книги / Сдвижение горных пород и защита подрабатываемых сооружений

241

горизонтальное сдвижение вычисляют из наклона, измеренного в определенном направлении, пользуясь зависимостью

Коэффициент пропорциональности к, зависящий от радиуса площади полной

преобразует величину наклона земной поверхности (мм/м) в соответствующее значение горизонтального сдвижения (см) для данного горнопромышленного

точки, равное 16,6 см. Наклон в данном месте мульды сдвижения может быть определен или по оседанию двух соседних точек земной поверхности при по­ мощи уравнения (124) и рис. 137, или же, не прибегая к измерению оседаний, непосредственно при помощи интеграционной сетки для определения накло­ нов. Такие сетки v'z разработаны для функций распределения, описываемых уравнениями (157) и (159). Так, например, путем дифференцирования урав­ нения (157) получается выражение (263), описывающее распределение соста­ вляющих наклонов, из которого, аналогично выражению (269), получаем

для разбивки на зоны с радиусами, равными 0,457?, 0,597?, 0,707? 0,817? и 1,007?. Разбивка на секторы осуществляется в соответствии с функцией синуса.

В отличие от этого, из уравнения (159) выводится тело влияния для на­ клонов с половиной объема

с зональными радиусами 0,ЗЗД, 0,45Д, 0,577?, 0,717? и 17?, которое таким образом, имеет меныпие внутренние зоны, чем построенное по уравнению

(277). Однако, если сравнить сетку наклонов, построенную по уравнению

(278), с сеткой горизонтальных сдвижений, построенной по уравнению (270), то оказывается, что они почти полностью совпадают (см. табл. 12). Вычислен­

ные с помощью сетки наклонов частные значения коэффициентов влияния е достаточно умножить па величину полного оседания аМ и па коэффициент преобразования к [уравнение (275)1, чтобы получить горизонтальное сдви­ жение в рассматриваемой точке Р земной поверхности.

В применяемой на предприятиях акционерного общества «Рурколе» про­ грамме вычислений, разработанной для горизонтального залегания пластаг наклоны вычисляются для обоих направлений dvz!dx и dvjdy и горизонтальные сдвижения принимаются пропорциональными наклонам [253]. Дифференци­ рование функции оседания кг в сочетании с уравнением (170) дает составля­ ющую наклона

С другой стороны, в соответствии с уравнением (181), наклон земной по­ верхности в точке JP, обусловленный выемкой трапециевидного участка очи­ стной выработки, по формуле Симпсона составит

Значения наклонов должны быть получены для всех трапециевидных уча­ стков площади очистной выработки, а затем их суммарное значение при по­ мощи коэффициента преобразования 0,033Я по уравнению (276) преобразуется в величину горизонтального сдвижения. При помощи найденных этим способом составляющих горизонтального сдвижения их и vy можно определить горизон­ тальные сдвижения по любому направлению.

Пользуясь неизменным значением коэффициента к в уравнении (276), нельзя добиться одинаково хороших результатов пересчета наклонов в гори­ зонтальные сдвижения во всех частях мульды оседания. Опыт показывает, что в краевой зоне мульды векторы сдвижения точек земной поверхности напра­ влены почти горизонтально, так что наклоны здесь весьма малы и вычисленные значения горизонтальных сдвижений получаются заниженными.

То, что между наклонами и горизонтальными сдвижениями нет непо­ средственной механической взаимосвязи, можно было видеть еще из уравнения

Чтобы по этому выражению вычислить зональные радиусы интеграцион­ ной сетки, необходимо преобразовать интегральное выражение следующим образом:

так что окажется возможным использовать для решения табулированные значения интегралов вероятностной функции Гаусса

Q

J exp (— g2)dq,

О

При этом исходное выражение (284) примет вид

(68) находятся окончательно для граничного угла, равного 45°, следующие

вызванных действием создаваемой элементом очистной выработки сосредото­ ченной вертикальной силы F (см. рис. 41), направленные от центра к пери­ ферии горизонтальные сдвижения точек породного массива на горизонте точки приложения силы (z = с) могут быть получены с помощью уравнения Миндлина (53) в соответствии с рис. 23. Следовательно, сила F вытесняет окру­ жающие пространственные элементы вниз и в стороны. На поверхности полу­

причем радиальные сдвижения направлены внутрь, т. е. так же, как и в мульде сдвижения (см. рис. 41). Поскольку эти противоположные направления сдви­ жений на горизонтах z = с и z = 0 сильно затрудняют вывод искомой функ­ ции распределения при помощи уравнения (267), в качестве исходного урав­ нения и в качестве теоретического соотношения между оседаниями и горизон­ тальными сдвижениями принимается уравнение равновесия для осесимметрич­ ной задачи теории упругости

Для поверхности, на которой не действуют внешние силы, т = 0 и, следо­ вательно, условие равновесия принимает вид

Из этого уравнения следует, что для того, чтобы поверхность упругой среды на­ ходилась в равновесии, необходимо, чтобы от любой точки поверхности оседания возрастали в радиальном направлении в такой же степени, в какой происходит уменьшение горизонтальных сдвижений с глубиной, считая от этой же точки.

тальных сдвижений, построенная на основе законов деформирования упругой среды, хорошо согласуется с сеткой, полученной из выражений для кривизны земной поверхности по методу Бейера. При таком моделировании упругой средой заслуживает особого внимания то обстоятельство, что из объемов тел влияния для оседаний и горизонтальных сдвижений по уравнениям (229)

и(284) может быть вычислено отношение

для граничного угла, равного 55°, которое хорошо согласуется с наблюда­ ющимися в Рурской области ФРГ составляющими сдвижения, а для гранич­ ного угла, равного 45°, это соотношение лишь незначительно меньше, соста­ вляя 0,4.

Если учесть, какой большой объем вычислений способом последователь­ ных приближений нужно выполнить, чтобы при описанном моделировании породного массива упругой средой получить данные, необходимые для построе­ ния интеграционной сетки для расчета горизонтальных сдвижений, то станет ясно, насколько более прогрессивным является расчет деформаций упругой

Рис. 145.

Схема уплотнения сетки конечных элементов в зоне подрабатываемого сооружения:

еяла трения; Е — боковое давление грунта

среды методом конечных элементов. Для каждого отдельного элемента при помощи матриц жесткости [уравнения (75) и (76)] и выбранной функции траек­ торий перемещений точек [уравнение (86)] устанавливается связь между си­ лами, приложенными в узловых точках, и соответствующими перемещениями этих точек. При этом, пользуясь фактическими размерами и характеристиками слоистого породного массива, можно наиболее простым способом при помощи уравнения (76) описать состояние равновесия сил и перемещений упругой системы. При этом нет необходимости знать величину полного горизонталь­ ного сдвижения и вводить ее в процесс вычислений, так как точное значение горизонтального сдвижения получится само собой, если выбранные величины конвергенции в очистной выработке согласуются с их действительными зна­ чениями для данного породного массива. Определенное методом конечных элементов максимальное горизонтальное сдвижение над границей очистной выработки также будет приблизительно равным половине оседания централь­ ной точки мульды (см. рис. 133).

Метод конечных элементов позволяет сделать еще один шаг вперед в ана­ лизе процесса сдвижения, включив в вычисления характеристики исследуемого объекта (рис. 145). В рассматриваемом случае для части сетки элементов, непосредственно прилегающей к подрабатываемому сооружению (в границах, оконтуренных точками 1 —12), расчет производится повторно, причем полу­ ченные при первом расчете перемещения точек 1—12 с учетом элементов фун­ дамента сооружения используются в качестве граничных условий для повтор­ ного расчета, в котором искомыми величинами являются деформации и нап­ ряжения, возникающие в подошве и основании фундамента под действием давле­ ния грунта и кривизны земной поверхности. Учитывая сложность решения задачи для пространственной модели, условия распределения нагрузок рассма­ триваются только для плоской задачи, т. е. для нескольких вертикальных сече­ ний. Даже часто применяемые в крупных сооружениях швы скольжения могут быть представлены в расчетной модели при помощи шарнирных опорных эле­ ментов или в виде очень тонкого слоя слабых (податливых) элементов. В тех местах модели, где деформации в элементах достигают предела прочности материала или превышают этот предел, можно ожидать возникновения в фун­ даменте трещин. Тем самым методом конечных элементов оказывается возмож­ ным решить хотя бы качественно вопрос о том, как воздействуют па сооруже­

что при строгом соблюдении статического подобия для породного слоя (балки) длиной I, прогнувшегося на величину W , при W v = lv будет иметь место соот­ ношение

материала, обойтись для масштабирования размеров и деформаций модели

При опытах на моделях подрабатываемого породного массива, выполнен­ ных из желатина, соотношение оседаний и горизонтальных сдвижений было получено из определенных экспериментально изолиний равных пространствен­ ных перемещений v, которые могут быть представлены в виде семейства пара­ бол, исходящих из точки, соответствующей границе очистной выработки (173]. Как показано на рис. 146, линейный отрезок As на земной поверхности (между точками 1 ж 2) после оседания принимает наклонное положение 1— 2' него длина (между параболическими изолиниями) возрастает на величину Ъ.

Если в это выражение вместо наклона vf подставить зпачениo'dvjdy, выведен­ ное из полученной экспериментально кривой оседания, а затем это выраже­ ние проинтегрировать по половине длины мульды сдвижения, то получим формулы для расчета горизонтальных сдвижений:

болической траектории перемещения [173]

Рис. 147.

Направления векторов сдвижения, полученные при экспериментах на модели из пенопласта, п типовые кривые оседаний и горизонтальных сдвижений для случая, еслп площадь полной подработки отрабатывается полосами [415]

где п = и 6 = 90° — у, с началом координат в точке перегиба кривой

оседаний (у = 0). Входящие в выражение (301) гиперболические функции (если б = 45°) образуются из отрезков у : HI2 над касательными к параболам, характеризующими направление сдвижения точек земной поверхности и пере­ секающимися в точке 3 над границей очистной выработки.

Недостаток данных натурных наблюдений в известной мере восполняет

в которой проведение очистной выработки имитировалось удалением заложен­ ных в модель стержней толщиной 2,8 мм [140]. Выполненные при помощи теодолита наблюдения за сдвижениями точек на передней стороне модели, представляющей собой продольный разрез породного массива по простиранию, проходящий через очистную выработку, показали, что в конечной стадии проДесса эти сдвижения направлены в сторону очистной выработки, причем у края модели векторы сдвижений почти горизонтальны, над границей очист­ ной выработки наклонены под углом около 45°, а над серединой очистной выработки идут отвесно (рис. 147).

В первом приближении направление векторов сдвижений хорошо опи­ сывается круговой функцией

(302)

где [х — угол, составленный вектором с вертикалью, и i = rlR — координата точки, выраженная отношением расстояния г к радиусу площади полной под­ работки.

Если известно оседание

(303)

то, используя уравнение (237), можно получить выражение для горизонталь­ ного сдвижения точки земной поверхности

(304)

в зависимости от положения очистного забоя i при aM = 1 [415]. Если в вы­ ражении (303) принять несколько большее значение показателя степени, то кри­ вая оседаний может быть согласована с часто наблюдающейся в последнее время в различных горнопромышленных районах воронкообразной формой мульды сдвижения. Так, например, при показателе, равном 3, оседание над границей очистной выработки составит только 0,35аМ вместо обычного значе­ ния 0,50 аМ [417]. Такая кривая горизонтальных сдвижений (так называемая типовая кривая сдвижений), получающаяся при выемке площади полной подработки полосами при длине фронта очистных работ не менее 27?, симме­ трична относительно оси я /2. Что касается отношения vxyu vz п, то исследо­ вания на модели показали, что его значения могут изменяться в широких пределах (от 0,1 до 0,37) в зависимости от глубины разработки и трения по меж­ слоевым контактам. При практическом применении полученного при опытах на моделях уравнения (304) используются табличные значения кх для прямо­ угольного фронта очистных работ [415]. Таким образом, эксперименты на мо­ делях показали, что угол р,, характеризующий направление векторов сдвиже­ ния, может, в соответствии с уравнением (302), принимать любые значения (от 0 до 90°), в то время как при расчете горизонтальных сдвижений по методу центров тяжести этот угол у края мульды равен граничному углу у (см. рис. 147).

Другие исследования, проводившиеся на пластине из пенопласта площадью около 1 м2, моделировавшей не разрез породного массива, а мульду сдвижения, образующуюся в верхних породных слоях, имели целью получение новых данных о максимальных горизонтальных сдвижениях [439]. Разработанный для этих исследований стенд представлял собой в основном систему регулируе­ мых по высоте опорных элементов, позволяющих произвольно изменять форму мульды оседания, покрытую слоем резины, имитировавшим поверхность пород карбона, на котором укладывались слои пенопласта, моделировавшие верхние слои породного массива. Сдвижения точек поверхности модели, происходившие