книги / Сдвижение горных пород и защита подрабатываемых сооружений
..pdfх
I
X, |
0,3 |
0303 |
\ |
У] |
0,9 |
0399 |
j |
У yz |
IJ |
0,915 \ |
|
х2 |
1,3 |
0,995 |
|
|
2,0 |
1,000 |
|
vz =aм ( |
-Kxi) (куг ~Kyj) j |
Рис. 112.
-Схема к расчету оседания точки земной поверхности по таблице значений функции К21 со ставленной по аргументу i = r/R [24, 414, 457]
работ, а затем суммированием этих площадей наклона от нуля до соответству ющего положения забоя находится объем отделенной части области влияния для всех положений забоя, подробно описан в литературе [370].
Оседание можно определить как произведение табличных значений раз ностей, если определить значения i = r/R при помощи листа кальки с нане сенными на нем окружностью площади полной подработки, центральной точ кой Р, для которой производится расчет, и двумя взаимно перпендикулярными осями, разбитыми на десятые доля радиуса полной подработки i?, и взять из таблицы соответствующие значения К г, Вычисление производится по фор муле
Vz — vz п (КХ 2 &xl) (Ку2 |
K yi)0 |
|
(169) |
|
Для показанного на рис. 112 примера эта формула примет вид |
|
|||
vz = 120 (0,995 - 0,303) (0,915 - 0,399) = 21,1 |
см. |
|
||
Необходимость поиска табличных значений |
[290] отпадает, если на круге, |
|||
изображающем |
площадь полной подработки, |
нанесена сетка К г |
[457]. |
|
Процесс расчета оседаний можно упростить и ускорить при помощи а н а |
||||
л о г о в о г о |
м е т о д а , |
выполняя подсчет |
площадей влияния, |
например, |
фотоэлектрическим способом |
[207, 383]. Для этой цели используется специаль |
|||
ный прибор (рис. ИЗ), проецирующий световую плоскость при помощи объек тива на оптический фильтр, расположенный перед фотоэлементом. При помощи кольцеобразных поляроидных пленок оптического фильтра интенсивность светового потока регулируется таким образом, что степень ослабления освещен ности в разных точках изменяется в соответствии с изменениями коэффициента влияния е, так что проходящий через различные по площади, но равноценные по степени влияния участки фпльтра световой поток возбуждает в фотоэлементе одинаковый по силе фототок. Если выполненный на прозрачной основе план горных работ, на котором отработанные участки пласта закрыты черной бума гой, передвигать по светопульту так, чтобы нанесенная на плане расчетная
Рис. ИЗ.
Принцип действия оптического аналогового при бора для расчета оседаний и горизонтал!>иых сдвижений [205, 207]:
1 — фотоэлемент; 2 — фильтр; з — объектив; |
бу |
мага; 5 — освещаемая поверхность |
|
5
точка земной поверхности совместилась с нанесенным на светопульте цецхром проекции, то присоединенный к фотоэлементу гальванометр покажет отСдет, соответствующий оседанию, а если применен дифференциальный элемент^ то и соответствующий горизонтальному смещению. На шкале гальванопара предварительно должно быть установлено значение полного оседания.
Этот метод может быть применен и для расчета сдвижений нри наклоном залегании пласта. В этом случае применяется способ центрального проециро вания, при котором прибор для измерения светового потока, снабжений широкоугольным объективом, наклоняется на угол ц, а изображающая по^ерХность очистной выработки непрозрачная бумага устанавливается в плоск^сХИ наклоненной на угол, равный углу падения пласта [207]. В ПНР также разра ботан фотоэлектрический аналоговый прибор, при помощи которого могут §Ь1ТЬ вычислены и построены кривые профиля мульды оседания [109]. В кач^стве оптического фильтра в этом приборе используется вращающийся диск ^ 30_ нально расположенными щелями.
Известен также сконструированный в виде опыта механический и т е р а тор, по устройству сходный с планиметром и действующий по принципу KoJieCa трения [167]. Счетчик этого прибора показывает величину коэффициента в^иЯ_ ния е, если обводный штифт прибора провести по контуру очистной выраб^тКИ на плане. Прибор оборудован тремя передачами изменения масштаба и функциональными передачами, при помощи которых он может быть устано^яеи „ на выбранную функцию распределения.
8.3.5.
Расчет оседаний с помощью ЭВМ для горизонта^, залегания пласта
Процесс подсчета элементов площади очистной выработки, оказывадццих влияние на земную поверхность, может быть запрограммирован для Рас^ета оседаний с помощью ЭВМ, если интеграционная сетка выполнена в виде ^ ткя
Ь |
Ь |
У |
Ряс. 115.
Интегрирование по площади очистной выработки с контуром в виде много угольника, разбитой на трапеции
Рис. 114.
Полосы равного влияния для интеграционной сетки квадратной формы, построенной для расчета оседаний [75]:
1 — разрез тела влияния
из 200 элементарных площадок равного влияния, каждая из которых соответ ствует 0,5% е, и введена в память вычислительной машины. Координаты вер
шин треугольников, на которые разбивается площадь |
выемочного участка, |
фиксируются в закодированном виде на перфокартах. |
После поиска интегра |
ционной сетки, соответствующей заданным значениям |
угла падения пласта |
и глубины разработки, а также после преобразования координат ЭВМ сопо ставляет отдельные участки площади очистной выработки с центрами соответ ствующих элементарных площадок сетки и суммирует число центров тяжести, оказавшихся в пределах контура очистной выработки. Полученное число, умноженное на 0,5% и на значение коэффициента влияния, даст искомую вели чину оседания в данной точке земной поверхности [193].
Была также разработана программа вычислений при помощи ЭВМ для метода расчета оседаний, основанного на представлении о симметричном рас пределении влияния элементарных площадок очистной выработки на оседание вышележащих элементарных площадок породного массива (см. рис. 105) [75]. Если применяемую при графическом способе расчета квадратную сетку, соот ветствующую площади полной подработки, разбить на 100 прямоугольных площадок равного влияния, каждая из которых соответствует 1 % оседания, то мы тем самым разобьем на такое же число частей вертикальными секущими плоскостями колоколообразное «тело влияния» (рис. 114), после чего подсчет числа влияющих элементарных площадок может быть выполнен способом интегрирования но площади при помощи ЭВМ. Этот метод расчета оседаний, принятый на шахтах акционерного общества «Рурколе» в качестве стандарт ного [261], основывается на уравнении (159), дополненном параметрами с и ку
в следующем виде: |
(170) |
dvz= с ехр ^ — ■% -] . / ' ) dx du |
7 заказ 74 Л
для бесконечно малой составляющей оседания dvz, обусловленной влиянием элементарной площадки очистной выработки на точку Р земной поверхности с координатами х = 0 и у = 0. Если ввести полярные координаты
£ = pcos(p и y = psincp, |
(171) |
то при интегрировании бесконечно малых составляющих dvz для очистной выработки, имеющей в плане форму круга с радиусом г, получим
2л г г
(г) = с j |
j |
р exp ( — |
dp d(p = 2яc J p exp ( |
- |
dp. |
(172) |
||
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
Если ввести |
обозначения |
• |
Z/C* |
dp==~r-dp |
и dp = |
— |
то оседание |
|
в данной точке |
|
' i t * |
|
p |
|
|||
|
|
|
|
г |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у2 (г) = 2лс&2 ^ exp ( — р) dp = |
— 2ясА:2 exp ( — -т ^ ) | = |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
= 2яс/с2[ 1 - е х р ( - - £ • ) ] • |
|
|
|
|
(173) |
|||
Теперь можно приближенно определить параметры с и А, входящие в вы ражение (170), через граничный угол. Подставив в выражение (173) г = получим
Уг (оо) = уг п = 2лс/г2, откуда с = , (174)
а подставив вместо г величину «практического» радиуса площади полной под работки i?np, измеренного при площади очистной выработки, равной 0,99у2п (т. е. для упоминавшегося выше «практического» граничного угла), получим571
|
|
|
|
R 2 |
|
vz (7?пр) = 0,99 иг n = аМ |
1 |
|
пр |
(175) |
|
|
2к* |
||||
|
|
|
|
|
|
и если принять ехр ( — |
^= 0,01, то получим |
|
|||
|
\ 2к2 ) |
|
|
|
|
откуда |
1 0 0 = 2 ’ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
к = 4 -V Tie Д = 0,3295 |
tgY |
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Oh6 щ е е |
и п т е г р и р о в а н и е экспоненциальной функции в |
выра |
|||
жении (173) |
даст в прямоугольных координатах |
|
|||
Уг=сИехр(~ ~ m * ) dxdy |
(176) |
|
или, поскольку при / / = const можно считать, что к = const,
пг -=с J exp ( - JL -} dx j exp ( - J O } dy. |
(177> |
Для показанной на рис. 115 очистной выработки с контуром в виде много угольника, разбитой на трапеции с отсчетом координат как в положительном, гак и в отрицательном направлении (на рисунке — заштрихованные площади за пределами контура выработки), интегрирование по площади для отдельных
трапеций выполняется н о |
ф о р м у л е |
С и м п с о н а |
|
|
А — У^ ’2т (Xl ^Х2 |
~'r ^г4 |
+ |
/iX2m4* x2m+l), |
(178)* |
причем трапеции разбиваются через интервалы, равные 2 т, с шагом шири
ной |
2т |
При этом |
|
||
|
|
* |
|
||
где |
х {у )^ а у + Ъ, |
(179) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
а = |
Гг~ Д1 |
и b ^ Xl- Х'2~ Х1 ух. |
(180> |
|
|
|
Уг— У1 |
Уг~У1 |
|
|
|
Интеграл |
составляющей оседания над площадью трапеции, |
отнесенный |
||
к точке земной поверхности Р (0,0), в соответствии с формулой (177) имеет вид
Уг |
* (У) |
|
Vz(трап) = J |
j ехР ( — - £ - ) dz] exp ( - -J^-) dy. |
(181) |
Ух |
О |
|
При использовании таблиц значений вероятностной функции, имеющей вид
х
= у = - j*exp( — t2)dt,
О
заключенный в квадратные скобки интеграл, входящий в выражение (181), записывается в виде
(182>
о |
|
|
|
если подставить значения |
|
||
Х = х(у), |
t —— |
и dt |
—4 — dx. |
У’ |
1 |
2 А* |
1 2 к |
|
При этом выражение (181) примет вид |
|
|
|
vz (трап) = j [ " ! 1/2я W ( у ^ - ) ехр ( — |
] dy = J *, dy, |
(183) |
|
Ух |
Ух |
|
где |
— слагаемые формулы Симпсона. |
|
|
|
После этого интегралы но отдельным трапециям суммируются и умножа |
||
ются на коэффициент с. Глубина разработки Н вычисляется но координатам и отметкам заданных точек контура выработки и вводится в программу вычис лений вместе с углом падения пласта. Этот метод расчета оседаний дает хоро шие результаты, за исключением районов с высокой степенью подработанности породного массива [361].
8.3.6.
Расчет оседаний с помощью ЭВМ при наклонном залегании пласта
Описываемый ниже метод расчета оседаний с помощью ЭВМ основывается на математическом описании линий, оконтуривающих зоны равного влияния на интеграционной сетке, причем эти линии составляются из двух полуэллипсов, а площади влияния, описываемые формулой (162) подразделяются на пять зон [168]. Внешний контур сетки состоит из полуэллипсов, смыкающихся по линии простирания на высоте Р' (рис. 116), а контуры внутренних зон — из полуэллипсов, смыкающихся на высоте Z. Линии, оконтуривающие зоны сетки, описываются уравнениями эллипсов по предварительно найденным величинам их полуосей а и Ъпо уравнениям (163) и (165). Для пяти зон равного влияния величины полуосей эллипсов в направлении падения пласта, считая от точки
Р '1, находятся из выражения |
|
|
а{ —Нsin a cos а [* |
(с\К2\ + c2K z2) etg « ~ |
(184) |
V i - ( c 1Kzl + c2K22)*_ ' |
||
а в направлении простирания, считая от точки Z, из выражения |
|
|
\ - f , C3C0S^ |
|
(185) |
У 1 — с4 cos2 (х |
|
|
причем для коэффициентов сь принимаются значения, приведенные в табл. 13
(см. рис. |
116). |
|
Наклонное расстояние / между точками Р и Z и угол р наклона проходя |
||
щей через точку Z плоскости простирания определяются по формулам |
||
/ |
|
II cos а |
/ 1 |
(18li) |
|
|
— 0,25 (Кп - К 22)* |
|
1 Для согласования с имеющейся программой вычислений как здесь, так и в следу ющем подразделе направление падения считается по оси х (а не по оси у , как это принято обычно).
Схема к расчету границ, ограничивающих зоны равного влияния по уравнению эллипса (два полуэллипса стыкуются друг с другом по линии простирания, проходящей через точку Р')
и
bzl
COS |Х (187)
V p + ь ъ
Что касается деления сетки на секторы, то при наклонном залегании пласта следовало бы учитывать, что элементы площади в направлении падения ока зывают более сильное влияние, чем в направлении простирания, однако
Т А Б Л И Ц А |
13 |
|
|
|
|
Полуось |
|
|
Полуось |
|
|
аНч |
— 0,9 |
0,1 |
bz l |
1,0 |
1,0 |
аНз |
— 0,8 |
0,2 |
bz2 |
0,8 |
0,64 |
а И4 |
— 0,7 |
0,3 |
|||
аНъ |
— 0,6 |
0,4 |
Ь2з |
0,6 |
0,36 |
а2 |
— 0,5 |
0,5 |
|||
аЬй |
- 0 ,4 |
0,6 |
|
0,4 |
0,16 |
аЬ4 |
- 0 , 3 |
0,7 |
bz 4 |
||
аЬ^ |
- 0 ,2 |
0,8 |
|
0,2 |
0,04 |
aL2 |
- 0 ,1 |
0,9 |
^25 |
Рис. 117.
Схема к расчету коэффициента влияния е для точки земной поверхности Р
различие в данном случае настолько мало, что изменять центральные углы сек торов нет необходимости — проще учитывать это обстоятельство при вычисле нии коэффициентов влияния, соответствующим образом изменяя значения коэффициентов влияния различных секторов. Глубина влияния Н может быть вычислена по координатам точки земной поверхности, для которой произво дится расчет, и по координатам верхней или нижней границы очистной вы
работки. |
|
|
в л и я н и я м |
определяется |
следующим |
образом: |
||||||
из |
К о э ф ф и ц и е н т |
|||||||||||
уравнения |
эллипсов |
в полярных |
координатах, |
имеющих |
|
вид |
||||||
|
г - |
/ |
аЬ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(188) |
|
|
У a2 sin2 ф-Ь 62 cos2 ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вычисляют значения радиусов-векторов rt для всех |
зон через интервалы по |
|||||||||||
лярных |
углов, |
равные |
5°, |
начиная |
с |
угла ф — 0 |
(рис. |
117). |
Поскольку |
|||
в |
пределах тех |
же полярных углов |
могут быть определены |
также значения |
||||||||
радиусов-векторов R для эллиптического контура границы площади |
очистной |
|||||||||||
выработки между точками |
Р к(хи т/,), |
Р » (х2, у2) |
при |
помощи |
функции |
|||||||
|
R = _______ Х\У2 — У1Х‘2________ |
|
|
|
|
|
|
(189) |
||||
|
|
( У 2 — У 1) COS ф— (х-2 — Х\ ) sin Ф * |
|
|
|
|
|
|
|
|||
то иосле проверки, является ли величина* Л; большей или меньшей, чем г, , можно определить площади зональных секторов А с соответствующими ра диусами Rt или rh полностью или частично находящихся в пределах контура очистной выработки, при помощи выражений
4»OH. 1 11 (Г1М - Ггм ) W " и Т- Д- ПРИ н > Г1
для каждой |
зоны, через |
Интервалы центральных углов, равные Д(р = 5°. |
|||
В |
формулах |
(100) |
r lM, т\,м, R м представляют собой средние значения ве |
||
личин |
(гх + |
г[), |
(г2 + |
г') |
и (ДА+ R[) в круговом секторе. Аналогичным |
образом определяются площади влияния очистной выработки и в остальных четырех зонах, от второй До пятой. Вычисление относительных величин пло щадей отдельных частей очистной выработки производится по зонам в пределах сегментов Р ^ Р 2, P 2Z P 3 й т - Д- Общая величина коэффициента влияния е находится суммированием найденных относительных величин для всех секто ров, когда сумма их центральных углов достигнет ср — 2л. Интервалы изме нения центральных углов (5°) выбираются такими, чтобы можно было пре небречь погрешностями определения площадей, обусловленными заменой дуг эллипсов дугами окружностей.
При применении описанного метода можно, сопоставив результаты рас
чета vz сданными наблюдений vz, ввести поправочный коэффициент к =
и с его помощью изменить принятые значения граничных углов, при наклон ном или крутОхМ падении обычно определяемые с недостаточной точностью, по формулам
. |
________Н — a tg a k _____ |
|
sin |
я, L испр — Y(H — a tgaA,-)a + a2*a |
|
и |
|
|
SI" Уд „спр — y J + m ’ |
(191) |
|
где вместо а подставляется соответственно аН1 или аь,? или же скорректировать значения коэффициентов влияния et отдельных зон, вычисленные для оседа
ния точки, равного у2, в соответствии с зависимостью et = ^А:2, по формуле
ё, = 0,2e ji2+ 0,2е,к- + |
+ 0,2*6А2 ^ 1. |
(192) |
8.3.7.
Программа для расчета оседаний с помощью малых (настольных) вычислительных машин
В последние годы была разработана математическая модель для вычисле ний с помощью малых ЭВМ, которая, подобно другим методам расчета оседаКИй, может быть скорректирована по данным наблюдений введением произволь ных параметров [284]. Принимаемая во всех методах расчета с помощью инте грационных сеток основная предпосылка о справедливости функции влияния для любой элементарной выработки Q (х , у ) может быть выражена в обоб щенной математической форме для трехмерной (пространственной) очистной выработки в виде
(193)
v> = \ \ \ l > t ( T ) d x ' d y ' dz
Рис. 118. |
оседания |
vz, создаваемого |
элементом Q |
К расчету |
|||
очистной |
выработки |
в точке О земной |
поверхности |
[284] |
|
|
|
где функция распределения 1/z2/ (r/z), отнесенная к точке Р земной поверх ности с координатами х = 0 и у = 0, следует из принятого допущения о по стоянстве угла при вершине конуса, ограничивающего область влияния,
из условия круговой симметрии г = ]/У 2-(-г/'2 (рис. 118). В зависимости от того, остается ли входящая в выражение (193) глубина z в пределах плоской (дву
мерной) площади очистной выработки в пласте (J dz — м ) неизменной, рав
ной Н, или же изменяется по оси х при наклонном пласте в соответствии с за висимостью
z = t f + z 't g a = t f ( l + ^ |
|
х ' У |
|
(194) |
|
получаем |
для горизонтально залегающего пласта |
уравнение |
|
||
^ |
ж |
|
|
|
(195) |
|
|
|
|
||
а для наклонного или крутого |
пласта — уравнение |
|
|
||
-=*жИ |
•/ |
dx |
dyf |
(196) |
|
|
|
||||
Постоянная к получается из условия, что объем мульды оседания на зем ной поверхности должен равняться объему конвергенции в очистной выработке.
Если рассматривать к о л о к о л о о б р а з н у ю к р и в у ю Г а у с с а , описываемую функцией
( 1 9 ? )
в |
качестве первого приближения функции распределения (например, Л/z2 = |
= |
1/2), то можно введением в уравнения (195) и (196) поправочных параметров |