книги / Сдвижение горных пород и защита подрабатываемых сооружений
..pdfЧ Т |
CLA |
/
О 0,Z О1* 0,6 0,6 с=% - 20% +J0%
Рис. 139.
Построение интеграционной сетки для расчета горизонтальных сдвижений:
1 — п о Б ейеру; 2 — по П ерцу; з — функция распределения Кху по Бейеру
выражение функции горизонтальных сдвижений1 для бесконечно малых приращений этой функции:
kx = c cos2 £ tg £ d£ = с cos £ sin £ d£ = c sin 2£, |
(251) |
а также выведенную для плоскости разреза интегральную функцию для раз бивки интегральной сетки на зоны [85, 318], имеющую вид
(252)
Если захотим при помощи построенной таким образом интеграционной сетки определить горизонтальное сдвижение в некотором заданном направле нии, например, в положительном направлении оси х (см. рис. 139), и обозна чим через б угол между этим направлением и направлением главного сечения очистной выработки (для элемента выработки, лежащего в стороне от главного сечения), то получим:
dvx = dvxy cos б d8; |
(253) |
vx = vxy sin 6, |
(254) |
т. е. выражение для составляющих горизонтального сдвижения в заданном направлении, обусловленного влиянием элемента очистной выработки, лежа щего в стороне от ее главного сечения.
Таким образом, зональные кольца для расчета горизонтальных сдвижений в заданном направлении должны быть разбиты по синусоидальной зависимости
1 Если функция горизонтальных сдвижений выводится для одного из двух главных сечений площади полной выработки (х или у), можно вместо vxyy К хуу vxyn писать гя, К х,
vx п или vyy К у, иу п.
на с е к т о р ы |
равного влияния. Для разбивки квадрата |
на два или три |
|||||
сектора вычисляют следующие углы секторов, считая от оси х: |
|
|
|||||
sin б = |
1/2 или sin б = 1/3; 2/3, |
|
|
|
|
||
6 = 30° |
или |
б = |
19° 25'; 41° 45'. |
|
|
|
(255) |
Обычно площадь полной подработки подразделяют на пять кольцевых |
|||||||
зон и восемь секторов, т. е. так же, как и при расчете оседаний. |
|
рис. |
|||||
По сравнению с интеграционной сеткой для расчета оседаний (см. |
|||||||
135) у сетки для расчета горизонтальных сдвижений внутренняя зона |
более |
||||||
широкая, |
а третья (средняя) — более узкая (см. рис. |
139). |
Горизонтальное |
||||
сдвижение достигает наибольшего значения, равного |
ихуП, |
уже |
при выемке |
||||
половины |
площади полной выработки, и дальнейшая отработка |
ее второй |
|||||
половины (—х) не увеличивает, а уменьшает горизонтальное сдвижение |
точки |
||||||
Р земной поверхности. При этом каждой из 20 ячеек в пределах одной |
из по |
||||||
ловин площади полной подработки соответствует коэффициент влияния, |
рав |
||||||
ный 100 : 20 = |
5% |
vxyn. |
|
|
|
|
|
Для расчета вычерченная на кальке интеграционная сетка накладывается на план горных работ так, чтобы ее центр совместился с точкой Р, для которой производится расчет, и поворачивается так, чтобы стрелка, указывающая положительное направление оси я, была ориентирована по наблюдательной линии (трассе дороги или оси подрабатываемого сооружения). Чтобы опре делить сдвижение по этому направлению, нужно подсчитать коэффициенты влияния для каждой половины сетки раздельно, а затем сложить их с учетом знаков. Произведение суммы положительных и отрицательных коэффициентов влияния на полное горизонтальное сдвижение даст искомое сдвижение точки Р
в направлении оси х: |
|
± и х = ± е и хуп. |
(256) |
Так, например, для показанной на рис. 139 заштрихованной площади очистной выработки коэффициент влияния на центральную точку Р земной поверхности
е = + 3 0% - 2 0 % = + 10%.
Если из данных наблюдений полное горизонтальное сдвижение при вы емке пласта мощностью 2 м с обрушением кровли равно 80 см, т. е. около 45% полного оседания, то сдвижение точки в направлении оси х составит
vx = + 0,1 •80 = 8 см.
9 .3 .2 .
Зависимость горизонтальных сдвижений от искривления земной поверхности
Горизонтальное сдвижение земной поверхности может быть определено как функция кривизны верхнего породного слоя, если рассматривать его деформи рование как изгиб стержня [24]. В верхней части показанного на рис. 140
Рис. 140.
К выводу формул для расчета деформаций п переме щений точек изогпутой балки с помощью теоремы Бернулли
I I
мульдообразно деформированного стержня имеют место сжимающие напряже ния, а в нижней — растягивающие. Между этими зонами сжатия и растяжения находится нейтральное волокно, в котором напряжения и деформации отсут ствуют. Если в точках а и Ънейтрального волокна построить нормали к нему,
пересекающиеся в точке О, то отрезки аО и ЪО будут представлять собой ра диус кривизны р2. До искривления стержня эти нормали были параллельны друг другу и проходили через точки 1 ж2 поверхности. Принимая в соответ ствии с т е о р е м о й Б е р н у л л и , что сечения стержня, бывшие до де формации вертикальными, после изгиба стержня остаются плоскими и пер пендикулярными к нейтральной линии, можно непосредственно из рис. 140 видеть, что в результате деформации расстояние между точками 1 ж2 умень шилось, став равным Г —2\ причем укорочение можно считать приблизительно равным сумме отрезков V —3 ж2' —4. Это означает, что горизонтальное смеще ние точек 1 ж2 в положение 1' ж2’ равно
(257)
как это следует из соотношения сторон в подобных секторах ОтЪ ж Ъ2'4. При постоянной кривизне, равной v"z = 1/р, деформация сжатия поверхности составит
— е, = vx/l = dv |
(258) |
При переменной кривизне vz упругой поверхностной зоны горизонталь ное сдвижение точки Р ± в мульде сдвижения (рис. 141) может быть определено непрерывным суммированием бесконечно малых деформаций es от края мульды (х = 0) до точки P i (х), т. е.952
V |
(259) |
Горизонтальное сдвижение по оси х , выведенное из кривизны элементарных мульд и мощ ности изгибающего слоя у точки Р в центре мульды сдвижения:
1 — элементарные мульды оседания; 2 — нейтральная линия; з — цилиндрическое сечение
если известно соответствующее расстояние d земной поверхности от нейтраль ной линии, которое у края мульды равно нулю, а в ее середине достигав^ мак
симального |
значения. |
^ ____ j |
Чтобы |
иметь возможность этим способом определить |
горизонтальное |
сдвижение точки Р земной поверхности при помощи интеграционной;сетки непосредственно, не прибегая к построению типовых кривых профиля мульды сдвижения, нужно сначала определить дифференциальные составляющие
действующих на точку Р i элементов площади очистной |
выработки, создающие |
||||
искривление |
поверхности |
в точке |
Произведение |
этого |
дифференциала |
кривизны dv2 |
на местную |
мощность |
изгибающего слоя d у |
точки Pi дает |
|
составляющую горизонтального сдвижения в исследуемом направлении х , создаваемой влиянием элемента очистной выработки в точке Р*,
кх = dv'zd. |
(260) |
Составляющие горизонтального сдвижения кх можно проинтегрировать по влияющей площади очистной выработки, так же как это делалось при рас чете оседаний. При этом необходимо иметь в виду, что составляющие резуль тирующей горизонтального сдвижения кху, обусловленные влиянием боковых элементов очистной выработки, участвуют в смещении по оси х только про порционально косинусу угла б и в обеих половинах очистной выработки имеют противоположные знаки.
При очень малой кривизне ее величина, как известно, может быть вы
числена по второй производной оседания |
|
|
Vz |
dx2 |
(261) |
|
|
|
Однако следует иметь в виду, что функция распределения, описываемая урав
нением |
(157) |
|
|
к = |
du2 |
^ ( Я * - 2 P V -+ /’*), |
(262) |
dx |
уже является первой производной оседания uz, т. е. дифференциалом оседания d vjd x1, или с математической точки зрения представляет собой величину наклона v'z, так что, дифференцируя выражение (262), получим дифференциал наклона
^ = - ! г ( - 4 Д 2г + 4г>Н |
г2), |
(263) |
содержащий составляющую кривизны dv'z, |
обусловленную |
влиянием лежа |
щего на оси х элемента площади очистной выработки и относящуюся к централь ной точке Р земной поверхности.
Выраженная уравнением (262) зависимость между наклоном и функцией распределения может быть получена также из рассмотрения рис. 103: при мыкающий к dA i второй элемент площади очистной выработки вызывает изме нения оседания (наклон) у центральной точки Р земной поверхности, величина которого определяется значением функции распределения йу2над новым эле ментом очистной выработки, что выражается в образовании соответствующей второй элементарной мульды оседания, расположенной эксцентренно по от ношению к точке Р на расстоянии от нее, равном dx. Поэтому площадь сечения колоколообразного тела влияния над прямолинейным фронтом очистных работ, показанная на рис. 114, может быть приравнена к величине наклона vz у точки Р земной поверхности при соответствующем положении очистного забоя [290].
1 См. уравнение (149), в котором dA =» d:г*1 и vz п = 1.
Относительно мощности изгибаемого слоя и расстояния до нейтральной линии можно сказать следующее: на рис. 141 показаны три элементарные мульды оседания, образовавшиеся на земной поверхности под влиянием выемки элементов очистной выработки А , В и С. Исходя из форм этих элементарных мульд, можно определить долю участия элементов А, В и С в деформации кривизны у центральной точки Р. Теоретически деформирование породного массива должно начаться уже при выемке весьма малой части площади очист ной выработки и привести к возникновению на земной поверхности элементар ной мульды сдвижения, так что даже при весьма малом развитии очистных работ в породном массиве должен образоваться нейтральный слой. Если пред ставить взаимосвязь переменной мощности изгибаемого слоя d с радиусом площади полной подработки Л, в свою очередь зависящим от глубины раз работки и деформационных свойств горных пород, в виде линейной зависи мости
d = С (R — r), |
(264) |
где С — показатель деформации, меньший единицы, то доля участия отдель ных элементов очистной выработки в возникновении кривизны земной поверх ности у точки Р может быть охарактеризована глубиной деформирования,
равной CR для центрального элемента А |
(г = 0), С (R — гв) для среднего |
||
элемента В жО для краевого элемента (г = |
R). |
|
|
Если подставить выражения (263) и (264) в уравнение (260), то искомая |
|||
функция |
распределения горизонтальных |
сдвижений по |
оси х , выведенная |
из кривизны, будет иметь вид |
|
|
|
kx = ^ C ( R - r ) = - “g f ( R - r ) ( R * - r % |
(265) |
||
где к — постоянная; |
|
|
|
к - |
ЯД* |
|
(266) |
|
|
||
Построить интеграционную сетку для расчета горизонтальных сдвиже ний можно, если в каждой точке площади полной подработки отложить верти кальные отрезки, равные составляющим горизонтального сдвижения и по лученное тело влияния для горизонтальных сдвижений разбить вертикаль ными цилиндрическими и плоскими секущими плоскостями на кольцевые зоны и секторы равного объема раздельно для двух половин площади полной подработки, лежащих слева и справа от линии DD1. Такое тело влияния имеет только одну плоскость симметрии по оси я, в направлении которой произво дится расчет горизонтальных движений точки Р\ составляющие горизонталь ных сдвижений кху по другим направлениям, получающиеся при вращении кривой функции распределения [уравнение (265)] относительно точки Р\
1 Еще проще можно получить значения зональных радиусов, если площадь, ограни ченную кривой гкх и осью х%разбить на пять равновеликих полос, подобно тому, как это сделано на рис. 100 [284].
должны в соответствии с уравнением (253) проектироваться на ось х путем умножения на cos б, так что на оси DD они уменьшатся до нуля (см. рис. 141). Площадь любого полуцилиндрического сечения с зональным радиусом г опре деляется по формуле
+Л/2 |
(267) |
|
A = rkx l |
cos6d6 = rfcx [sin6]iJ5/2 |
|
- Л / |
2 |
|
А = 2гкх. |
|
(268) |
Объем половины тела влияния для горизонтальных сдвижений, соответ ствующий полному горизонтальному сдвижению, при концентрических се чениях возрастает от центра к периферии, в соответствии с уравнением (151), следующим образом:
|
R |
R |
R |
|
К ху = § A dr = 2^ rkxdr = ^ r ^ r2( R - г) (Д2 - г2) dr. |
(269) |
|||
|
0 |
0 |
о |
|
Решение |
интеграла дает |
окончательно |
|
|
К ху — |
8кС |
|
(270) |
|
Д4 |
|
|||
|
|
|
||
Это уравнение служит основой для разбивки кольцевых зон интегрирова ния сетки (см. табл. 12), которые затем только нужно разделить на секторы равного влияния пропорционально функции синуса. Если пренебречь малыми значениями горизонтальных сдвижений
ихуп= — 0лЪ82Сияп |
(271) |
(при С = 0,25 получается, что vxyn = 0,1у2п)» то зональное деление, в соответ ствии с уравнением (259), оказывается вполне пригодным для многих производственных расчетов горизонтальных сдвижений. Для получения близ ких к действительности горизонтальных сдвижений в условиях Рурской об ласти ФРГ нужно принимать С = 1,1 [416].
Выводам уравнений (257)—(270) здесь было уделено такое большое место потому, что в них входит мощность изгибаемого слоя, как новая характери стика свойств горных пород. Вместо перемещения точек к центру тяжести очистной выработки, связанного с представлением о породном массиве, как о несвязной зернистой среде, здесь рассматривалась наглядная модель про гиба породного слоя. В связи с этим горизонтальное сдвижение оказалось зависящим не только от конвергенции аМ в очистной выработке, но и от мощ ности ближайшего к земной поверхности изгибаемого породного слоя, дефор мирующегося как единое целое, а также от линии прогиба, подстилающей этот
слой толщи коренных пород. Однако, вследствие деформаций сдвига по поверх ностям скольжения, образующимся на некоторых межслоевых контактах, действительная мощность поверхностного изгибаемого слоя в слоистом породном массиве несколько меньше, чем в сплошном массиве, где нейтральный слой находится примерно в нижней трети глубины разработки (см. рис. 23). Не будет большой ошибки, если мы для сложенного рыхлыми породами верхнего слоя, покоящегося на слое крепких пород, для всей области влияния очистных работ примем в уравнении (265) постоянную мощность изгибаемого слоя d, так что объем половины тела влияния будет возрастать в направлении радиуса в соответствии с выражением
(272)
о
Эксперименты на моделях, в которых породный пласт имитировался пла стиной пенопласта, показали также, что на горизонтальные сдвижения оказы вают влияние мощность породного слоя и трение на межслоевом контакте. Пока еще остается невыясненным, в какой мере уменьшение пористости и взаим ные перемещения частиц грунтового слоя с пластическими свойствами способны компенсировать горизонтальные деформации, возникающие в верхнем пород ном слое без возникновения предельных напряжений.
9.3.3.
Интеграционные сетки для расчета горизонтальных сдвижений при наклонном залегании пласта
Так же как и при расчете оседаний, в виде опыта можно выполнить расчет горизонтальных сдвижений для наклонно залегающего пласта при помощи овальной интеграционной сетки, трансформированной из обычной (круговой) сетки путем центрального проецирования [207].
Задачу построения сетки можно решить и иначе, если, по аналогии с урав нением (160), принять функцию распределения372
(273)
для составляющих горизонтального сдвижения в направлении падения пласта, обусловленных влиянием элемента очистной выработки, и проинтегрировать ее по половине площади полной подработки.
На рис. 142 показаны интегральные кривые ку в плоскости падения пласта, построенные в соответствии с уравнением (273) для углов падения, равных 50 и 70°. По этим кривым могут быть определены зональные углы отдельных значений kL и отложены на разрезе от вертикальной оси РР\ как показано для примера на рис. 143, для заданных граничных углов. В плоскости прости рания, проходящей через точку Р\ для построения зон сетки использованы Зо-
Рис. 142.
Интегральная кривая, описываемая уравнением (273), для разбивки на зоны равного влия ния в плоскости падения пласта [370]:
I я II — участок сетки соответственно по падению и восстанию пласта
Рис. 143.
К определению горизонтального сдвижения при наклонном залегании пласта по методу центра тяжести при полной отработке и зо нальных углов для интеграционной сетки
нальные углы, взятые с рис. 143 для угла а = 0°. В диагональных плоско стях контуры зон могут быть вычерчены или по данным, взятым из специальных таблиц [370], или по точкам эллипсов. Лучи, делящие сетку на секторы в соот ветствии с функцией синуса, должны строиться не из центра сетки Z, как это делается при построении сетки для расчета оседаний, а из точки Р'
Максимальные горизонтальные сдвижения, имеющие место над верхней и нижней границами очистной выработки, при наклонном залегании пласта имеют различную величину (см. рис. 89), причем большее сдвижение возни кает над нижней границей выработки. Это объясняется как тем, что в этом месте мощность изгибаемого слоя пород больше, так и тем, что здесь имеют место нормальные к напластованию сдвижения горных пород, направленные к очистной выработке и создающие в покрывающей толще пород сдвигающие усилия в направлении лежачего бока пласта. Вопрос о порядке величин этих
т а б л и ц а 17 |
|
|
|
Полное горизонтальное сдвижение в плоскости падения, |
|
|
% от полного оседания |
|
Угол падения, градус |
над нижней границей |
над верхней границей |
|
||
|
очистной выработки |
очистной выработки |
0 |
45 |
45 |
30 |
40 |
25 |
50 |
35 |
5—10 |
70 |
30 |
2—5 |
максимальных и полных горизонтальных сдвижений в литературе пока освещен очень мало. Одна из возможностей определить их по известным значениям оседаний заключается в том, что величину оседания в плоскости падения пласта, найденную для точки, расположенной над границей очистной выработки, умножают, в соответствии с уравнением (237), на тангенс угла центра тяжести, отсекающего верхнюю и нижнюю половины площади полной подработки (см. рис. 143). Угол центра тяжести для половины площади полной подработки определяется для соответствующих исходных данных (угол падения пласта, граничный угол) по приведенной на рис. 109 номограмме для определения
зональных углов для |
1/2 |
K zi и 1/2 К 22. Ориентировочное представление |
||
о соотношении обоих |
полных |
горизонтальных сдвижений может |
дать табл. |
|
17, в которой приведены |
их |
значения, вычисленные описанным |
способом. |
|
Кроме описанных выше методов были предложены и другие функции распределения для расчета горизонтальных сдвижений, например основанные
на преобразовании функции оседания Гаусса |
(357) по формуле |
К = К ± - |
(274) |
или эмпирические методы разбивки площади полной подработки на зоны влия ния на основе результатов натурных наблюдений за сдвижением точек земной поверхности [196, 483].
9.4.
Расчет горизонтальных сдвижений на основе величин наклонов земной поверхности
Достаточно взглянуть на кривые параметров сдвижения земной поверхности, показанные на рис. 84, чтобы убедиться, что кривая горизонтальных сдвиже ний по форме сходна с кривой наклонов. У края мульды и в ее середине обе кривые дают значения, равные нулю, а над границей очистной выработки имеют максимумы, причем между экстремальными значениями обе кривые имеют форму, приближающуюся к синусоиде. Это сходство кривых vx и v'z исполь зуется при вычислении сдвижений земной поверхности при помощи ЭВМ —