книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии

с табличным значением G (р, v, т), установим, что при G3 >> G различие дисперсий существенно, и из теоретических соотноше­ ний можно выбрать лучшее; в противном случае отдать предпоч­ тение какому-либо соотношению нельзя.

Статистические критерии позволяют определить, соответствует ли установленным нормам изготовленная продукция, и поэтому широко используются при оценке показателей выпускаемых ма­ сел, смазок и т. п. Это требует проведения серии параллельных. опытов и оценки дисперсии измеряемой величины s2, причем, как отмечено выше, чем больше число параллельных измерений, тем меньше доверительный интервал, определяемый по крите­ рию Стыодента. Например, с вероятностью 95% этот интервал

Рис. 1-2. Проверка гипотезы методом последовательного эк­ сперимента.

при четырех измерениях составляет 4,3 s, а при десяти — 2,3 s. Очевидно, если измеряемый показатель близок к стандартному (что, как правило, имеет место при выпуске продукции), может потребоваться большое число параллельных измерений. Метод последовательного эксперимента позволяет сократить это числа и быстро определить, соответствует ли выпускаемая продукция требованиям стандарта. Метод основан на выявлении узкой пограничной области вблизи от заданной стандартом и изучении вероятности попадания результатов в область выше стандартных или ниже стандартных значений.

Пусть, например, требуемая стандартом температура засты­ вания масла tc^ —40 °С, а первое измерение для партии масла показало, что tx = —39;8 °С, Можно ли браковать продукцию, или, наоборот, выпускать ее, если при втором измерении полу­

21

(рис. 1-2). Окончательно принимают гипотезу, соответствующую области, в которую «выходит» эксперимент. Последовательный анализ. позволяет сократить число измерений почти вдвое по сравнению с обычным статистическим подходом [3, 41.

4. ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ПРОЦЕССОВ И ОПРЕДЕЛЕНИИ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

Если результаты экспериментальных исследований представ­ лены в виде таблицы, связывающей значения входных переменных JA15 ..., [Ар с выходной переменной у, но характер влияния каждой из выходных переменных пе может быть установлен на основе теории, для исследования и последующей оптимизации приме­ няют регрессионный анализ. Он основан на аппроксимации зависи­ мости у = / ( р х, . . . , jAp) полиномом (уравнением регрессии) вида

Используя экспериментальные данные, в которых измерены оценки хг, ..., хр величин [А1? ..., jxp, можно найти оценки Ъ коэф­ фициентов |3 по уравнению.

удобен для расчета по результатам эксперимента неизвестных физико-химических параметров, если теоретические зависимости, содержащие такие параметры, удается представить в виде поли­ номов. Экспериментальные данные, используемые при этом, пред­

в отношении экспериментальных величин: 1) каждое из измере­ ний уи является нормально распределенной случайной величиной; 2) дисперсия не зависит от уи\ 3) независимые переменные

х г , ..., хр измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравне­

нию с ошибкой определения у. Наиболее существенно третье допущение. Так, анализ примерно ста уравнений регрессии пока-

22

В соответствии с уравнениями (1.14) получим для определения й0» “ ч Ър систему нормальных линейных уравнений, в которой число уравнений (р + 1) совпадает с числом неизвестных:

и перепишем систему нормальных уравнений в виде:

Решение этой системы можно представить следующим образом:

аА/ — определитель, получаемый из А заменой /-го столбца

>ЬР /

24

Применив правило произведения матриц, легко убедиться, что произведение Х * Х дает матрицу коэффициентов системы нормаль­ ных уравнений:

/(00) (01) . . . (0р)л

Следовательно, система нормальных уравнений (1.15) в матрич­ ной форме имеет вид:

Найдем матрицу (ЛТ*АГ)-1. Напомним, что она называется обратной матрицей по отношению к матрице (Х *Х ) и обладает тем свойством, что (Х*Х)(Х*Х)~г = 1.

Умножим слева (1.17) на (Х*ЙГ)-1:

(Х*Х)~1 (Х*Х) В = {X*X)-i Х*У

Откуда

Из уравнения (1.18) вытекает правило расчета коэффициентов:

р

ь/ = 2 си (/у) i=0

где Cji — элементы обратной матрицы (ЙГ*АГ)-1. Если экспери­ менты планировать так, чтобы скалярные произведения столб­ цов X были равны нулю, т. е.

(« ;')= 2 х‘W u —о

,2

Чтобы найти дисперсии сг^., характеризующие ошибки в опре­

делении коэффициентов 6/, обозначим через (3 столбец теоретп-

25

Поскольку выбор метода планирования зависит от экспери­ ментатора, рассмотрим составление такого плана постановки эксперимента, который позволит получить минимальную диспер­ сию at..

5. ПОЛНЫЕ ФАКТОРНЫЕ ПЛАНЫ И ДРОБНЫЕ РЕПЛИКИ. КОМПОЗИЦИОННЫЕ ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА*

Полный факторный план обязательно включает условие (ij) =

П

— 2ixiuxiu = что невозможно при использовании размерных

и-1

переменных х{. Если, однако, перейти к безразмерным пере­ менным

_ Щ—х*

х‘ = Ащ

определенным через переменную на исходном (основном) уровне х\ и интервал ее минимального ощутимого изменения (интервал варьирования) Axf, то равенство (if) = 0 будет выполняться для полных факторных планов (ПФП) и- их дробных реплик (Д Р), обладающих следующими свойствами:

и-1

пп

(и)= 2 с*/и)2=п

«-1

Условия (1.19) определяют следующие свойства ПФП и Д Р : ортогональность (ij) = 0, симметричность относительно основного

уровня (0i) = 0,„ нормируемость (И) = п, ротатабельность. По-

—Г—-------------

* Более подробно см. [5].

26

следнее свойство характеризует одинаковую точность исследова­ ний при одинаковом удалении от центра в любом направлении» При выполнении условий (1.19) упрощается расчет определителей Д и А,-, а также коэффициентов Ь (см. с. 24) и их дисперсий. Действительно, А становится определителем, у которого все члены, кроме диагональных, равны нулю, а диагональные члены (их число равно числу, строк, т. е. р -f- 1) равны п. Поэтому

А= пР*1. Легко убедиться также, что определитель At- = r(iy)np. Таким образом, для ПФП и ДР имеем:

о«, S2 Н=1

ГГ'•'Wо" __ ___ Z=T-------------------------

-- Sbi П \’П

в котором переменные xt безразмерны.

При построении ПФП или ДР для каждой из переменных (факторов) устанавливают основной уровень х*, интервал варьи­

двух уровнях. Матрица планирования для двух переменных приведена в табл. 1-1 (выделена пунктиром). Если имеется три переменных (х1? х 2, х3), причем каждую варьируют на двух уровнях, то матрица планирования получается из предыдущей матрицы путем ее повторения сначала с xs на нижнем уровне (— 1), а затем на верхнем ( + 1 ) , как показано в табл. 1-1.

Матрицу планирования для четырех переменных можно полу­ чить, повторив два раза матрицу планирования для трех перемен­

ных — сначала с хл = — 1, затем с х4 = + 1 .

Очевидно, что число экспериментов при варьировании р переменных на двух уровнях есть 2р.

Для планирования типа 23 определяют коэффициенты уравне­ ния:

у— b3-\-b]Xx-\-b3X3-\-Ь3Х3+ bl2Ila;2+ &13Х1Х3+ &23Х2Х8

Для определения этих семи коэффициентов требуется провести семь экспериментов; восьмой эксперимент используется для про­ верки адекватности полученного уравнения опытным данным.

27

В случае факторного планирования на двух уровнях для четы­ рех переменных (планирование 24) ставится 16 экспериментов. При этом можно найти коэффициенты уравнения регрессии, в ко­ торое входят линейные члены bh парные произведения Ъц (i Ф j), тройные произведения bul (i ф j ф I).

При значительном числе переменных варьирование их даже на двух уровнях громоздко; так, при четырех переменных не­ обходимо поставить 16 опытов, при пяти — 32 опыта и т. д. Однако если интервал варьирования выбран не слишком большим и можно ограничиться линейным приближением, то число опытов

и т. д. Поэтому для определения коэффициентов линейного урав­ нения при числе переменных больше двух применяют не ПФП, а его части — дробные реплики.

Для составления полуреплики в случае трех переменных используют факторный эксперимент (план) для двух переменных,

При р = 4 для определения пяти неизвестных коэффициентов Ъ линейного уравнения ставится восемь опытов, хотя достаточно шести. Поэтому при большем числе переменных целесообразно использовать реплики большей степени дробности, например для пяти переменных — четверть-реплику. В нее войдет 1Д *25 = = 25-2 = 8 экспериментов, в которых нужно найти шесть не­ известных. Эту реплику получим из полного факторного экспери-

28

мента 2 3, задав, например, ж4 = а л5 = х гх3. Условия для выбора таких переменных называют генерирующими соотноше­ ниями. Иногда их записывают так, .чтобы получить в левой части

Факторный эксперимент и дробные реплики позволяют изу­ чить экспериментально область вблизи произвольно выбранной исходной точки. Одновременно по полученным результатам можно определить способ изменения входных переменных ж1? ..., хр с целью оптимизации процесса по выходной переменной у, для которой получено адекватное уравнение регрессии.

Факторный эксперимент или дробная реплика ставятся таким образом, чтобы получить линейное уравнение регрессии. Следова­ тельно, необходимо поставить р -j-l опытов для определения коэффициентов регрессии и небольшое число дополнительных опытов для проверки адекватности уравнения опытным данным. С учетом этих соображений и выбирается степень дробности. Если оказалось, что полученное уравнение неадекватно, следует уменьшить интервалы варьирования. Если же в адекватном урав­ нении коэффициенты регрессии по некоторым переменным близки к нулю, то для этих переменных интервал варьирования следует увеличить. В результате будет получено адекватное уравнение линейной регрессии, в котором значимы все входные переменные,

няться существенно (например, если у — выход необратимой ре­ акции, то это область, где у не достигает 90% );

2) «почти стационарную область», где изменение у мало (на­ пример, область, где выход необратимой реакции меняется от 90 до 100% ).

В удаленной от оптимума области движение к нему осуще­ ствляется шаговым методом в направлении градиента у.

Изменение величины xt, приводящее к наиболее резкому уве­

где а — коэффициент пропорциональности для всех переменных, выбираемый так, чтобы получить удобные для эксперимента изменения параметров.

Обычно значения Аж,', найденные расчетным путем, округляют. Меняя каждую переменную на величину Аж,', ставят первый

29

до тех пор, пока у меняется монотонно. При прохождении у через экстремум используют экстремальную, точку для построения нового факторного эксперимента. По результатам его получают новое уравнение регрессии. Дальнейшее движение к оптимуму ведут из найденного экстремального режима на основе новых интервалов варьирования и коэффициентов регрессии (см. с. 45).

При приближении к оптимуму, когда значение у находится вблизи максимальной, минимальной или минимаксной точек, т. е. в «почти стационарной области», требуется иной подход. Для этой области коэффициенты bt близки к нулю, и на величину у сильно влияют квадратичные члены {Ъих}).

«Почти стационарную область», где у меняется слабо, не удается описать линейным полиномом; однако, как показывает накоплен­ ный опыт, достаточно адекватным оказывается полный полином второй степени [5]. Экстремум внутри этой области определяют, проводя математическое исследование полученного полинома второй степени. Таким образом, для определения оптимума в «почти стационарной области» необходимо провести эксперимент для получения уравнения регрессии второго порядка; исследовать полученное уравнение для определения оптимума; осуществить экспериментальную проверку рассчитанного оптимального ре­ жима (см. с. 46, 47).

Провести экспериментальное исследование «почти стационар­ ной области» с целью описания ее полиномом второй степени можно на основе планирования на двух уровнях с проведением дополнительных опытов. Такое планирование называют компо­ зиционным. Если в число дополнительных опытов входят опыты с переменными, взятыми на основных уровнях (как бы в «центре» исследования),‘то такое планирование называют %центральным композиционным. Наиболее, часто используют два типа централь­ ного композиционного планирования — ортогональное и ротатабельное.

При ортогональном планировании к факторному эксперименту или дробной реплике добавляют 2р + 1 опытов (р — число пере­

нормированных переменных х{. поочередно принимает значения

± а 0, а для остальных переменных задан основной уровень (х,- = 0, / Ф i). Значения а 0 при различном числе переменных р приведены

втабл. 1-2 [5—71.

Втабл. 1-3 приведена матрица ортогонального планирования для трех переменных. По аналогии с этой таблицей можно соста­ вить схему ортогонального планирования для четырех и пяти переменных.

30