книги / Основы механики горных пород
..pdf
Опыт эксплуатации указанного комплекса в течение 1981— 1983 гг. показал практическую возможность применения высо кочувствительной аппаратуры в условиях действующего руд ника, информативность примененных методов для контроля ди намики состояния массива во времени и прогнозирования раз вития деформаций подработанных толщ на основе получаемых данных.
В настоящее время разрабатываются системы беспровод ного непрерывного контроля за состоянием горных выработок и целиков, в которых информация от датчиков передается по радиоканалу через массив горных пород. Образец эксперимен тальной системы «Массив», основанный на этом принципе, ис пытывается на одном из рудников комбината «Ачполиметалл». Основу системы составляют аппаратура беспроводного кон троля деформаций, управляющая ЭВМ М-600, и устройства согласования [7].
В целом следует отметить, что разработка и внедрение ав томатизированных систем непрерывного контроля состояния горных пород в выработках являются принципиально новым этапом развития механики горных пород и уже в ближайшем будущем обеспечат получение качественно новой информации о процессах и явлениях в массивах горных пород.
Глава 6. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
§ 31. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ.
ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ГОРНЫХ ПОРОД
Моделирование как метод исследования широко исполь зуют в различных областях современного естествознания и техники, аэромеханике, гидравлике, теплотехнике, самолето- и ракетостроении, различных областях машиностроения, гидро техническом строительстве и т. д. Моделирование бывает двух родов: с увеличением и с уменьшением масштаба системы.
В механике горных пород, изучающей, как правило, объекты весьма больших размеров, применяют моделирование второго рода, т. е. с уменьшением абсолютных размеров объектов. По принципам, на которых оно основано, следует различать моде лирование двух видов: физическое и аналоговое. Физическое мо делирование предусматривает воссоздание в модели тех же самых физических полей, что действуют и в объекте натуры, лишь измененных по своим абсолютным значениям в соответ ствии с масштабом моделирования. Аналоговое моделирование предусматривает замену в модели по сравнению с натурой од них физических полей другими, например замену натурного
поля механических напряжений электрическим полем в модели. При этом на аналоговых моделях изучают закономерности яв лений и процессов, протекающих в натурных объектах, исполь зуя математическую аналогию различных по физической при роде процессов, т. е. математическую тождественность основных законов, совпадение дифференциальных уравнений, описываю щих эти процессы.
Моделирование получило в механике горных пород широкое развитие вследствие ряда объективных обстоятельств. Выше мы неоднократно подчеркивали и иллюстрировали фактическим ма териалом, что массив горных пород является весьма сложной средой. В различных частях породного массива при ведении горных работ одновременно происходят процессы деформирова ния различного характера: процессы упругого деформирования, необратимые пластические деформации и, наконец, процессы смещений и разрушений пород с разрывом сплошности. По этому теоретические расчеты деформирования горных пород, прочности и устойчивости горных выработок и различных соо ружений в породных массивах во многих случаях представляют чрезвычайные трудности. Исследования же в натурных усло виях отличаются большой трудоемкостью, дороги и, как пра вило, требуют длительного времени. К этому следует добавить, что в натурных условиях обычно весьма ограниченны возмож ности варьирования параметрами системы, технологией и после довательностью ведения горных работ, тогда как при моделиро вании можно проследить влияние основных параметров в самых широких пределах. Таким образом, моделирование открывает такие возможности изучения процессов механики горных пород, которые не дают ни аналитические методы, ни наблюдения и измерения в натурных условиях.
В то же время на моделях невозможно воспроизвести все детали моделируемых объектов. Воспроизведению подлежат лишь самые главные, наиболее существенные в изучаемом про цессе характеристики моделируемой среды. Применительно к та кому объекту, как горные породы, например, невозможно воспроизвести микротрещиноватость и мелкоблоковую трещи новатость, даже при очень крупных масштабах модели рования.
Таким образом, моделирование позволяет вести изучение процессов механики горных пород с определенной степенью схе матизации натурных объектов, что существенно облегчает ин терпретацию результатов шахтных наблюдений и измерений и позволяет с большей степенью обобщения проследить и уточ нить механизм процессов в толще пород, окружающих горные выработки, с наибольшей возможной полнотой изучить влияние на процессы механики горных пород главнейших действующих факторов.
При решении задач механики горных пород методами моде лирования обычно испытывают серию моделей, причем исполь зуя наиболее эффективный для решения поставленной задачи метод, испытывают модели разных масштабов. Например, сна чала на моделях мелкого масштаба изучают общие закономер ности процессов механики горных пород в пределах всего уча стка массива, подверженного влиянию выработки, а затем на моделях крупного масштаба с большей детальностью изучают закономерности процессов в некоторой области массива, в част ности, процессов взаимодействия пород кровли с крепью очист ной выработки. При этом обычно в модели крупного масштаба воспроизводят лишь некоторую часть массива, а действие веса остальной части массива до поверхности компенсируют с по мощью пригрузки, осуществляемой нагрузочными приспособле ниями рычажного, пружинного или гидравлического типа.
§ 32. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
В основе моделирования физических явлений лежит уче ние о подобии. Основы этого учения заложены еще И. Ньюто ном, сформулировавшим общее понятие динамического подобия механических систем. А именно, некоторые две системы А и А х подобны в том случае, если параметры этих систем удовлетво ряют общему дифференциальному уравнению связи, выражаю щему критерий термодинамического подобия:
т dS |
( dU \ |
д / |
1 |
\ |
dt |
V дУ ) т dt \ |
р |
) |
|
|
dF |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
= -------^ |
/ . = |
const, |
(60) |
|
dFi |
|
|
|
dti |
|
|
где p — плотность системы; |
V=l / p — удельный |
объем |
системы; |
T — абсолютная температура |
системы; U — внутренняя энергия |
||
системы; F — свободная энергия; S — энтропия; t — время. |
|||
Если представить плотности в относительных единицах, то |
|||
выражение (60) принимает вид |
|
|
|
Т dS_ |
|
|
|
dt |
— idem. |
(61) |
|
dt
Во многих случаях при изменении систем их плотность р со храняется неизменной во времени или же при постоянной тем пературе Т, а внутренняя энергия U не зависит от объема. Для таких случаев выражение (60) значительно упрощается и по лучает следующий вид:
TdSldt— idem. |
(62) |
Критерий термодинамического подобия, представленный вы |
|
ражениями (60), (61) в наиболее общей форме, |
базируется на |
законе сохранения энергии и законе движения энергии с общим возрастанием энтропии. Все другие известные критерии подо бия (например, критерий динамического подобия, критерий по добия Коши, Рейнольдса, Эйлера, Вебера) могут быть полу чены как частные случаи общего термодинамического критерия.
Основные свойства подобных явлений и признаки подобия рассматриваемых явлений между собой характеризуются тремя теоремами подобия. Первая теорема подобия, установленная Ж. Бертраном в 1848 г., основана на общем понятии динамиче ского подобия Ньютона и втором законе механики Ньютона. Лкад. М. В. Кирпичев дает следующую формулировку первой теоремы подобия: «Подобными называют явления, происходя щие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках отношения одноименных величин есть по стоянные числа».
Вторая теорема подобия, сформулированная в начале XX в. независимо друг от друга А. Федерманом и Дж. Букингемом, устанавливает возможность такого преобразования физического уравнения связи, описывающего данное явление, при котором получают уравнение, составленное из критериев (или инвариан тов) подобия. Иначе говоря, согласно второй теореме резуль таты опытов по изучению какого-либо физического явления, представленные в виде критериальных уравнений связи, воз можно перенести на другие явления, подобные исследованному в опыте.
Третья теорема подобия, называемая теоремой о существо вании подобия, сформулирована и доказана акад. М. В. Кирпичевым в 1930 г. Согласно этой теореме для существования по добия между явлениями необходимо и достаточно, чтобы эти явления имели подобные условия однозначности и одинаковые определяющие критерии подобия.
Условия однозначности — это условия, которыми из всей со вокупности однотипных явлений выделяется одно конкретное явление. Подобие условий однозначности устанавливают после дующим признакам:
а) подобию геометрических свойств систем; б) пропорциональности физических констант, имеющих су
щественное значение в изучаемом процессе;
в) подобию начального состояния систем; г) подобию условий на границах систем в течение всего рас
сматриваемого периода процесса; д) равенству определяющих критериев, при этом определяю
щими критериями подобия являются те, которые составлены из величин, входящих в условия однозначности, т. е. имеющих су щественное значение в изучаемом процессе.
Применение методов моделирования при решении задач ме ханики горных пород позволяет изучать на моделях действие механических силовых полей в деформируемых массивах гор ных пород вокруг выработок, т. е. породные массивы и их мо дели являются механически подобными системами. Для уста новления необходимых критериев и констант подобия таких си стем должен быть использован закон динамического подобия Ньютона наряду с применением метода размерностей.
При характеристике того или иного механического процесса механическое подобие может быть определено заданием пере
ходных множителей или масштабов для |
длин (геометрическое |
|||
подобие), |
для времени |
(кинематическое |
подобие) и для масс |
|
(динамическое подобие). |
|
|
|
|
Для двух подобных |
систем |
условие |
г е о м е т р и ч е с к о г о |
|
п о д о б и я |
состоит в том, что |
все размеры пространства, заня |
||
того системой в модели,, и размеры отдельных элементов модели
изменены в определенное число пц раз по |
сравнению с со |
ответствующими размерами натурной системы: |
|
1Лп = т,. |
(63) |
Условие к и н е м а т и ч е с к о г о п о д о б и я |
этих систем со |
стоит в том, что любые сходственные точки (частицы) систем, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути в промежутки времени, отличаю щиеся постоянным множителем
tjt„ = mt. |
(64) |
Условие д и н а м и ч е с к о г о п о д о б и я |
систем состоит |
в том, что массы любых сходственных частиц этих систем отли чаются друг от друга постоянным множителем
mM/m„ = т,п. |
(65) |
В приведенных выражениях подстрочными значками «м» и «н» обозначены элементы соответственно модельной и натурной систем.
Выразим в формуле (65) массу как произведение объема частицы на ее плотность. Тогда
|
т . |
з |
|
(66) |
|
тт = |
Рм/:'м |
^ - m l |
|||
|
|||||
|
|
Р..
Но пи уже задано условием геометрического подобия. По этому условие динамического подобия достаточно задать отно шением плотностей
рм/рн = тр. |
(67) |
Применяя теорию размерностей и имея значения трех основ ных переходных множителей т/, пи и тр, можно выразить от ношение любых элементов подобных систем.
Выразим отношение сил, действующих на сходственные ча стицы систем, через
т |
fit |
т и°и |
(68) |
|
Ш{= |
/и |
т па п |
||
|
||||
Отношение ускорений |
|
|
|
|
|
1и |
. /„ |
(69) |
|
|
|
|
откуда
та= mjm't. |
(70) |
Подставляя в выражения (68) массы частиц в виде плот ности, умноженной на объем, получаем
Рм^м^м |
Рн/3/ |
H l f = |
(71) |
tм2
откуда с учетом соотношения (70) имеем
Му = трт)тТ~ |
(72) |
Зависимость (72) представляет собой математическое выра жение закона динамического подобия Ньютона.
Выразив отношение скоростей сходственных точек в систе мах через
м„ |
»м |
l u |
. Il I |
m l |
(73) |
|
v n |
tu |
t\I |
m t |
|||
|
|
представим формулу (72) в виде
nif — tnpnifml. |
(74) |
Заменим переходные множители соответствующими отноше ниями. Тогда
fм_____ Рм^м^м
(75)
^11 Р|Л|°Н
или
_ J ü _ = — Ь.— = idem. |
(76) |
P ju vu |
PH ^I C’H |
Выражение критерия динамического подобия (76) называют числом Ньютона. Оно означает, что элементы движения соот ветственных точек связаны определенным безразмерным соот ношением, имеющим одинаковое значение в подобных систе мах, — критерием или инвариантом динамического подобия.
Вообще критериями или инвариантами подобия называют безразмерные числа, тождественность значений которых харак теризует системы, подобные между собой.
Учитывая гравитационные силы и напряжения в массиве пород, преобразуем формулу закона динамического подобия Ньютона. Заменяя отношение квадратов скоростей г/м2 и пн2 через отношения ускорений и длин
|
|
4 |
_ аглК\ |
|
|
(77) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
аи^п |
|
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
/м |
/и |
inv. |
|
(78) |
|
Рм°м 4 |
Рна Л |
|
|
|
|
В условиях действия гравитационных сил |
|
|
||||
|
|
рмЯм ~ |
Рм§ = |
Ум» |
|
(79) |
|
|
РиЯн = |
Ри§= |
Ун, |
|
|
|
|
|
|
|||
где ум и ун — объемный вес соответственно материала |
в модели |
|||||
и породы в натуре. |
|
соответствии с их |
размерностью |
|||
Запишем |
напряжения в |
|||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ом ~ f j IM'I |
|
|
|
|
|
|
Он = fii/^н, |
|
|
|
|
и введем эти выражения в формулу |
(78) : |
|
|
|||
|
|
Ом |
Он |
= inv. |
|
(81) |
Анализ выражения |
Ум/М |
Ун/н |
|
|
|
|
(81) |
показывает, что при заданном гео |
|||||
метрическом |
масштабе |
моделирования т / = /м//ц |
для |
обеспече |
||
ния механического подобия модели и натуры необходимо отка
заться |
в |
модели либо от равенства ом = Оц, либо от |
равенства |
У м = у н , |
либо от равенства обоих показателей. |
натуре, т. е. |
|
Если |
сохранить в модели равенство напряжений |
||
условие стм=(Тн, то необходимо обеспечить, чтобы объемный вес материала модели удовлетворял условию
Ум — - у — Ун- |
(82) |
Иначе говоря, применив в модели материал, имеющий оди наковые механические свойства с горными породами натуры, для выполнения условий механического подобия требуется обес печить увеличение объемного веса материала в число раз, об ратное геометрическому масштабу моделирования. Например, при геометрическом масштабе модели m i= lM/lH= 1 100 объем ный вес материала модели должен быть равен
Ум ~ ~ |
Уи = — Yn= ЮОун. |
(83) |
Iм |
т |
|
Условие (83) можно выполнить, применив в модели нату ральные горные породы и придав им фиктивный объемный вес (100 в приведенном случае при mi= 1 100) с помощью инер ционных сил, которые могут быть созданы, например, путем вра щения модели в центрифуге при соответствующем значении цен тробежной силы. Этот метод предложен в 1932 г. проф. Г И. Покровским и H. Н. Давиденковым [105] и носит название м е т о д а ц е н т р о б е ж н о г о м о д е л и р о в а н и я .
Если же в модели применить некоторые искусственные мате риалы, механические характеристики которых ниже соответ ствующих характеристик моделируемых натурных горных пород,
т. е. отказаться от |
равенства ам= сгн, то для обеспечения усло |
|
вий механического подобия модели и натуры необходимо |
||
|
= |
(84) |
|
In |
Ун |
Искусственные |
материалы, |
соответствующие механические |
характеристики которых в принятом геометрическом масштабе моделирования удовлетворяют по отношению к моделируемым горным породам условию (84), называют материалами-эквива лентами данным горным породам или эквивалентными материа
лами. Метод же |
моделирования, основанный |
на |
применении |
|
эквивалентных материалов и |
предложенный |
в 1936 г. проф. |
||
Г Н. Кузнецовым |
[86], носит |
название м е т о д а |
э к в и в а |
|
л е н т н ы х м а т е р и а л о в .
При моделировании системы в соответствующем геометриче ском масштабе продолжительность тех или иных процессов обычно изменяется. В связи с этим существенно важное значе ние имеет вопрос о масштабе времени при моделировании, ко торый в общем случае определяется, исходя из приведенного выше условия кинематического подобия двух систем (64).
Анализ показывает, что для различных процессов, воспроиз водимых в модели, масштабы времени различны. Так, при мо делировании динамических процессов масштаб времени т*=1; процессы же фильтрации подземных вод протекают в модели быстрее, чем в натуре, в число раз, равное квадрату геометриче ского масштаба моделирования, т. е. в этом случае mt = mi2.
Процессы пластических деформаций, смещений и деформа ций пород с разрывом сплошности, а также деформаций эле ментов крепи протекают в модели быстрее, чем в натуре в пре
делах от д /т г Д° ini раз, т- е- Для |
этих процессов масштаб |
вре |
мени лежит в интервале |
|
|
nii < mt < |
д/m /. |
(85) |
В тех случаях, когда на моделях воспроизводят сразу не сколько процессов, масштабы времени для отдельных из них могут оказаться неодинаковыми. В таких случаях масштаб вре мени устанавливают исходя из соблюдения подобия в протека нии лишь тех процессов, которые в решаемой задаче являются основными и не учитывают малозначащие элементы.
Поскольку теория деформирования материалов во времени разработана пока недостаточно, строгие рекомендации о мас штабе времени при моделировании отсутствуют. Однако важ ным критерием для выбора масштаба времени и контроля пра вильности принятого масштаба в модели является соответствие
впринятом масштабе однохарактерных процессов на модели и
внатуре. Сравнивая развитие однохарактерных процессов в мо дели и в натуре, например процесса опускания кровли или осе дания земной поверхности, удается проконтролировать правиль ность выбора масштаба времени основных изучаемых процес сов и внести необходимые коррективы.
§ 33. МЕТОД ЦЕНТРОБЕЖНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Метод центробежного моделирования состоит в том, что модель из горных пород моделируемого объекта, выполненную в заданном геометрическом масштабе, помещают в каретку цен трифуги (рис. 44) и путем равномерного вращения нагружают объемными инерционными силами, придавая тем самым поро дам модели некоторый фиктивный объемный вес в соответствии с формулой (82). Фиксируя деформации и напряжения пород модели в различных точках, изучают таким путем закономер ности процессов механики горных пород для моделируемых ус ловий, а также устанавливают оптимальные параметры горно технических объектов и сооружений по фактору устойчивости.
При центробежном моделировании принято задавать мас штаб модели числом п, показывающим, во сколько раз во вра щающейся модели увеличен объемный вес пород. В соответ ствии с формулой (82)
п = 1//П/, |
(86) |
т. е. масштаб п представляет собой величину, обратную геомет рическому масштабу модели пц.