книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии

Подставив выражения типа (IV.4) для каждого из х .■в (IV.3) получим:

L 11М 2*T^3ty^4t — |

где

^li = ffllmlt + ai2^3£+. ••+ alnmni

S a = а.2\П1ц + азг^гг + . .-f-вз п Щ п s3i = ®3imli + «32m21+ . . + aSnmn,•

^4i a4lmli“I" aViTn2i“l- . . . “I”®4

В силу бе8размерности правой части уравнения (IV.3) имеем:

Sit = Szi — S$i = 5 4; = О

Поэтому получаем для определения неизвестных показателей сле­ дующую систему уравнений:

системы (IV.5) равно числу независимых комплексов, т. е. суще­ ствует I = п—р (где I > 0 ) независимых безразмерных комплек­ сов, связь между которыми и следует искать в форме уравнения (IV.2). При этом необходимо, чтобы все уравнения системы (IV.5) были независимы, т. е. чтобы ни одно из них не могло быть полу­ чено из других.

В конкретных расчетах по уравнению (IV. 5) обычно задаются п—р неизвестными, после чего система становится нормальной. Выбор этих неизвестных и их величин в значительной степени произволен, но обычно стремятся, чтобы некоторые неполучен­ ных комплексов совпадали с известными — критериями Рей­ нольдса, Прандтля, Эйлера (см. стр. 136).

Обычно (но не обязательно) при обработке экспериментальных данных выбирают следующую эмпирическую форму зависимости

причем величины const, г1? г2, ... подбирают так, чтобы обеспе­ чить максимальную точность расчета.

№

Теория размерностей широко используется в химической тех­ нологии для расчетов и моделирования явлений тепло- и массопереноса [1—4 ,1 3 ]. Большое число примеров конкретного исполь­ зования этой теории в химической технологии приводит Я. М. Брайнес [5, 6]. Широко используют теорию размерностей для обобщения закономерностей, наблюдаемых в аппаратах с переме­ шиванием [7].

К анализу размерностей приходится обращаться, когда иссле­ дователь пытается сделать какие-либо общие выводы на основании экспериментов для процесса, который не поддается количествен­ ному теоретическому расчету. Однако нельзя утверждать, что соотношения, полученные с помощью теории размерностей, при­ менимы во всех ситуациях, так как связь между безразмерными комплексами определяется эмпирически.

Анализ размерностей удобен для простых случаев. При боль­ шом числе переменных найти удобные формы безразмерных ком­ плексов сложно, а истолковать их физический смысл затрудни­ тельно. Если какая-либо из величин опущена или, наоборот, включена лишняя, это приводит к неправильному определению числа и вида комплексов. Поэтому более надежен вывод безраз­ мерных комплексов из математического описания процесса на основе теории подобия.

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

Хорошо известно геометрическое подобие: две фигуры назы­ вают подобными, если сходственные размеры пропорциональны, а сходственные углы одинаковы. Геометрически подобная модель может быть получена из оригинала при его равномерном сжатии (или расширении) по трем координатным осям: х, у, г. Соотноше­ ния проекций I сходственных линий оригинала (о) и модели (м) на каждую координатную ось одинаковы:

Временное подобие, иногда используемое для стадийных и не­ стационарных процессов, означает, что отношение времен осу­ ществления сходственных стадий есть величина постоянная. Если

Процессы, для которых выполняется временное подобие, назы­ вают гомохронными; процессы, для которых К? = 1 » называют синхронными.

Физическое подобие предполагает наличие как геометриче­ ского и временного подобия, так и подобия (пропорциональности)

133

физико-химических величин. Например, в оригинале и модели должны быть пропорциональны составляющие вектора скорости на каждую из осей.

Теория подобия используется для обобщения данных о ка­ ком-либо физическом процессе при осуществлении его в аппаратах различного размера. Методы теории подобия применяют для опре­ деления физических характеристик процесса в большом аппарате на основе изучения этого процесса в малом аппарате. При этом принимается, что процесс описывается одной и той же системой дифференциальных уравнений, т. е. что структура математиче­ ского описания неизменна. Предполагается, что аналитическое или численное решение этого описания вызывает затруднения; применение же теории подобия позволяет выполнить исследова­ ние процесса, не прибегая к решению системы дифференциальных уравнений.

Для того, чтобы от общего математического описания группы однотипных процессов (например, сорбции) перейти к конкрет­ ному описанию одного процесса (например, сорбции пропана цео­ литом в аппарате определенных размеров), исходная система диф­ ференциальных уравнений должна быть дополнена начальными и краевыми условиями (т. е. условиями поведения функции в на­ чале или в конце процесса и на геометрических границах аппа­ рата) и физическими характеристиками обрабатываемых веществ. Эти дополнения называют условиями однозначности.

Если структура дифференциальных уравнений, описывающих процесс в малом и большом аппаратах, одинакова, то различие решений размерных форм уравнений (т. е. различие результатов) объясняется разными начальными и краевыми условиями (напри­ мер, величиной потоков вещества); разными постоянными коэф­ фициентами (например, различием линейных скоростей) и различ­ ными пределами интегрирования из-за различия размеров.

Переведя уравнения в безразмерную форму, можно устранить перечисленные причины. Для безразмерной формы уравнений краевые условия и пределы интегрирования в различных аппара­ тах будут одинаковы, а коэффициенты можно сделать неизмен­ ными соответствующим подбором геометрических и физических величин. При этом подборе решения уравнений, т. е. результаты процесса, совпадут для аппаратов различных размеров.

Перейдем к общим положениям теории подобия. Согласно первой теореме подобия, для подобия физических явлений не­ обходимо, чтобы физические величины во всех сходственных точках были пропорциональны. Проиллюстрируем ее на примере процесса диффузии, который в оригинале и модели протекает в соответствии с первым законом Фика: удельный поток вещества * g равен коэффициенту диффузии D , умноженному на градиент

* Масса (количество) вещества, проходящего через единицу поверх* " ности в единицу времени.

134

Бели процессы в оригинале и модели подобны, то между сход­ ственными величинами существует пропорциональная зависи­ мость:

Физическое подобие требует определенных ограничений при выборе коэффициентов подобия, так как очевидно, что

.

K RK X - 1

и только три коэффициента пропорциональности из четырех Могут быть выбраны произвольно.

Заменяя К соответствующими отношениями, получим:

■РмСм __ РоСо*.

8м%м бохо

Безразмерные комплексы DC/gx должны быть равны для мо­ дели и оригинала. Эти комплексы называют критериями подобия.

Выводом из первой теоремы подобия является,' следовательно, существование критериев подобия. Число и вид критериев подобия определяют из дифференциальных соотношений, описывающих процесс. Для этого дифференциальные соотношения приводят к безразмерной форме путем замены размерных переменных без­ размерными. Постоянные коэффициенты полученных таким обра­ зом соотношений и являются критериями подобия.

Другой удобный способ вывода критериев подобия заклю­ чается в следующем: все слагаемые дифференциального уравнения делят на одно из них, затем в полученных отношениях вычерки­ вают символы дифференцирования и заменяют текущие перемен­ ные их величинами на границах. При этом величины аргументов

135

следует выбирать на выходе из аппарата, а функций — на входе в него.

Нужно учитывать, что кроме уравнений, связывающих пере­ менные внутри аппарата, математическое описание процесса включает начальные и граничные условия, которые также могут быть заданы уравнениями. Поскольку физическое подобие пред­ полагает пропорциональность физических величин на границах и в начале процесса, критерии подобия получают также из началь­ ных и граничных условий.

Во второй теореме подобия доказывается, что если результаты эксперимента представить в виде зависимостей между безразмер­ ными критериями подобия, эти зависимости можно применить ко всем подобным системам.

Эта теорема фактически уже доказана при рассмотрении теории размерностей, где обоснован для одной системы переход от зави­ симости между размерными переменными (IV. 1) к зависимости между безразмерными комплексами (IV.3). Поскольку подобие модели и оригинала предполагает их описание одинаковыми уравнениями типа (IV. 1), то естественно, и зависимости вида (IV.2) не будут меняться с изменением масштаба оборудования. Более наглядное доказательство основано на изменении значения основных единиц измерения. Так как структура уравнений (IV. 1) не должна зависеть от выбора единиц измерения, рассматривая зависимости (IV. 1) для разных масштабных единиц, придем к возможности их замены зависимостями между безразмерными критериями подобия.

Третья теорема подобия устанавливает следующие правила физического моделирования: оригинал и модель должны быть геометрически подобны; процессы в модели и оригинале должны относиться к одному классу и описываться одинаковыми дифферен­ циальными уравнениями; начальные и граничные условия для модели и оригинала должны быть подобны; определяющие безраз­ мерные критерии должны быть равны для модели и оригинала.

Основные критерии гидродинамического подобия. Эти крите­ рии можно получить из уравнения Навье — Стокса для стацио­ нарного потока вязкой несжимаемой жидкости в направлении пространственной координаты z [8, 9]:

и линейная скорость жидкости; р — давление в точке с коорди­ натами х, у, 2 >

Для вывода критериев делим все члены на один из них, опу­ скаем символы дифференцирования и заменяем текущие перемен­ ные их значениями на границе.

Пусть геометрические размеры аппарата lx, ly, lz. Тогда, разделив все члены уравнения на vz (д vjdz) и применив описан-

136

н’ый прием к первому и второму слагаемым левой части уравне­ ния, получим критерии геометрического подобия:

т. e. критерий Рейнольдса, записываемый обычно в виде: Re —

=vlp/\i ( у берется в направлении I).

Разделив у2 dvz(dz на g, найдем:

Vz ~dz~

т. e. критерий Эйлера Eu = p/py2.

Таким образом, гидродинамическое подобие возможно при условии геометрического подобия и постоянства критериев Рей­ нольдса, Фруда, Эйлера.

Основные критерии теплового подобия. При переносе тепла сохраняет силу и уравнение Навье — Стокса, т. е. тепловое подо­ бие требует геометрического и гидродинамического подобия. Уравнения переноса тепла потоком в направлении оси при ста­ ционарном режиме имеют вид [8, 91:

где Т — температура в точке с координатами х, у, z; X — коэффи­ циент теплопроводности; се— коэффициент теплоотдачи; (2\—Г2) — разность температур в двух точках системы (остальные обозначе­ ния те же, что и выше).

Франк-Каменецкий 1101 предложил обозначить величину К1(срр) через а и назвать ее температуропроводностью. Тогда,

137

разделив третий член левой части уравнения (IV.9) на a (d2Tldz2), найдем:

т. e. тепловой критерий Пекле PeT= vlfa (поток в направлении Z).

Разделив правую часть уравнения (IV. 10) на левую, найдем:

а Т а Т az а l z

т. е. тепловой критерий Нуссельта Nur = osZ/A,.

Отношение тепловых, критериев Нуссельта и Пекле называют

(IV.9) и (IV. 10), возможно при условии геометрического и гидро­ динамического подобия и, кроме того, постоянства тепловых критериев Нуссельта и Пекле или Прандтля и Стэнтона.

Основные критерии подобия процессов массообмеиа. Процессы массообмена в потоке вещества описываются уравнениями гидро­ динамики, теплопередачи и массообмена. Критерии подобия для процесса массообмена можно вывести из уравнений, описывающих

138

т. е. диффузионный критерий Пекле PeD — vl/D (поток в направ­ лении I).

Разделив правую часть уравнения (IV. 12) на левую, найдем:

т. е. диффузионный критерий Нуссельта NuD = $ l!D .

Диффузионный критерий Пекле можно представить в виде произведения двух критериев — Рейнольдса и Прандтля:

Отношение диффузионных критериев Нуссельта и Пекле назы­ вают диффузионным критерием Стэнтона:

NUD

Рел — Stjp

Подобие процессов массообмена возможно при условии их гео­ метрического, гидродинамического и теплового подобия и, кроме того, постоянства диффузионных критериев Пекле и Нуссельта или Прандтля и Стэнтона.

В различных реальных ситуациях вид дифференциальных уравнений может быть изменен, в них могут быть введены новые члены — для учета перемешивания, встречных потоков, особых условий тепло- и массообмена и т. д. Поэтому приведенные выше критерии подобия представляют лишь незначительную часть используемых в литературе безразмерных комплексов. В рабо­ тах [11, 12] авторы собрали и обобщили данные о 285 безразмер­ ных комплексах, используемых при исследовании процессов химической технологии. Однако наиболее часто используемые критерии подобия приведены выше. Ряд иллюстраций примене­ ния критериев подобия приведен в литературе [13].

ЛИТЕРАТУРА

1.Минаев А . Н . Теории размерностей и подобия и их применение в технике. М., МОПИ, 1968. 189 с.

2.Алабужев П . М. и др. Теория подобия и размерностей. Моделирование. М., «Высшая школа», 1968. 206 с.

3.Седов Л . И . Методы подобия и размерности в механике. Изд. 7-е. М.,

«Наука», 1972. 440 с.

4.Долежалик В . Подобие и моделирование в химической технологии. Пер. с чешек, под ред. Н. И. Гельпернна. М., Гостоптехпвдат, 1960. 96 с.

139