книги / Сдвижение горных пород и защита подрабатываемых сооружений

функция, описывающая профиль элементарной мульды, образующейся на по­ верхности модели, будет иметь вид

(227) не удовлетворяет приведенным в подразделе 3.3.2 граничным условиям,

В этой функции учтено принятие практического граничного угла, опре­ деляющего точку профиля мульды, в которой сдвижения еще не полностью затухают, но уже не представляют опасности для сооружения. Что касается оседания породного слоя почвы, которое в соответствии с другим граничным условием должно равняться нулю, то при расчете сдвижений, ограничивающемся только земной поверхностью, его можно в расчет не принимать.

Чтобы получить формулу для построения интеграционной сетки, уравне­ ние (228) подставляется в уравнепие (151) и производится суперпозиция всех элементарных мульд, образующихся под влиянием выемки элементов площади полной подработки (см. рис. 103).

Вычисленные по этой формуле для упругой модели зональные радиусы при граничном угле, равном 54°, имеют следующие значения: г { — 0,28, г2 = 0,44. г3 = 0,64, г4 — 0,81 и г5 = й = 1, Построенная при помощи этих радиусов интеграционная сетка более всего походит на рассчитанную для пяти зон сетку Кейнгорста (см. табл. 12). Повышенное значение коэффициента пятой зоны (более узкой, чем в большинстве других методов) способствует компен­ сации погрешности расчета, обусловленной искусственным ограничением области влияния полной подработки. Описанные исследования подтвердили возможность использования методов расчета, основанных на теории упругости.

8.4.3.

Пластическая модель

Для породного массива, моделируемого вязкопластичной средой, приемлемое решение в настоящее время получено только для конечной стадии сдвижения точек на поверхности Полуплоскости [47]. При решении этой задачи было принято, что:

а) через любое горизонтальное сечение массива над горизонтальной вы­ работкой в процессе оседания проходит одинаковый объем несжимаемой среды, равный объему конвергенции в очистной выработке, т. е.

в) по всей длине вертикальной средней оси у от массива горизонтальные сдвижения равны нулю (рис. 129);

г) по мере роста значений координат (х -*• оо и у -► оо) сдвижения посте­ пенно затухают;

д) сдвижения точек среды над каждым элементом очистной выработки происходит независимо от сдвижения точек, расположенных над соседними элементами.

Из приведенных дифференциальных уравнений (59) для вектора вертикаль­ ной составляющей сдвижения, опуская промежуточные вычисления, полу­ чаем, в соответствии с закономерностями образования элементарной мульды

где х — текущая координата профиля мульды на земной поверхности. Над­ лежащим выбором величины о) форма кривой оседания п положение границ

Рис. 130.

Схема оседания земной поверхности над очистной выработкой, пройденной по наклонному пласту

мульды могут быть скорректированы в соответствии с данными натурных на­ блюдений за оседанием земной поверхности (так, например, для ЛьвовскоВолынского каменноугольного бассейна w — 4). Подобного рода гиперболи­ ческая функция для определения оседаний была также получена при исследо­ ваниях на модели, выполненной из эквивалентного материала на основе же­ латина, в которой была вырезана щель, имитировавшая очистную выработку [173].

Теоретически полное оседание над серединой очистной выработки (х = 0) в соответствии с уравнением (233) достигается для выемочного поли

бесконечной длины; однако уже над очистной выработкой длиной I = 1000 м

оседание равно половине максимального (в данном случае 27,5%), распола­ гается над зоной опорного давления (см. рис. 106). С увеличением длины очистной выработки эта точка смещается по направлению к контуру очистной выработки, и по достижении площади полной подработки оседание над кон­ туром выработки составляет 50% полного оседания, т. е. так же как и при

пересечения линии падения пласта с земной поверхностью (рис. 130). Тогда выражение для оседания точки Р земной поверхности с абсциссой х и учетом принятых на рис. 130 обозначений, примет вид

Выражения в числителях дробей введены для того, чтобы сместить, кривую оседания в направлении падения пласта в соответствии с данными наблюдений. Множитель К подбирается эмпирически — для начала его можно принять равным 2. С учетом указанных выше допущений и закономерностей вязкопластичного течения моделирующей среды изложенное решение дает результаты, весьма близкие к фактическим кривым оседания, хотя величина оседания над контуром очистной выработки для условий каменноугольных бассейнов ФРГ, характеризующихся высокой степенью нодработаиности мас­ сива, получается несколько завышенной (так же как и при расчете с помощью интеграционной сетки). Реологическая модель породного массива, учиты­ вающая как упругие и пластические свойства пород, так и фактор времени, пока разработана только для участков горного массива вблизи забоев гори­ зонтальных выработок типа штреков [248].

8.4.4.

Метод конечных элементов

К способам расчета, основанным на теории упругости, относится также метод, конечных элементов. В подразделе 3.3.5 было показано на примере стержне­ вого и треугольного элементов, как обеспечивается совместимость контуров деформированного элемента при помощи предписанного поля перемещений [линейный полином уравнения (86)] и как может быть задано соотношение между силами, приложенными в узловых точках, и траекториями перемещений узловых точек при помощи матрицы жесткости [уравнение (74)]. Кроме того, было поставлено условие равновесия элемента при применении принципа виртуальных перемещений, сформулированное следующим образом: при воз­ можном перемещении узловой точки на бесконечно малую величину сумма выполненной при этом внешней и внутренней работы равна пулю [уравнение (98)]. Виртуальная внешняя работа равна произведению действующих на узло­ вую точку внешних сил и виртуальных перемещений, а внутренняя работа — произведениям внутренних напряжений на виртуальные растяжения, вызван­ ные указанными перемещениями [уравнение (99)], проинтегрированным по пло­ щади элемента. В полученной таким способом системе уравнений (74) соотно­ шения между силами, приложенными в каждой узловой точке, и перемещениями этой точки, устанавливаются с помощью коэффициентов матрицы жесткости (табл. 15).

Вотношении выбора формы элементов и граничных условий, применительно

крешению задач о сдвижении земной поверхности, проведенными маркшей­ дерским институтом Берлинского технического университета исследованиями установлено следующее [2741.

Для моделирования систем неправильной формы более всего подходят

треугольные элементы, однако при этом необходимо применять густую сетку элементов, поскольку напряжения и деформации изменяются только от элемента к элементу. С другой стороны, прямоугольные элементы1 вследствие линейного

1 Формулы, соответствующие уравнениям (86)— (100), для элементов прямоугольной формы приведены в работах [274, 219], в которых для каждого элемента приняты отдельныесистемы координат, различные для перемещений узловых точек п для перемещений точек внутри контура элемента.

толщи принимается равным 0,3—0,4, а для пород карбона — от 0 до 0,3. В свя­ зи с тем, что модуль упругости для сжатия и растяжения различный, вы­ числительный процесс по интерационпому методу Гаусса — Зейделя должен проводиться до 3 раз. При этом сначала расчет для всей сетки прово­ дится по значению модуля упругости при сжатии, а затем для тех элементов, в которых будет установлено наличие растягивающих напряжений, расчет проводится во второй и третий раз с подстановкой соответствующих значений модуля упругости при растяжении. Нет необходимости для каждого зануме­ рованного элемента заводить отдельную перфокарту с координатами в общей системе и условиями, ограничивающими перемещения, а также отдельную перфокарту с номером элемента, соответствующими номерами узловых точек и с характеристиками материала; достаточно зафиксировать эти данные только для начальных и конечных точек каждой строки и каждого столбца с тем, что расчет для расположенных через одинаковые интервалы промежуточных точек выполняется автоматически в соответствии с заранее разработанной

и плотность пород (от 2 до 2,5 г/см3). Результаты расчета приведены в табл. 10. Перед непосредственным расчетом производится расчет по сетке элементов без учета очистной выработки, чтобы определить оседания в ненарушенном

массиве, обусловленные гравитационными силами (собственным весом элемен­ тов). Разности между результатами этого расчета и расчета, выполненного для модели с имитирующей очистную выработку щелью, при котором учи­ тываются дополнительные деформации и напряжения в элементах, вызванные деформациями пород кровли, а также другие внешние силы, приложенные в узловых точках, дадут искомые величины воздействия очистных работ. На ве­ личину перемещений влияют не столько модули упругости (они изменяют напряженное состояние сетки элементов), сколько коэффициенты Пуассона пород, поскольку прогиб породных слоев основной кровли ограничен объемом очистной выработки и дополнительное деформирование возможно только за счет выпирания материала в горизонтальном направлении. Таким образом, если, например, при расчете принимают (как при решении задач механики грунтов) поперечную деформацию пород карбона равной нулю (р, = 0), то длина мульды сдвижения получается заниженной.

Оседания и горизонтальные сдвижения точек земной поверхности, лежа­ щие за пределами разреза, для которого выполнялся расчет, находятся ме­ тодом интерполяции. Через выемочное поле проводятся два пересекающихся, диаметральных разреза 1 и 2 (рис. 132). Вычисленные значения оседаний для точки пересечения их размеров, как правило, не совпадают, так что для

этой точки должно быть вычислено среднее значение i?2max, а вычисленные

1 В рассматриваемом примере вычисления производились по разработанной Жинкевичем программе, дополненной Вильсоном в Беркли (США) для комбинированной сетки, состоящей из треугольных и прямоугольных элементов (основная форма программы имеется в учебном руководстве Жинкевича [479]. Вычисления выполнялись при помощи ЭВМ типа CD 6500, машинное время для сетки с 550 узловыми точками составило 3 мин.

Рис. 132.

Схема к определению оседаний и горизонтальных сдвижений в точке земной поверхности, не лежащей в главном сечении мульды сдвижения, путем интерполяции с использованием типовых кривых, построенных для двух взаимно перпендикулярных сечений мульды

значения оседаний vzi в отдельных точках обоих разрезов должны быть скор­ ректированы по формуле

(235)

Значение оседания-в точке Р, лежащей в стороне от разрезов 1 и 2, полу­ чается из соответствующих координат разрезов

причем «координатные значения)) v21 или vz2, выраженные в процентах, на­ ходятся по полученным путем линейной интерполяции величинам оседаний соседних точек профиля. Таким образом, интерполяционный метод определе­ ния оседаний с помощью ЭВМ основывается на допущении, что при параллель­ ном смещении кривой профиля оседаний величины оседания всех ее точек изменяются так же, как и в соответствующих точках другой кривой профиля.

Аналогичным образом определяются составляющие горизонтальных сдви­ жений точек, лежащих в стороне от разрезов; параллельно смещенная до точки Р х кривая горизонтальных сдвижений 2' должна быть вычерчена с ординатами, уменьшенными пропорционально уменьшению оседаний на другой профиль­ ной кривой i, однако длина кривой 2' при этом сохраняется неизменной/ То же относится и к кривым горизонтальных сдвижений, параллельным раз­

Зависимость формы кривых сдвижений земной поверхности от характера линии прогиба пород непосредственной кровли показана на рис. 133. Для сравнения показаны также максимальные горизонтальные сдвижения, полу­ ченные из натурных наблюдений на линии Б Б : на юге 43 см, на севере 31 см.