книги / Сдвижение горных пород и защита подрабатываемых сооружений

^rmQi

lduj/dy)dy

К выводу уравнения непрерывности из деформаций элементарного объема очистной выра­ ботки и определению векторов бесконечно малого перемещения точки массива горных по­ род Р на расчетном горизонте z = h:

1 — расчетный горизонт; 2 — элемент объема очистной выработки

равной половине глубины разработки ((0,56#), если в формулы площадей

и А 2 подставить у*П1ах = 0,4аМ, иг = 0,5аМ и QR = # c tg 55°. Из условия постоянства объема следует, что величина В (z) должна возрастать не по ли­ нейному закону, а в соответствии с показательной функцией от z [40], при­ нимая на земной поверхности (z = Н) максимальное значение

кальном направлении увеличится (уменьшится) на (dw/dz) dz, а в горизонталь­

растяжения породной частицы возрастет в направлении книзу на (dw/dz) на единицу длины, то высота параллелепипеда dz увеличится на

Это означает, что при увеличении или уменьшении размера породных частиц по вертикали неизбежно уменьшаются или увеличиваются их размеры по горизонтали, т. е. изменение величины оседания сопровождается изменением горизонтальных сдвижений, и наоборот.

В полярных координатах уравнение непрерывности имеет вид

откуда радиальное перемещение и = / (г) точки Р масспва горных пород на горизонте z может быть определено относительно начала координат или относительно вынутого элементарного объема, если для величины dwldz воспользоваться основным стохастическим уравнением (65) и выполнить интегрирование [36]:

Бесконечно малое перемещение и точки массива горных пород над эле­ ментом очистной выработки будет поэтому пропорционально бесконечно ма­ лому наклону. Значение dwldr может быть получено дифференцированием уравнения элементарной мульды (66) по г, так что ф у н к ц и я э л е м е н ­ т а р н ы х с д в и ж е н и й для горизонта z = h будет иметь вид

3.3.5.

Массив горных пород как среда, состоящая из конечных элементов

В основе нового «метода конечных элементов» лежит представление о сплош­ ной или дискретной упругой среде, состоящей из множества элементов, соеди­ няющихся друг с другом только в узловых точках, в которых и происходит взаимодействие элементов через возникающие в них напряжения и перемеще­ ния, так что от отдельных элементов можно перейти к напряженно-деформиро-

По вычисленным усилиям в узловых точках системы могут быть определены перемещения во всех остальных узловых точках при помощи обращенной матрицы жесткости

вертикальная внешняя сила F, приложенная к верхней или нижней вершине элемента, складывается в модели с давлением от веса пород покрывающей толщи. Под действием нагрузки от собственного веса над вырезом модели, соответствующим очистной выработке, происходят смещения и деформации элементов, значения которых и являются искомыми в данной задаче. На го­ ризонте очистной выработки оседанию узловых точек противодействует реак­ ция закладки, возрастающая вместе с увеличением прогиба слоя пород непо­ средственной кровли. Для такой модели, так называемой м о д е л и н а г р у ­ з о к , составляется матрица отпорной системы Н, при помощи которой по из­ вестным усилиям в узловых точках {/} могут быть получены искомые значения

О том, в какой степени математическая модель процесса сдвижений и при­ нятые при ее построении значения упругих характеристик соответствуют дей­ ствительности, для модели сдвижений можно судить по данным наблюдений за оседанием земной поверхности, а для модели нагрузок, кроме того, еще и по определенной ориентировочно линии прогиба непосредственной кровли путем сравнения с вычисленными величинами оседаний самого верхнего и са­ мого нижнего рядов элементов. Неупругая реакция закладки в модели сдви­ жений ые отражается.

Вычисление производится в четыре основных этапа.

1. В продольном или поперечном разрезе, проходящем через середину очистной выработки, структура плоского слоистого массива горных пород условно изображается в виде системы треугольных элементов. Поскольку напряжения и перемещения в пределах каждого элемента принимаются при­ мерно постоянными, сетка элементов в области высоких градиентов деформа­ ций, а именно в слоях пород основной кровли, должна быть достаточно гу­ стой, т. е. состоящей из элементов достаточно малых размеров.

2. Кинетические свойства элементов оцениваются при помощи матрицы жесткости. В программе для вычислений на ЭВМ матрицы жесткости и нагру-

зон элементов образуются численным описанием структуры (координаты, упругие характеристики, плотность); объединением элементарных матриц жесткости образуется матрица жесткости всей системы в целом.

3.Методом последовательных приближений (итераций) вычисляются переме­ щения узловых точек (сдвижения точек породного массива) с помощью вводимых по отдельности нагрузок, инверсией матрицы жесткости системы по формуле

(75)с последующей интерполяцией для точек, лежащих вне плоскости раз­ реза. При этом должны одновременно удовлетворяться три условия:

равновесие внутренних и внешних сил в узловых точках; совместность деформаций элементов на их контуре;

соблюдение зависимости внутренних сил и деформаций каждого элемента от его формы и характеристик материала.

4.Кроме того, для геомеханических исследований могут быть определены составляющие напряжений о для каждого элемента, которые находятся по по­ лученным перемещениям а в узловых точках при помощи матрицы преобразо­

При помощи этой матрицы может быть определено распределение горного давления на горизонте очистной выработки.

М а т е м а т и ч е с к и е о с н о в ы метода можно пояснить на простом примере модели фахверковой конструкции, стержни которой являются эле­ ментами 1. Концевые точки 1 ж2 отдельного стержня фахверка (узловые точки) под действием внешней силы JF, величина которой сначала остается неизвест­ ной, должны переместиться в положение V и 2 ' (модель сдвижения, рис. 48). При этом конечные составляющие сдвижения параллельно осям координат составят соответственно u i ж для точки 1 ж и2 ж w2 для точки 2. Причем они могут быть записаны в виде вектора-столбца с использованием фигурных скобок

(Щ

w2)

Из вынужденных смещёний концевых точек стержня получаем, что стер­ жень будет иметь относительную деформацию (удлинение или укорочение)

1 Разрез слоистого массива горных пород может быть представлен в виде фахверковой конструкции, состоящей из треугольников, только для материалов (т. е. горных пород) с коэффициентом бокового расширения, равным 0,33. Для других коэффициентов бокового расширения, если требуется равенство деформаций фахверка в горизонтальном и верти­ кальном направлениях, должны строиться сложные конструкции, состоящие из стержней неодинаковой толщины [274].

что можно написать в виде произведения строчного вектора-строки на век­ тор-столбец:

нении (80) выражает соотношение смещений и деформаций, зависящее только от наклона стержня, т. е. от структурных особенностей конструкции; в мас­

Внутреннее осевое усилие (растягивающее или сжимающее), возника­ ющее в деформированном элементе стержня длиной I и площадью поперечного сечения q в результате вынужденного смещения его концевых точек, пропор­ ционально жесткости элемента Eqll и относительной деформации е и идентично результирующей F внешних сил, приложенных к узловой точке (действие равно противодействию):

(82)

Чтобы иметь возможность определить степень влияния этой известной по величине и направлению результирующей силы на соседние стержни, при­ мыкающие к стержню в точках 1 и 2, нужно в каждой точке разложить силу F

жение (83) вместо вынужденной относительной деформации стержня е подста­ вить правую часть уравнения (80), то получим обобщенное выражение соот­ ношения сил и перемещений для стержневого элемента

Рис. 49.

Схема плоского треугольного элемента, на узло­

вую точку 3 которого действуют внешние и внут­ ренние силы

по правилу «строка на столбец» можно привести уравнение (84) при помощи

ной среды с более чем двумя узловыми точками. При этом сначала определяют структурную матрицу [D] из соотношения смещений и деформаций (81), чтобы иметь затем возможность из произведения [D]T [D\ по формуле (85) получить,

проявляются в составляющих силах, которые должны быть приложены ко всем узловым точкам, чтобы очередная узловая точка сместилась в направлении оси х или у на одинаковую единичную величину и чтобы при этом все осталь­ ные узловые точки не изменили свюего положения.

Из требования единичного деформированного состояния всей площади элемента следует для вывода структурной матрицы [/?], что перемещения узловых точек треугольного элемента 1 , 2 ж3 , которые используются при по­ строении моделей массивов горных пород, должны быть связаны одним и тем жепараметром ас как с перемещением произвольной точки Р (х, у) в пределах площади данного элемента, так и с деформацией этого элемента (рис. 49)^ Поэтому для точек площади элемента и для узловых точек поле перемещений задается полиномами, причем связанные только в трех узловых точках эле­ менты в процессе деформирования могут по линиям своего контура или об­ разовывать зазоры, или же перекрывать друг друга. Вследствие этого фиктив­ ные линии контуров даже после деформации остаются прямолинейными (усло­ вие совместимости). Если узловые точки, координаты которых связаны

<с перемещ ениями б (гг, гг;) линейными полиномами:

+Jr cc3y1,

переместятся под действием некоторой еще неизвестной силы, то точка Р внутри плоского элемента также изменит свое положение в соответствии с выраже­ нием (86) на

Теперь можно заменить параметры а,- в выражении (88) вынужденными перемещениями узловых точек б (гг, w), разбив их на две группы по составля­ ющим перемещений гг и w, а в пределах каждой группы — по коэффициентам щ в соответствии с выражением (86):

1

U = -JJ- [(а, + Ъ4х + сху) и, + (а2 + Ь.гх + сгу) иг + (ая + Ьъх + с3у) м3];

где А — площадь элементов, которые могут быть вычислены по координатам узловых точек; коэффициенты = х 2 у3 — х3 у 2, 4 = г/2 — г/я, сх = х3 — х 2 с циклической сменой индексов.