книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии

Пусть начальный интервал неопределенности условно состав­ ляет 1 ( = 100% ), при этом в тех же условных единицах различие между а?! и х г составляет е. Тогда при минимаксном проведении

Рио. VI-2. Поиск экстремума Ме­ тодом дихотомии.

двух расчетов получим новый интервал неопределенности LX = = 1/2 + (1—1/2) е- Следующая пара расчетов даст новый ин­ тервал:

Рассуждая аналогично, получим, что после к (четных) расчетовно методу дихотомии

Метод Фибоначчи. Можно улучшить метод дихотомии, исполь­ зуя информацию о лучших «старых» результатахОдин из воз­ можных методов, использующих е-минимаксиую схему, назван именем Фибоначчи-

По методу Фибоначчи задается число расчетов к, которое можно выполнить при поиске экстремума. Пусть выполнен {к—1) расчет и получен интервал неопределенности L*k. r Пусть внутри этого интервала находится иаилучшее значение у, найден­

Пусть выполнены ft—2 расчета, после которых интервал не­ определенности составляет ,Ц_2Внутри этого интервала нахо­ дится оптимальное (после ft—2 расчетов) значение х*(_2 (рис- V1-4). После следующего расчета в точке xk_t будет выбран новый интервал L^-i и, очевидно, в нем будет находиться наилучшая из величин после ft— 1 опыта, т- е- у (a£_i) или у* (xfe_a). Тогда,

181

если разместить a£_i и а*_2 па одинаковом расстоянии от разных

Рассмотрим величину L1 для различных / по мере их убыва­ ния от /с. Из уравнений (VI.5) и (VI.6) следует, что

(VI-7)

Если принять длину начального интервала неопределенности (L"0 = L[) за единицу и выражать е в долях от этого интервала, то из (VI.8) видно, что

182

Подставив соотношение (VI-10) в уравнение (VL8), получим:

неопределенности (в долях от начального) на любом этапе поиска. При конкретном использовании метода Фибоначчи нужно за­ даться числом расчетов /с. Далее определяют положение х г

Тогда х г можно выбрать как #min + Ц Ь 0, а х %— как хтах —

— L \ L V Отобрав лучший сегмент, ставят, третий расчет симмет­

Метод Фибоначчи значительпо эффективнее метода дихотомииЕго недостатком является необходимость предварительного вы­ бора числа расчетов. Этого недостатка лишен следующий метод.

Метод золотого сечения. Рассуждая, как и при обосновании метода Фибоначчи, приходим к соотношению (VI-6), связыва­ ющему интервалы неопределенностей после 7—1 и 7 + 1 расчетовНе будем переходить от этого соотношения к (VI. 10), чтобы не использовать величину Lk, поскольку для этого требуется предварительный выбор числа расчетов. Зададимся условием

постоянства отношения интервалов неопределенности:

По этому методу для первых двух расчетов выбирают расстоя­ ние от концов начального интервала неопределенностей, равное Lj/1,618- В выбранном наилучшем сегменте (хтгк—х 1или х 2—zmin) находится один из первоначальных расчетов, а следующий нужно поставить симметрично ему. Такой метод получил название метода золотого сечения-

Учитывая соотношение (VI-15), легко убедиться, что при методе золотого сечения

183

В табл* VI-1 сравнивается эффективность различных методов поиска*

* Расчет проводится npii условии, что е—малая величина.

Из таблицы видное что при числе расчетов больше пяти ме­ тоды Фибоначчи и золотого сечения значительно эффективнее метода дихотомии, и им следует отдать предпочтение* В то же время различие в эффективности последних двух методов не­ велико*

Поисковые методы для функции многих переменных

Задача поиска экстремума функции многих переменныхj заданной уравнением у = f (xv ••*, xk), значительно сложнее, чем для функции одной переменной* Эта сложность связана с тем, что функции многих переменных имеют ряд локальных миниму­ мов (или максимумов); кроме того, движение к минимуму (макси­ муму) связано с движением к пологому «оврагу» («гребню»), а за­ тем — перемещением по этому «оврагу» («гребню»)*

Метод сканирования длителен, но осуществим для функции одной переменной* Если же его применять для функции многих переменных, то число расчетов оказывается столь большим, а их осмысливание настолько затруднительным, что практическоо использование этого метода становится, как правило, бессмыслен­

184

методов позволяет найти локальный экстремум, т- е. тот, который наиболее близок к точке, выбранной для начала поиска» Вторая группа методов связана с определением нескольких локальных экстремумов и выбором из них наибольшегоПоэтому нелокаль­ ные методы включают элементы локальныхПри такой классифи­ кации сканирование будет методом нелокального поиска, так как после пассивного проведения ph расчетов сравниваются все возможные экстремумы-

Метод Зайделя — ГауссаДля сокращения времени поиска его можно сделать отчасти активным и осуществлять последова­ тельный поиск по каждой переменной, фиксируя остальныеТакой

2

Рис. VI-5. Применение метода Зайделя —Гаусса для поиска экстремума функции двух переменных. Точки характеризуют размещение расчетов,

сплошные кривые — линии равного уровня у, лушггнрные линии — движение при поиске:

а — «удачный» выбор масштаба; б — «неудачный» выбор масштаба; I — начальная точка для поиска; 2 — точка с наилучшей величиной у.

метод часто называют покоординатным поиском, или методом! Зайделя — Гаусса- В этом методе проводят изменение одной пере­ менной до тех пор, пока у не пройдет через наилучшее значе­ ниеДалее х 1 фиксируют на найденном наилучшем уровне и на­ чинают изменять х г при неизменных остальных переменных. Такой «просмотр» проводят к раз, последовательно меняя каждуюиз к переменныхЭффективность этого метода сильно зависит от выбора шага по каждой переменнойВозможные ситуации для. функции двух переменных иллюстрирует рис- VI-5-

Из рисунка видно, что однократный «перебор» всех перемен­ ных лишь в редком случае приведет к отысканию экстремума; вообще же необходим многократный «перебор», но и он может' оказаться неэффективным, если функция имеет «гребень» («овраг»)- Покоординатный поиск приведет к локальному экстремуму; если же его выполнить из нескольких исходных точек, то воз­

можно определение нелокального экстремумаРассмотрим поисковые методы, наиболее часто используемые

при решении задач химической технологии.

185.

Симплексный метод. В этом методе используются некоторые свойства симплексов 1смстр- 34)-

Схема движения к экстремуму для функции двух переменных при симплексном поиске показана на рис- 1-3-

Выбор вида исходного симплекса вызывает некоторые затруд­ нения, но обычно пользуются правильным симплексом — фигу­ рой с равными сторонамиЭто требует перехода от размерных переменных к безразмерным (стр26J•

При симплексном методе приходится выполнять большое число расчетовкроме того, не всегда удается определить положение истинного экстремума, можно лишь попасть в околоэкстремальную область или на гребень функции.

Градиентные методы

Сравнение методов Зайделя — Гаусса, симплексного и других показывает, что для поиска экстремума функции многих перемен­ ных эффективен лишь активный поиск по наиболее короткому

точки с тем, чтобы определить направление движения к экстре­ мальной области;

движение по выбранному пути к околоэкстремальной об­ ласти;

исследование околоэкстремальной области и движение в ней с целью приближения к экстремальной точке, а также проверки унимодальности функции.

Рассмотрим выполнение этих этапов для функции многих переменных.

Исследование функции у — f {хъ . . хк) вблизи исходной точки. Цель исследования — определить изменения х х, ..., хк, которые ведут к перемещению у в область экстремума. Наиболее простой

и для «крутых» функций аппроксимирует на определенном участке «истинную» нелинейную функцию у = / (жх, хк).

Осуществить движение к экстремуму удобнее не по гипер­ поверхности / (хх, ..., хк) , а по близкой к ней касательной гипер­ плоскости, описываемой вблизи исходной точки уравнением (VI-17)- Действительно, изменение любого Xj в сторону экстре­ мального значения определяется знаком и величиной коэффи­ циента bj• Так, если Ь,- положителен и велик, то значительное увеличение Xj приведет к значительному увеличению у, т- е- к перемещению в экстремальную область-

186

Обратим также внимание на то, что величина bt равна частной производной у по Xj вблизи исходной точки, т- е*

Для определения гиперплоскости при к переменных нужно определить к 1 коэффициент &/ в уравнении (VI-17). С этой целью можно провести к + 1 расчет вблизи исходной точки (zli0, ж2,о’ хи, о)- Можно, например, рассчитать следующие величины:

и по найденным значениям составить систему из к + 1 уравнения с таким же числом неизвестных:

Решение этой системы позволяет найти &0, bv Ь2, ..., Ьк Такое решение относительно коэффициентов bf легко выполняется если находить разность /-го и первого (/ = 0) уравнений:

A^/=W— Vo= bj Ах(

или

Ауу

tej}

Определение Ь0 при известных Ь;- (] Ф 0) из первого уравне­ ния системы (V L19) не вызывает затруднений.

Таким образом, простейшая аппроксимация функции у =

— f ( x v •••, xk) линейной функцией позволяет определить значения коэффициентов Ь,- — «частных» градиентов и осуществить пере­ мещение к экстремуму.

Однако такая аппроксимация справедлива в общем случае лишь при небольших AXj- Неверная же аппроксимация приведет к ошибочному представлению об эффекте от изменения аргумента. Поэтому иногда необходимо исследовать поведение функции в более широких интервалах изменения аргументов, что требует использования нелинейной зависимости, например, для функции y = f ( x v хк), вида:

Втакую зависимость входят линейные члены ( bjXj) , члены,

вкоторых каждый из Xj входит во второй степени (ЬцХр, члены

187

21 коэффициент- В общем случае число коэффициентов полного полинома второй степени равно числу сочетаний из к-j- 2 по 2, т. е

(fc + 2)(fc+2 -l) . . ■(/с + 1)

2

Понятно, что нелинейная аппроксимация значительно более трудоемка и к ней следует прибегать в тех случаях, когда линей­ ная аппроксимация неэффективна. Однако такая аппроксимация позволяет заменить постепенный поиск оптимума в аппроксими­ руемой области прямым определением его координат. Действи­ тельно, приравняв нулю частные производные квадратичного уравнения по каждому из х , найдем координаты экстремума. Так, если функция у = f (хх, х 2) аппроксимируется уравнением

то для определения координат точки экстремума в аппроксими­ руемой области (ж1, xl) имеем:

&1 + 2Ьь l*J + bl, 2*2 = 0 Ь2-(-2Ь2, 2^2+ &Ъ 2*1 = 0

Эта точка может характеризовать максимум, минимум или минимакс (максимум по х х и минимум по ж2, или наоборот). Проверка у = / (хх, х2) вблизи точки х\ , х\ позволит установить справедливость нелинейной аппроксимации и характер этой точки.

Укажем, что если у = f [хх, ..., xk) — дифференцируемая функция, то нелинейная аппроксимация ее уравнением второго

порядка не обязательно требует численных расчетов у в С^2 точках для определения коэффициентов Ь. Эти коэффициенты могут быть найдены разложением функции в ряд Тейлора. На­

пример, для функции у = / (х х, х 2) в окрестности исходной точки (*1,0’ *2,о)> Удаленной от нее на &хх и Дж2, получим:

2 д/(*1. 0, * 2, о)

'дхх дх2

188

Движение к экстремуму по результатам предварительного исследования. Наиболее эффективным движением из исходной точки, удаленной от экстремума, в экстремальную область яв­ ляется движение в направлении наибольшего изменения г/, т. е. в направлении градиента у. Движение по градиенту — это дви­ жение в направлении, перпендикулярном к касательной линии равного уровня у, или в более общем случае — в направлении, церендпкулярном к касательной плоскости. Если, например, у — высота горы, то движение по градиенту у — это движение по поверхности горы к вершине по перпендикуляру к линии равной высоты.

При движении по градиенту у из исходной точки, характе­ ризуемой набором (х1 0 , ..., xkt0), изменения каждого из х г—хк не могут быть произвольными. Если касательная плоскость [или аппроксимация зависимости у = / (хг, ..., хк) линейным уравнением] в окрестностях исходной точки имеет вид (VI. 13), то ясно, что к наибольшему изменению у (в направлении гра­ диента) будет приводить изменение каждого из X/ па величину Ах/ гр, пропорциональную bf.

где %— произвольный параметр, одинаковый для всех х-г Последнее условие определяет движение по градиенту из

точки (х1-0, ..., xki0) и является параметрическим уравнением линии градиента. Легко заметить, что

Дугр= !/гр — Уо — у (*/, o + Az/rp)— y(xj,o)\ / = 1, . . ., к (VI.21)

Подставив в соотношение (VI.21) уравнение (VI.17), найдем:

Из уравнения (VI.22) видно, что изменение у положительно

Таким образом, при движении по градиенту должны быть Определены численно или аналитически по соотношению (VI. 18) коэффициенты Ь/ и затем выбран параметр %. Далее каждый из Xj изменяется от начального значения х/0 па величину Ая,гр и проверяются значения у при последовательных наборах x v ..., хк:

при котором у оказывается оптимальным- В найденной оптималь­ ной точке, например, точке р , мояшо определить новое направле­ ние градиента и продолжить движение в этом направлении.

189

Методы нелинейной аппроксимации функции

Традиционный метод градиента основан йа линейной аппрок­ симации поведения функции вблизи исходной точки. Существует большое число модификаций градиентного метода, в которых применяется нелинейная аппроксимация поведения функции вблизи исходной точки. В методах нелинейной аппроксимации поиск состоит из двух чередующихся этапов: 1 — нелинейная аппроксимация вблизи исходной точки, аналитическое определе­ ние улучшенного решения по нелинейному параболическому урав­ нению; 2 — перемещение для поиска в найденную улучшенную точку [4]. Такой метод использован, в частности, при определе­ нии 10 коэффициентов математического описания платформинга [51.

Поиск минимума функции F начинают из задаваемой началь­ ной точки А- В этой точке определяется и запоминается значение целевой функции F (4) = VO- Из точки А делают пробные шаги Dt по каждой из переменных. В полученных точках вычисляют значения функции F , из них выбирают наименьшие S J и сравни­ вают с VO- Если SI < VO, то в направлении наибольшего убы­ вания функции делается двойной шаг. Получают новое значение функции S2- По полученным трем точкам (VO, S I , S2) строится экстраполирующая парабола, по которой определяют точку мини­ мума функции.

Экстраполяцию выполняют путем квадратичной либо куби­ ческой параболы. После построения параболы и отыскания ее минимума выбирают новую точку, соответствующую минималь­ ному значению функции (из S I , S2 и значения функции, получен­ ного при экстраполяции). Минимальное значение на очередной итерации обозначается VO, и процесс вычислений продолжаетсяПоиск минимума прекращается, когда значение VO меньше S1 и уменьшение шага Di не позволяет уменьшить значения функ­ ции F .

Блок-схема программы оптимизации, составленной по такому алгоритму, приведена на рис. VI-6.

Поиск экстремума функции, имеющей «гребни» или «овраги»

Градиентный метод эффективен для областей, где возможно значительное изменение у (вдали от экстремума), по неудобен в области слабого изменения у или вблизи от экстремума. Наибо­ лее часто препятствия при использовании градиентного поиска для решения задач химической технологии возникают, когда речь идет о функциях, имеющих «гребни» (при поиске максимума) или «овраги» (при поиске минимума).

Рассмотрим поиск максимума функции, изображенной на рис. VI-7. Говорят, что эта функция имеет «гребень» в сочета­ нии А В • Пусть е — небольшая величина. Характеристикой того,

190