книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии

Далее этот итерационный процесс проводят для другой пере­ менной. Проводя г итераций, получают систему, в которой в к—г уравнениях все коэффициенты обратятся в нули, т. е. исходная система совместима.

При проведении итерационного процесса удобно использовать так называемые таблицы Гаусса (табл. VI-2). В такую таблицу помещают коэффициенты исходной системы и свободные члены. При определении коэффициентов итерационных уравнений поль­ зуются правилом прямоугольника. Образуют прямоугольник из «старого» а 1Л, разрешающего ап- и двух других элементов (ап и аь ) разрешающих строки и столбца (г, /). Величина «нового» элемента есть разность «старого» и дроби, числитель которой — произведение диагональных элементов прямоугольника, а знаме­ натель — разрешающий элемент. Для разрешающей строки после

Примечание. Подчеркнуты коэффициенты\ разрешающего уравнения и разрешатощего столбца.

201

Далее весь расчет выполняется при выборе в качестве исходной матрицы, полученной после первой итерации, и т. д. Итерации заканчиваются, когда коэффициенты всех уравнений, кроме использованных в качестве разрешающих, станут равны нулю.

Если найдено одно базисное решение, то можно найти и другие, переходя к другому базису. Это можно сделать, пользуясь тем же итерационным методом. Пусть начальный базис имеет вид:

переменные. Выберем отличный от нуля элемент адр и выполним одну итерацию методом последовательных исключений; получим

ных решениях. К ним относят такие базисные решения, у кото­ рых все базисные переменные являются положительными, так как

оптимальное решение совпадает с одним из опорных. Является ли базисное решение опорным, легко установить по виду единичного базиса — системы (VI.31). Поскольку d1, ..., <4 определяют значения базисных переменных, то если среди d есть отрицатель­ ные величины, базисное решение не будет опорным. Можно пе­ рейти от такого базисного решения к опорному следующим обра­ зом: выберем из d отрицательное ds, наибольшее по абсолютной величине, и вычтем уравнение для ds из остальных, включающих отрицательные d• Тогда свободные члены разностных уравнений станут положительными.

Умножим уравнение s на —1, получим преобразованную систему, в которох! свободные члены d неотрицательныЭта система, однако, не является базисной, так как она не разрешена

202

относительно xs (он входит со знаком «минус» в некоторые уравне­ ния). Пусть преобразованная система имеет вид:

— * s H - . • . “b a 3i г+1х /-+1"Ь • • •- l- a 3. kx k — d s

Преобразуем эту систему в базисную, сохранив неотрицатель­ ность свободных членов. Для этого выберем разрешающий эле­ мент а,р в уравнении «так, чтобы а%р > 0 (отсутствие положитель­ ных коэффициентов в уравнении s указывает на отсутствие реше­ ния при Х( > 0 ) . Проводя итерации методом последовательных исключений, придем к опорному решению-

Если Найдено опорное решение, то задачу линейного програм­ мирования можно записать в следующем виде. Имеется система уравнений:

у — Ъхх х — , . . — b k X k = — b 0

при условиях

Так как в системе (VI.32) все свободные члены неотрицательны, то исходное опорное решение имеет вид:

Если теперь умножить первое уравнение системы на bv вто­ рое — на Ь2 и т- д. и сложить их с уравнением (VI-33), получим:

/-1

203

В уравнении (VI*34) оптимизируемая функция выражена через свободные переменные. Это уравнение можно «добавить» к системе (VI.32) и решать далее расширенную линейную систему

a:l + ai.r+iar+i + ai. kxk = di, о ■ + fl2. r+i^m+ « 2. kxk= dz, о

xr~\~ап r+la>+i + ar, kxk — dr, о

У+а0. r+l^-V+l + a0. kxk — do, 0 ■

Вэтой системе столбец свободных членов дает опорное реше­ ние и величину оптимизируемой функции (последний член). Осуществим в этой системе переход к новому опорному решению тем же методом, что и вышеПри этом не будем использовать уравнение для у в качестве разрешающего* Разрешающий эле­ мент выбираем иа основе следующих соображений: столбец дол­ жен содержать положительные члены*, строка у (разрешающее уравнение) выбирается так, чтобы отношение dpJ a pi было мини­ мальным.

Выполнив итерацию, получим улучшенное решение. Если после очередной итерации окажется, что все элементы строки положительны, то найдено оптимальное решение.

6. ПОИСК ЭКСТРЕМУМА МНОГОСТАДИЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Динамическое программирование — это удобный метод опре­ деления экстремума для многостадийного процесса (рис. VI-10). Если каждая из N стадий характеризуется набором к оптпмизи-

Рве. VI-10. Схема многостадийного химического процесса:

-У

х — вектор состава; и — вектор регулируемых величин.

руемых параметров, то одновременное определение Nk параметров может вызвать затруднения при применении любого поискового метода. Кроме того, прямой поиск по всем параметрам дает один оптимум. Изменение состояиия системы, например, производи­ тельности или свойств катализатора, потребует нового поиска-

Метод динамического программирования позволяет осущест­ влять поиск оптимума последовательно для каждой стадии. Про­ ведение iV поисков, в каждом из которых подбирается к величин, гораздо легче осуществить, чем одновременный поиск N к величинКроме того, динамическое программирование позволяет устано­

204

вить набор оптимальных режимов для различных начальных условий.

Пусть поток на выходе из i-той стадии характеризуется вели­ чинами х и , ..., xmi, которые можно рассматривать как составля­

бы не были характеристики системы из N —р звеньев, последу­ ющие решения для р звеньев должны быть оптимальными относи­ тельно исходного состояния (на выходе из N —р звеньев). Этот принцип сформулирован Веллманом.

Пусть

/ (хо) = max g(xN)

где максимум берется по всем наборам управляющих величин

При любом выборе режима иг на первой стадии состояние

h Ы =тах/2 (*i)

где максимум берется по и3, ..., uN-

Понятно, что для последней стадии принцип оптимальности дает:

Ы % -1) = шах* Ы

Здесь максимум берется уже только по uN-

Таким образом, принцип оптимальности позволяет проводить оптимизацию начиная с последней стадии, путем подбора управ­ ляющих параметров для этой стадии: затем рассматривают две последние стадии и т- д.

205

Подчеркнем, что динамическое программирование позволяет заменить сложную задачу рядом более простых, но не дает метода решения этих задач.

Изотермический каскад. Проиллюстрируем применение ме­ тода динамического программирования для определения минималь­ ного объема - трех последовательно расположенных реакторов идеального перемешивания, в которых проводится изотермически реакция первого порядка. Целью является получение при мини­ мальном общем объеме системы конечной концентрации исход­ ного вещества С3, равной 10% от начальной С й.

По уравнению баланса для г-того аппарата идеального пере­ мешивания имеем:

vCt_x—vCi= kC[Vt

исходного вещества на входе в аппарат и выходе из негоОбозна­

-xdf-o

найдем минимальное расстояние между кривыми, которое и дает

206

Отсюда

TI = T 2- T 3; V i = ^ 2 = ^ 3; ■ ^• — ^ • — •^■ = 0,465

Из этого частного случая ясно, что, рассматривая N последо­ вательно соединенных изотермических аппаратов при необходи­ мости минимизации их объема, приходим к равенству объемов аппаратов-

Неизотермический каскад. Метод динамического программи­ рования удобен и при расчете неизотермических процессов, что

Рис. VI-11. Определение минимального объема каскада изотермических реакторов при проведении необратимой реакции.

будет продемонстрировано для расчета протекающего в каскаде химического процесса, описываемого уравнением

Wi^kiCа

А—..........-*• в

»»»=■/<«Сд

Применение метода удобно рассмотреть на частном примерет так как он ясно демонстрирует общую схему расчетаПусть объем системы не меняется и отношение энергий активации стадий Е^Е± = 2- Обозначив отношение объема реактора к объемному

20?

двух аппаратов. Из уравнений материального баланса для 1-го

в качестве меры температуры величину и = k J k R [где кп — кон­ станта kt при такой температуре TR, когда k-t (Тв) = /с2 (TR)= k R],

оптимальная величина к*, для которой скорость превращения максимальна.

По условию

Применяя (г) в соответствии с методом динамического програм-

208

И ск л ю ч а я х и з си стем ы (в ), найдем:

где x — степень превращения; Т — температура; т — условное время контакта (отношение объема слоя vk к объемному потоку vnh С о — начальная концентрация; длр и w — теплота и CKOJ рость процесса; у ж е — плотность и теплоемкость реагирующей смеси.

Разделив второе уравнение на первое и проинтегрировав, найдем:

209

Здесь индекс «О» относится к условиям на входе в слойСформулируем критерий оптимизации. Разумеется, можно мак­

симизировать разность х — ж0, но нужно учитывать необходимость ограничения общего объема (или условного времени контакта т;(). Тогда целевую функцию можно записать по методу Лагранжа. Можно однако придать и физический смысл множителю Лаг­ ранжа. Если б — коэффициент, учитывающий затраты на единицу времени контакта, то критерий оптимизации имеет вид:

у=х—хо—Ьхя

Поскольку

Для единичного слоя оптимальные условия можно опреде­ лить, продифференцировав у по х и х приравняв производные нулю:

Физический смысл первого уравнения (VI-37) состоит в том, что процесс следует остановить, когда w = 8С 0. Из второго уравне­ ния следует, что в каждом сечении нужно поддерживать мак­ симальную скорость (dwIdT — 0).

Практически такую задачу решают следующим образом. Если построить зависимость равновесной степени превращения от тем­

кр от Тр и связь Топт и Тр рассмотрены выше. На том же рисунке показана линейная зависимость Т от ж в ходе адиабатического

2 1 0