /		следует	найти значения
Из прил. 8 при соответствующих
коэффициента		для		/ от 1 до /		и	записать	их снизу вверх
в графе 4, а затем подсчитать разности							— ху, которые должны
быть внесены	в	графу 5.		Результаты		построчного		перемножения
содержимого граф 4 и 5 записываются					в графе 6 таблицы.
Вычисляются		характеристики
								(2.01
			1=1		1ш*1
		I						(2.02)
		= { 2	дл - /+ 1			"" /)}
Отсюда критерий
				XV = Ь2/Фа.				(2.03)

Задавшись определенным уровнем значимости а , отображаю щим наибольшую вероятность ошибочности гипотезы о принадлеж

ности

данной

выборки

нормальной генеральной

совокупности,

по таблице в прил. 8 находим

значение

XV*.

справедлива,

При XV>-№ * можно предполагать, что гипотеза

и опытное распределение не противоречит нормальному

эакону.

При

XV <

XV*

опытное

распределение не соответствует

нормаль

ному

закону.

При вычислении значения <ра на .микроЭВМ вычитание двух

близких чисел

х\

приводит к появлению

большой

операционной ошибки. Так, для массива,

состоящего

из. л

величин

х{, незначительно отличающихся друг от друга

(можно представить

их как

Д*г), значение

<рч должно

определяться

только

со

вокупностью Ах1$ но

не зависеть

от абсолютного

значения

х. Пр.и

вычислении

же

на

микроЭВМ

возрастание х

при

сохранении

тех

же значений кхс приводит к увеличению

ошибки,— как

следствие

вычитания

относительно

все

более

близких

по

величине чисел

(табл. 4).

С целью снижения операционных ошибок целесообразно для

вычислении

ф2 пользоваться соотношением

Ф*= 2

<*1- ' с)2-

[ 2

(* -

с)]2.

(2.04)

/-1

4=1

Здесь

с — произвольное

целое

число, не превышающее наимень

шего

значения

но возможно

более близкое к

нему.

Графоаналитический способ проверки соответствия опытного распределения нормальному предполагает использование вероят ностной сетки1 на которой по определенным правилам строится

X			Ф*	\	Х 1	.	п /	" 1		* с » ,-»	и !


0,21		0,027 7158									Г,
7,21		0,0277		1	2	1	3	Л		5

20,21		0,0277
50,21		0,031			1	1			1		1
70,21		0,033		график		эмпирического				распределения
90,21		0,04
				(для	анализируемой				выборки). По кон
о том,	соответствует			фигурации этого графика можно судить
				ли опытное		распределение				нормальному за-
кону	(ГОСТ		11.008—75).
Существует несколько вариантов такого построения. Наиболее
удобный		из	них — с	простыми	вычислениями				и	прямолинейным

графиком для нормального закона распределения. Данный вариант может применяться в выборках с числом наблюдений от 3 до 40.

Как и в предыдущем случае, выборку следует упорядочить и записать в табл. 5. Если какие-либо значения результатов на блюдений в таком вариационном ряду повторяются несколько раз, в таблицу они записываются только по одному разу г но указывается количество этих одинаковых значений (частота Лу данной варианты

Ху упорядоченной				выборки);		для	неповторяющихся		значений		Ху
частота Яу =			1.
В следующей графе записываются нарастающим									итогом		так
называемые			«накопленные			частоты»		N^ (сумма значений		п,	от
начала	до	данного		х1	включительно;			/		7
								для последней,	у-й строки
N4 =	я),	после чего			вычисляются		значения интеграла			Лапласа
			Ф % ) -			(я +	I) -	0,5.		(2.05)

Зная Ф (г/у), по таблицам можно найти соответствующие зна; чения Уу Для этого может быть использована таблица (прил. 2)

однако удобнее воспользоваться специальной «обратной» таблицей (прил. 10). Для каждой пары значений х;. и у следует отметить

точку в прямоугольной координатной системе с равномерной шка лой (Ху — по оси абсцисс, — по оси ординат); соединив точки,

получим график функции у} = ср (х,.)*. Если этот график прибли


зительно прямолинеен,., то данная выборка не противоречит							нор
мальному закону распределения. Если				же график	криволинеен,
то выборка не соответствует нормальному закону.					По форме		кри
вой можно приближенно судить о характере закона					распределения
(рис. 14): правосторонняя асимметрия				означает, что у кривой			де
формирована, . вытянута правая ветвь; при левосторонней						асиммет
рии — растянута	левая	ветвь)	значения результата			измере
Вычисление	наиболее	вероятного
ния. Наиболее вероятным значением			искомого результата			является

среднее арифметическое выборки, которое определяется				по формуле
(1.39) или П 40).					резуль
Вычисление срелнеквадратического отклонения (СКО)
тата наблюдения.		Выборочное СКО результата наблюдения			вычис
ляется обычно по формуле. Бесселя (1.42)				вычислений,
Эта	формула	не очень удобна	для машинных
однако	несложными алгебраическими		преобразованиями ее		можно

к данной нормальной совокупности, то с вероятностью у можно


утверждать, что		абсолютное значение показателя				анормальности
Уь не	превысит	р. Следовательно,		критерием	анормальности яв
ляется	.условие	Уь > р.	Если это	условие соблюдается,			вероят
ность	данного результата		наблюдения х& меньше			I — у .	Следова
тельно, он анбрмален и должен быть исключен					из данной		выборки

(после чего значения х, 5 и V должны быть вычислены снова). Вычисление среднеквадратичного отклонения результата из

мерения. Выборочное СКО результата измерения оценивается формулой (1.47) по ГОСТ 11.004—74 и СТ СЭВ 876—78.

В формуле величина 5 - характеризует точность х как оценки математического ожидания случайной величины х. Из формулы (1.47) видно, что чем больше пу тем меньше 57 и тем, следова тельно, меньше значение случайной составляющей погрешности измерения.

Определение доверительной границы случайной составляющей погрешности результата измерения. Доверительный интервал слу чайной составляющей погрешности результата измерения обычно

расположен симметрично относительно величины х . Значение дове рительной границы 8 вычисляется согласно ГОСТ 8.207—76 по формуле (1.49).

Коэффициент доверия * в общем случае зависит от объема

выборки п и принятой вероятности у; значения его, вычисленные на основании распределения Стыодента, даны в прил. 6 (здесь число степеней свободы к = п — 1). При я > 30 значение коэф фициента доверия уже мало зависит от объема выборки; для ве

роятности у = 0,95			можно в соответствии с распределением Гаусса
полагать,	что	»	2.
Определение		доверитёльной		границы	неисключенных			остат
ков систематической составляющей				погрешности		результата измере
ния. При тщательной попытке исключить					систематическую состав
ляющую погрешности какая-то часть ее все равно							останется не-
исключенной. Доверительную границу 0					этих	остатков		можно
вычислить	в результате анализа условий проведения						эксперимента
(например,	неисключенная погрешность метода измерения,							пределы

допускаемой погрешности • и пределы дополнительных погрешностей

для средства измерения и	т.	д.)	быть несколько (0 ; —
Таких неисключенных	остатков может
их доверительные границы).		Если значения	0^ существенно отли

чаются друг от друга (например, на два порядка или еще больше), то меньшие из них следует отбросить, а оставшиеся просуммиро вать:

							(2Л0)
где	0* — граница		1*-й	неисключенной систематической			погрешно
сти;	т — число этих составляющих; К — коэффициент,						зависящий-
от	принятой	доверительной вероятности,			числа	составляющих
и соотношения		между		ними.		т < 4 прини
	Для доверительной			вероятности у — 0,95 при
мают коэффициент К = 1, 1.					общей	погрешности ре
	Определение		доверительной границы

зультата измерения. Доверительная граница ДЛ общей погрешно сти результата измерения А при наличии совокупности как неис ключенной систематической, так и случайной составляющих по-

гр.ешности, в соответствии с ГОСТ 8.207—76 производится в зави

симости от соотношения величин 0 и 5-:

при 0 /5 - < 0 ,8		(2.11)
величиной 0 пренебрегают и считают, что
АЛ =	е;	(2.12)
при 0/5 - > 8		(2,13)
пренебрегают величиной е, и
АЛ =	0:	(2.14)
при 0,8 < 0 /5 - < 8		(2.15)

доверительная граница АЛ вычисляется по формуле

Из формулы (2.13) можно вычислить максимальное			число на
блюдении, которые целесообразно	провести	в данных	условиях
(при СКО результатов наблюдений,	равном 5,	и наличии	неисклю-

ченных остатков систематической составляющей с границей 0) на

основании следующих рассуждений:	при	увеличении	п значение
5 “ уменьшается, однако уменьшать	5 -	целесообразно	только до

тех пор, пока 5^ не станет равной 0/8 (дальнейшее увеличение п

становится	бессмысленным, так как все	равно при определении
АЛ значением в придется пренебречь). Отсюда максимальное				число
наблюдений
	«МРКО = (88/ 0)2*			(2.17)
Запись	результата прямого измерения. Результат		прямого
измерения	записывается согласно ГОСТ 8.011—72		в	виде
(1.62)*.		распределения.	Способы
Вычисление эмпирических моментов		распределения.	Способы

анализа экспериментальных выборок (см. с. 31,32) позволяют опреде лить только наличие или отсутствие соответствия между опытным ваконом распределения результатов наблюдений и теоретическим, нормальным законом распределения случайных величии. Более полное статистическое описание свойств выборки можно получить с помощью совокупности моментов распределения.

При нахождении моментов распределения надо прежде всего упорядочить выборку — представить ее в виде возрастающего ряда неповторяющихся вариант в указанием частоты каждой

из них. Такое статистическое распределение выборки обычно за дается таблицей (табл. 6).

Интервал от хх до следует разбить на некоторое количество

& частичных интервалов длиной Н и подсчитать для каждого из них сумму частот вариант, попавших в данный интервал (варианты, оказавшиеся'на границе двух смежных интервалов, необходимо поровну распределить между ними). Среднее значение х в каждом частичном интервале называется равноотстоящей вариантой л: .

* Правила округления значений А в ДЛ см на с, 28,

*/	"/	*/.	п/о	V *
Ху		*1о
Ху		хйа

Отношение суммы частот п^ частичного интервала к длине этогс интервала Н называется плотностью частоты л/о/Л.

Величины

и п^/Н также удобно свести в таблицу

(табл. 7).

Отложив по оси абсцисс частичные интервалы и построив на них как на основаниях прямоугольники высотой я^/Л, получим

гистограмму частот. Конфигурация ее приблизительно отображает характер эмпирического закона распределения результатов наблю дений в выборке (чем меньше значение И. и больше общее число наблюдений л, тем более гистограмма приближается к кривой рас пределения).

.Начальные эмпирические моменты вычисляются по следующим формулам:

^ 2 "/ .*/ .: Й. = \		=
/=1	/-1	(2. 18)
/-1	/=1
Центральные эмпирические	моменты можно	найти по форму

лам (1.36), (1.37) и (1.38), предварительно преобразовав их для удобства вычислений на микроЭВМ:

		т а =	ц2 — ]?;		ш3 = Из —		(ц2 +		2?п2);
		Щ =		1*4 —	Дз +	((12 +		т 2).			(2.19)
ния	Для вычисления асимметрии и эксцесса используем, выраже
	(1.34)	и (1.35):
		А (х) = щ / ( т 2			У т 2;	Е (х) = тА/тГ — 3.					(2.20)
	При А (х) > 0 асимметрия					правосторонняя,				правая	ветвь
растянута;		при А (х)		< 0	асимметрия		левосторонняя, вытянута
левая ветвь (рис. 15).
чем	Если Е (х) > 0 , 'эмпирическая кривая более островершинная,
	нормальная;		при	Е (л:) < 0 — менее.
	Таким	образом, анализ величин ц1 =					^ (х );		т2 =	0(х);	А[х) и
Е (х) позволяет судить о характере						опытного		распределения.
	Особенности обработки эксперимешальных данных при прямых
неравноточных измерениях.					Неравноточными				называются		много

кратные измерения одной и той. же физической величины, выпол ненные в неодинаковых условиях или с помощью различных средств и методов. В этом случае в расчеты вводится понятие о весе измере ния & как о числе (обычно целом), которое отображает степень до-

верия к этому измерению: наименее достоверным наблюдениям при сваивается и наименьший вес (например, ^ = 1), а остальным при писывается тем больший вес, чем выше их достоверность. Резуль таты неравиоточных наблюдений обрабатываются аналогично ре* зультатам равноточных,, только формулы для вычисления х, $ и 5~ имеют другой вид:

			1= 1					(2,21)
			1= 1
			п
или	х =	с	+		— с),			(2.22)
а также			[=!
а также						Л
						Л
5			д. (Х[ _	су- -		ё( (х, - с)\| \| (2.23)
и					\|’=1
и								(2.24)
			5 ; =					(2.24)
Здесь х1 — результаты отдельных наблюдений;						— соответствующие
этим резул татам веса; § =			п	с — произвольное начало отсчета.
этим резул татам веса; § =			][]	с — произвольное начало отсчета.
			1=1	Линейная регрессия.				Если имеется
				Линейная регрессия.				Если имеется
			совокупность			экспериментально			по
			лученных		значений х* и г/*, причем
			. известен		характер		функциональной
			Рис.	15. Правосторонняя (Л > 0) и лево
			сторонняя		(Л <	0) асимметрии распре
			деления
связи между	величинами		X и У, то.		обработка		таких результа
тов измерений	сводится	к	вычислению		параметров			функции,	на

илучшим образом отображающей данную экспериментальную зави

симость (такая функция		называется уравнением				регрессии).
Этот метод удобен для обработки экспериментальных функ
циональных зависимостей		при	линейной		связи	между	X и У
(рис. 16,а):		У =	аХ +	Ь.			(2.25)

Это	уравнение называется		уравнением		линейной регрессии.
В результате обработки серии пар экспериментальных							величин
XI и У1	вычисляются коэффициенты			линейной регрессии			а и Ь:
а	*$1				1=1• •		(2.26)
	1=1	(= 1		1=1
	Ь = (	Е У[ — а		И			(2.27)

1=1 1=1

Если интервал между соседними значениями Х( постоянный и каждое из них численно равно /, выражения (2.26) и (2.27) упро щаются:

а = 6 [2	1У[ - (п + 1)	у с]/[п («* - 1)];	(2.28)
1=	1	1= 1
	®	<	2 - 2 9 >
	1=1

Для определения погрешностей можно вычислить среднеквад ратичные отклонения оценок величии а и Ь, но лучше рассчитать

Рис. 16. Линейная	регрессия (а) и график		распределения ее по
грешности (б)
среднеквадратичное	отклонение точек х$ У(		от уравнения	регрес
сии — прямой у =	ах	Ь:
5 = 1/	2	(а*,-+&-у,№-1)(а2+1)].		(2.30)

У1=1

Для определения ширины полосы, характеризующей погреш

ность	линейной регрессии, по обе стороны от	прямой у = ах + Ь
(рис.	16\| б) следует отложить значения	где
	3У(Х) = в!У~п-	(2.3!)

в. ПРОГРАММЫ ДЛЯ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИИ С ПОМОЩЬЮ мвкроЭВМ «ЭЛЕКТРОНИКА БЗ-34*

Обработка экспериментальных данных на вычислительных ма шинах. Для выполнения описанных в параграфе 5 вычислений воз можно использование любых вычислительных машин. Однако осо бенно целесообразно использовать при этом портативные микроЭВМ индивидуального пользования, способные производить вычис лительные операции как с подачи команд вручную, так и автома тически (из программной памяти, куда предварительно заносится необходимая последовательность этих команд). В настоящее время для выполнения технических расчетов все шире используются такие микроЭВМ индивидуального пользования, как «Электроника БЗ-34», а также ее аналоги МК-54 и МК-56 (отличаются от БЗ-34 только начертанием символов на нескольких клавишах).

Приведенные ниже программы предназначены для работы с микроЭВМ «Электроника БЗ-34», но могут быть полностью ис

пользованы	и для	выполнения	вычислений		с	помощью МК-54
и МК-56*.		(обработка	прямых	измерений,			3	С п	< 50:
Программа № 1
«критерий IV»). Программа (табл. 8)				предназначается				для	обра
ботки результатов прямых измерений при числе						наблюдений			от 3
до 50; выборка должна быть упорядочена. Проверка							на нормаль
ность — с	помощью	«критерия	IV».						Если
Прежде всего программа предусматривает вычисление IV.
гипотеза о соответствии выборки нормальному					закону		распределе

ния подтвердится,' можно получить А = х, а затем значение АЛ равное е, 0 или /С52 (вариант вычисления АЛ выбирается автома

тически— в зависимости от значения 0/5-). Ввод значений х,, а так-

же коэффициентов ап_у_|_1 и разностей *л_ у + 1— Ху производится

в процессе выполнения расчетов, с клавиатуры. При этом для удоб. ства на экране высвечиваются порядковые номера х или / (предло жение ввести соответствующие исходные данные). Для уменьшения операционных погрешностей вычисления производятся по формулам, в которых расчетные операции выполняются над величинами (х /— с). Значения / , 0, п, I и с вводятся в память машины до начала вы

числений.

Поверка

отдельных

результатов наблюдений х*

на анор

мальность выполняется с клавиатуры.

После завершения

расчетов

значения

$2, 5-,

е и 0/5-

могут

быть

вызваны

из

памяти машины.

Инструкция для работы с программой:

1. Ввести и проверить программу.

0,8 =

П1.

Заслать

память расчетный

параметр

В/О).

Возвратить

программу

началу

(нажать

клавишу

Ввести

память

параметры

данной

выборки:

ПА,

0 = ПВ, с = ПС, п = ПД.

циклов

п =

ПО

нажать

клавишу

Установить

число

С/П** — на

индикаторе

высветится

«1». Это

означает

х*=

1 — при

глашение к вводу значения хх.

Упорядочить

выборку:

*1 < *2 -С •••

Набрать

хг\

С/П — на

индикаторе

«2»;

набрать

х 2;

С/П — Н1

.индикаторе «3» и т. д.

С/П — на

индикаторе

«0».

Установит»

После

набора

хп и

новое число циклов / = ПО; нажать

С/П — на индикаторе «Ь

при

глашение

начать

ввод значений

ап_у+ |

и хл__/+ 1— ху. для

/ = I).

Набрать а;

;

Ах из нижней строки таблицы; С /П — на

индикатор*

«2». Набрать

а\

;

Ах для

/ =

2 (из

предпоследней

строки табли*

цы) и т. д.

Ах для

1 и нажатия на С/П

инди

7. После набора а; |;

цируется

значение

IV.

Сопоставить

его с

табличным

IV*:

есл!

IV >

IV**,

выборка

не

противоречит

нормальному закону

распре

деления, расчет продолжать.

значение

А =

х;

запи*

8. Нажать

С/П — на

индикаторе

сать его.

* Краткие

рекомендации

по

эксплуатации

указанных

микроЭВМ

даны I

гл. 5, конкретные инструкции прилагаются

к каждой

программе.

• • В дальнейшем для сокращения изложения инструкций команда «Нажать клавишу» опускается.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги