книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии

Xо

Если оказывается, что х* мал, следует использовать много­ секционный реактор и оптимизировать его методом динамического программирования. При этом используем результаты оптималь­ ного иасчета для последней, N стадии.

Рис. VI-13. Определение оптимальных условии в многосекционном адиа­ батическом реакторе:

1» 2 — линии постоянной скорости; 3 — зависимость х = / (Гр); 4 — за­

висимость х = f (ГоПт).

Далее процедура поиска производится для известных условий выхода из N —1-го реактора. Однако поскольку известна опти­ мальная скорость, можно выбрать соответствующую ей темпера­ туру входа в N — 1-й реакторЭтот подход показан на рис. VI-13 для каскада из трех реакторов. Вначале, задав жтах, находим температуру и степень превращения х 2 на входе в третий реактор. Далее выбираем температуру выхода из второго реактора, пере­

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Выше рассмотрен поиск экстремума алгебраических функций. Большой класс задач требует поиска не численных значений аргументов, а оптимальных функций (их называют экстремалями).

211

Например, если нужно найти оптимальный температурный про­ филь реактора или оптимальный способ изменения температуры Т при пуске реактора, должны быть найдены оптимальные функции У* (I) и Т* (т), где I — длина, т — время. Этим функциям отве­ чает оптимальное численное значение оптимизируемой величины У, называемое функционалом, причем У = У [Г (2)] или У = = Y [T (т)]. Такие задачи решают вариационными методами и их, как правило, удается сформулировать в виде: найти экстрейум функционала

вида функции от х (т) до х (т) при одном и том же значении аргу­

212

В связи с этим при численном решенйи уравнения Эйлера при­ бегают к упрощающим допущениям. Наиболее распространен метод кусочно-линейной аппроксимации экстремали, который заключается в следующем. Разобьем область от т 0 до т х на N рав­ ных отрезков, на каждом из которых экстремаль х (т) можно счи­ тать линейной. Например, на отрезке от Х{ до т,-+1:

Xi+1— Xj

ж(т) = -f Ti+1 — T'i [X— Xt)

где xt и ж1+1 — величины х на концах интервала. Понятно, что для этого интервала

G учетом этих условий при небольших Ат интегрирование для расчета функционала можно заменить нахождением конечной -суммы-’

Уже отмечалось, что производные / по х и х' можно найти методами численного интегрирования. Решение последней системы относительно величин х во всех промежуточных точках экстре­ мали дает решение вариационной задачи. Хотя такое решение достаточно сложно (см. поиск экстремума функции многих пере­ менных), оно требует меньших затрат машинного времени, чем решение краевой задачи.

Удобным численным методом решения вариационных задач является метод локальных вариаций [9], развиваемый в последнее время для решения технических задач. Он отличается от метода

.кусочно-линейной аппроксимации использованием последователь­ ных приближений при поиске точек экстремали. Поиск начи­ нается с замены экстремали произвольной ломаной, проходящей через краевые точки и удовлетворяющей заданным ограничениям на величины х (т) (начальное приближение). Начальное приближе-

214

ние есть, таким образом, набор чисел, который отметим индексом «О»: х 0, х\ , х\ , •••, x v Далее задаются шагом h и осущест­ вляют следующий итерационный процесс. Пусть известно 7-тое

=*i+A) + n(*i +A. 4ы)

*t-*)+y*W-A. *L)

Если при 4 — h или 4 + h не выполняется какое-либо ограничение, то соответствующий вариант исключается из рас­ смотрения. Тот из рассматриваемых вариантов, который обес­

функционал, то

4 * если наименьшее Фх

J-rl — 4 + А, если наименьшее Ф|

Xk ~

xL—h, если наименьшее Ф*

Этот метод достаточно прост. Его оригинальность заключается в последовательном поиске только одной из величии x-t, причем не нарушается вариационный подход. Однако число итераций достаточно велико; поиск каждой из промежуточных точек экстре­ мали ведется 3 р раз, где р — число приближений-

Можно построить и другой алгоритм, упрощающий решение вариационных задач. Заманчивым представляется сочетание мето­ дов вариационного и динамического программированияПрименив кусочно-линейную аппроксимацию, можно оптимизировать функ­ ционал Y по «кусочкам» от конца интервала тх к началу т 0- В со­ ответствии с принципом динамического программирования это'

ч

Поскольку найденная оптимальная последовательность опре­ деляемых величин Y n , Y N-! [и т. д . обеспечит оптимум всего

функционала Y = 2 Г , . одновременный поиск N — 1 величины х( заменяется N —1 поиском одной величины. Такой алгоритм является наиболее простым, но он не позволяет выполнить опти­ мизацию на последнем от конца, т. е. первом от начала, интервале. Действительно, оптимизация iV2 даст величину х па конце пер­ вого интервалаОднако в начале этого интервала величина х = х 0 задана краевым условием, т. е. величина Y\ и положение прямой на первом интервале не являются независимыми. Этот недостаток несущественен при достаточно большом числе интервалов N , но затрудняет исследование сходимости метода-

Нетрудно обобщить уравнение (VI. 41) для случая многих переменных. При этом получаем систему уравнений (называемых уравнениями Эйлера —Лагранжа) в виде'

_д[____

Интегрирование уравнений (VI.41) или (VI.43) аналитически обычно не удается выполнить. Но имеются простые случаи, когда вид экстремалей может быть найден. Это часто удается осуществить без перехода к уравнению Эйлера, как и в приведенных выше численных методах. Все эти методы носят название прямых.

Из аналитических прямых методов удобен метод Ритца, раз­ витый вначале для квадратичного функционала вида:

Хг

Y = J [Р (т) (*')* + Q (т) х2+ Л (т) 4 dx

X,

Х=1

где g о (т )— функция, которая должна удовлетворять краевым условиям: g о (т0) = х (т0) = x h 05 g 0 (тх) = х (т^) = x lt х; gt (т) — функции, которые должны в точках т 0 и т х обращаться в 0, причем они не могут быть получены одна из другой*

Обычно принимают

g i( i) = x l~1 (x— т0)(т—тх) i = l, 2, . . ., п

Естественно, для практических целей п ограничивают, чтобы при небольшом числе членов выражение для экстремали х (т)

216

Поскольку величины С• должны обеспечить экстремум V*

то для их определения получаем систему алгебраических урав­ нений:

Можно показать, что для приведенного функционала эта система является линейной, что упрощает ее решениеЕсли же функционал имеет произвольный вид, то система алгебраических уравнений будет нелинейной, и возникает проблема ее решенияОднако и в этом случае удается свести решение вариационной задачи к решению системы алгебраических уравнений-

Во всех случаях для выбора п сравнивают решения при двух различных п- Их близость позволяет остановиться на меньшем пг различие указывает на необходимость дальнейшего увеличе­ ния п*

8, ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Приводимые пилю примеры иллюстрируют применение рас­ смотренных в этом разделе методов. Они будут полезны при оценке эффективности выбранного метода оптимизацииВместе с тем иллюстрация применения некоторых методов, например, динами­ ческого программирования, дана щ*и описании методов.

Пример V I-1. Определение оптимального распределения сырья ыежд параллельно работающими реакторами идеального перемепгаванпя.

Математическое описание процессов в реакторах идеального перемеши­ вания представляет собой систему алгебраических уравнений. При поиске экстремума необходимо учитывать ограничение на общую величину потока,

большее количество из поданного сырья.

Для решения задачи выразим njb через л/. Обозначив для /-го аппарата объем 7/, объемный поток vj, концентрацию реагента в аппарате п выходном потоке С/, констапту скорости Ау, имеем:

nj—njb~kjCjVj

Так как концентрация и мольный поток связаны соотношением ?ijb = C i vb а объемный поток пхюпошшонален массовому потоку vj = ял/, то

C j=njb/an/

217

Следовательно:

>4b=ni l ( i + ^ r " ^ J - )

Составим функцию Ф (стр. 178):

Ф=у+Ьу=2 ,1//(1++^’^ )+Х^И~2 '1/|

Приравнивая нулю частные производные этой функции, получаем:

м

Исключая X из предпоследнего уравнения, получим следующую систему условий оптимального распределения:

которая, очевндно, будет выполняться при более простых условиях:

= kN, и потоки следует распределять пропорционально объемам. При раз­

ных температурах в аппаратах нужно пользоваться приведенной выше сп стемой уравнений, т. е. пропорциональностью потоков произведению /с/7/.

Пример VI-2. Определение оптимальной температуры пиролиза методом золотого сечения.

Процесс пиролиза можно осуществлять при температурах от 700 до 900 °С. Необходимо выбра|Ь в этой области такую температуру, при которой выход этилена будет наибольшим, Иэвестно математическое описание про­ цесса в техническом аппарате в виде системы дифференциальных уравнений, определяющих балансы по каждому компоненту реагирующей смеси /:

dni чп Wi, nf (0) = n0f dV

Более подробно математическое описание приведено ниже (стр. 260). Имеется возможность численного решения, указанной системы и определения выходов продуктов из технического аппарата при любой температуре.

Используем поисковый метод. Выше отмечена эффективность методов Фибоначчи и золотого сечения. Эти методы различаются лишь выбором длины шага на начальном участке поиска. Поскольку такой выбор более прост в методе золотого сечения, применим его.

218

Эти точки соответствуют температурам 776 и 824 °С. Выполнив на модели расчеты результатов процесса при этих температурах, получим следующие выходы этилена {у): уг (776) = 27%, yz (824) = 33%. Выполнение расчетов на модели в этом примере не приведено, так как оно не требуется для пони­ мания процедуры поиска.

Ясно, что оптимальная температура лежит в интервале от 776 до 900 °С* Проверяем в этом интервале точку, отстоящую от конца (900 °С) на 824 —

симметричной наилучшей из найденных ранее. Эта точка отстоит от 900 °С на 852 — 824 = 28 °С и соответствует температуре 872 °С. Расчеты покажут* что у4 (872) = 34% .

Таким образом, результат при 852 °С наилучший. Учитывая, что экстре­ мум при осуществлении химических процессов обычно является пологим, а также то, что ошибка в измерениях температуры близка к 10 °С, дальней­ ший поиск прекратим. Таким образом, поиск по методу золотого сечения потребовал проверки результата всего в четырех точках. При использовании сканирования потребовалась бы проверка результатов 'в 11 точках, отстоящих друг от друга па 20 °С.

Пример V I-3. Определение экстремума функции многих переменных методом наискореишего спуска.

Применение метода напскорейшего спуска (подъема) в эксперименталь­ ных исследованиях для определения оптимальных условии осуществления процесса рассмотрено в главе I. Определение экстремума функции многих переменных, когда эта функция находится не в результате эксперимента* а при расчете по математическому описашпо, рассмотрим на примере расчета констант скоростей по результатам эксперимента.

Пусть нужно найти константы скорости изомеризации к-бутенов. Экспе­ риментальные составы смесей ?*-бутенов в ходе их изомеризации предста­ влены в табл, 'VI-3. Известно, что математическое описание изомеризации можно представить в виде:

к относительным константам, разделив числитель и знаменатель в правых частях на k lt g. При переходе к относительным константам удобно сохранить приведенную форму уравнении, учитывая, что kl9 3 = 1. Величины K if известны из термодинамических расчетов [10], a klf 2и к2. 3нужно подобрать* обеспечив совпадение рассчитываемых и приведенных в табл. VI-З концен­ траций. В таких задачах целевой функцией может быть сумма квадратов от­ клонений рассчитываемых и экспериментальных величин, например:

а

И-1

где п — число экспериментальных режимов, индекс «э» характеризует экспериментальную, а индекс «р» — рассчитываемую величину. Поскольку

21Э

экспериментальпыезначениязаданы, товеличина F зависит от рассчитыва­ емыхзначенийС'.1р, Сдр, значит, от определяющих их кинетических пара­

так ка вкаждомопытеможнорассчитать С“рп рпоматематическому описаниюПонятно, чтопоиск покг,аик2,3должен привести к минимумF. Осуществимэто поиск следующимобразомЗададимся исходнымнабором 4} ,= к°2з= 7Выберемощутимоеизменениеконстант скорости (Лкг, 2= = 1, Акг, з= 1) инайдемчастныеградиентыF поk lt]2 и кг,3Для этого необходимопайтитри значенияF:

2 2 0