книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии

31

Более надежным способом получения полинома второй степени является ротатабельное планирование, основанное на постоянстве дисперсий в опытах, равно удаленных от центрального 12, 5]. При ротатабельном планировании увеличивается число опытов

Матрица ротатабельного планирования для трех переменных приведена в табл. 1-5.

Ниже даны соотношения для расчета коэффициентов регрессии полинома второй степени для р = 3:

/-1

Ь(1 —0,125000 (ijy)

32

Композиционные планы часто используют лишь для получения математического описания процесса. К ним прибегают, когда неплакируемый эксперимент не удается обработать обычными ме­ тодами регрессионного анализа из-за ошибок в измерениях и одно­ временного влияния на результат процесса большого числа факторов (см. с. 47).

Методы регрессионного анализа получили широкое распро­ странение для оценки доверительных интервалов определения физико-химических параметров, входящих в «теоретические» урав­ нения, по экспериментальным данным. Например, в проточно-цир­ куляционных реакторах непосредственно., измеряется скорость реакции, что позволяет, прибегнув к линеаризации кинетического уравнения, определить затем кинетические коэффициенты линей­ ного уравнения методами регрессионного анализа.

Проиллюстрируем сказанное примерами. Пусть кинетическое

где w — скорость реакции; Сг, С2, — концентрации реагиру­ ющих веществ; к — константа скорости; mt, m2, ... — порядки реакции по первому, второму и т. д. реагентам. Величины w, Сг, С2, измеряются в экспериментах, а к, тх, пг2,, должны быть определены путем подбора.

Логарифмируя, находим:

У —Ьо-Ь^1а'1~1- ^2а:2-Ь* • •

Аналогичная линеаризация может быть осуществлена и для значительно более сложных кинетических уравнений. Например, применение принципа стационарности для реакции А В при некотором механизме приводит к кинетическому уравнению:

к2КА (СА-Св/К )

И+кАсА+квсв \-KRcR)m

где к2, К , К а , К в , K R, т — кинетические и термодинамические параметры: соответственно константа скорости обратной реакции, константа равновесия, адсорбционные коэффициенты компонентов А , В и разбавителя, порядок реакции. Определению подлежат к2,

К а , К в , K r , т .

Удобен следующий путь линеаризации. Умножим обе части равенства на знаменатель:

ш (1 + K A C A + K B C B + K R C R ) m = k i K A (C A - C B J K )

Объединим известные из эксперимента величины, в нашем случае это w и (Са—Св{КУ-

Решим полученное уравнение относительно многочлена, в кото­ рый входит сумма произведений измеренных величии и подбира­ емых коэффициентов:

получим:

У = Ьо H"^lxl “Ь ^2^2"Ь М з

6. СИМПЛЕКСНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

При симплексном методе планирования используют некоторые свойства симплексов. Симплекс для р переменных — это много­ гранник в р-мерном пространстве (гиперпространстве), имеющий р + 1 вершину, образованную пересечением р гиперплоскостей. Примером симплекса в пространстве двух переменных является треугольник, в трехмерном — тетраэдр.

Симплексный метод поиска экстремума является одним из уни­ версальных методов. Иа его применении основаны различные модификации симплексного планирования [6 ]. Общим для всех модификаций является следующее. Сначала находят значение у

вточках (наборах х х, ..., хр), определшощих вершины симплекса. Определив вершину с наихудшим значением у, заменяют ее сим­ метричной относительно противоположной грани. В новом симплексе, образованном всеми точками старого, за исключением наихудшей вершины, и новой вершиной, вновь выбирают наи­ худшую точку. Такое постепенное перемещение позволяет пере­ двинуться в область вблизи оптимума.

Поскольку при большом числе переменных для каждой наи­ худшей точки можно построить несколько симметричных точек,

вкачестве центра симметрии выбирают центр тяжести оставшихся

34

точки Г , симметричной точке 1 исходного симплекса, находим

жет быть любое сочетание р + 1 переменных. В частности, в ка­

Удобство этой матрицы заключается в том, что из нее можно получить новую матрицу меньшей размерности (р), содержащую

рпервых столбцов к р + 1 строк основной матрицы. В табл. 1-6 пунктиром выделена симплекс-матрица для пяти переменных.

Если число переменных факторов р можно представить в виде

р== 2m—-1 (например, 7 = 2 3 — 1), то н качестве симплексной

36

(p-f-l)-ro фактора, который ранее не учитывался и был постоян­ ным. Введение этого фактора требует постановки только одного дополнительного опыта, в то время как при факторном планиро­ вании потребовалось бы удвоить число опытов. При этом допол­

градиентный на основе факторного планирования и симплексный. Был осуществлен поиск максимального выхода для химического

Если опыты полного факторного эксперимента не дублиро­ вать, то для нахождения наилучшей точки потребовалось бы семь опытов. По симплексному методу наилучшую точку находят после шести опытов. Примерно одинаковое число опытов приш­ лось бы поставить при поиске оптимума этими двумя методами и в случае трех переменных, если не дублировать опыты фактор­ ного эксперимента.

Существенно, однако, что если есть взаимодействие между факторами (в качестве входных выбраны влияющие друг на друга переменные), то при факторном планировании возможна ошибка в выборе направления градиента. Поскольку при симплексном

7. НАСЫЩЕННЫЕ И ^-ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ

Насыщенными называют планы, содержащие минимально возможное число точек для определения коэффициентов уравне­ ния регрессии. Для 'линейных уравнений точки насыщенного

37

плана образуют симплекс. В частности, правильный /^-мерный симплекс с центром в начале координат и со стороной, равной единице, образуется следующей матрицей:

План, построенный из указанных выше сочетаний х, является насыщенным. Однако его существенный недостаток состоит в том, что он приводит к большим, чем ПФП и ДР (т. е. ортогональные планы) дисперсиям определяемых коэффициентов Ъ. Так, если

с этим выполнен ряд исследований по созданию планов, обеспечи­ вающих минимальное рассеяние оценок коэффициентов. Такие планы называют D-оптимальными. Принцип D-оптимальности насыщенных планов вносит определенную закономерность в чих построение, но его реализация возможна лишь для некоторых конкретных случаев. Приведем примеры насыщенных D -оптималь-

38

Для обработки результатов реализации планов со Гстоль небольшим числом опытов можно использовать общие соотноше­ ния (см. с. 24 —26).

D-оптимальный план второго порядка, обеспечивающий мини­ мальное -рассеяние ошибок коэффициентов уравнения регрессии второго порядка, для р факторов требует выполнения следующего числа опытов:

re = 2Р+Р2р~г+ Р(? у 1} 2 Р~2

Эти опыты располагаются (при геометрической аналогии) в вершинах гиперкуба, в центрах граней, в серединах ребер; разумеется, при этом все xt являются безразмерными. Такой план даже для трех факторов содержит 26 опытов, и его реализация неудобна для экспериментатора. Поэтому предпринят ряд попы­ ток сократить число опытов D -оптимального плана. В рабо­ тах Коно [9 ,1 0 ] предложено построение планов, близких к D -опти1 мальным, в которых вместо [р (р—1 ) / 2 ] 2 р-2 опы тов в серединах граней ставится один опыт в центре куба. Понятно, что при р = 2 план Коно и ортогональный план совпадают; геометрическое изображение плана Коно для двух факторов можно представить

координат в точке (0,0). Набор из 9 точек образует квадрат, центр которого расположен в точке (0 ,0 ), а сторона равна двум.

Хартли [10] предложил наиболее компактные планы и в то же время близкие по свойствам к D -оптимальным планам. В планах Хартли опыты ставятся в вершинах гиперкуба (ПФП или Д Р) и в его центре, а также исследуются «звездные» точки с плечом

* Использовала полуреплика.

39

свойства составленной из них смеси, планирование эксперимента можно основывать на получении регрессионного уравнения для расчета характеристик смеси. Такое уравнение может быть ли­ нейным или уравнением второго порядка. Если, например, нужно рассчитать содержание серы в смеси мазутов, когда известно со­ держание ее в каждом из мазутов, то, очевидно, в силу аддитив­ ности расчетное уравнение будет линейным. Однако расчет тем­ пературы застывания смеси масел, октанового числа смеси бен­ зинов, т. е. характеристик, для которых трудно ожидать аддитив­ ности, требует применения уравнений второго порядка.

При изучении свойств смеси характерно то, что переменными факторами являются доли компонентов в смеси и, следовательно,

выполняется условие 2 хг — 1 * Уже отмечалось, что для получения линейного уравнения

регрессии эффективно применение насыщенных планов, построен­ ных на основе D-оптимальных симплексов. В этом случае изучают

поступают следующим образом. Умножив на х1 и Ь0 равенство

С учетом этих равенств получим приведенный полином второй степени, имеющий более простой вид:

2 р^ + 2 рuxix) i+i

где рг и рц — линейные комбинации коэффициентов исходного полинома.

Можно составить насыщенный план, в котором расположение точек удобно для определения коэффициентов приведенного полинома. При этом изучают точки как в вершинах симплексов, так и в серединах ребер; такое планирование называют симплексрешетчатым [11]. Цель его — равномерное исследование всей

40