книги / Основы механики горных пород

Уравнения (106) являются необходимым и достаточным ус­ ловием интегрируемости уравнений (102) для нахождения пере­ мещений и, V и w.

Таким образом, в соответствии с моделью сплошной среды для определения напряженно-деформированного состояния ка­ кого-либо тела имеется основная система из девяти независи­

представления о равновесном состоянии отдельных точек рас­ сматриваемой среды, а также выполнение условия ее сплошно­ сти в течение всего процесса деформирования. В силу этого данные уравнения являются общими для любых моделей сплошной среды.

Однако в зависимости от конкретного вида применяемой мо­ дели сплошной среды, например упругой, пластической, вяз­ кой и т. д., для отражения особенностей деформирования вво­ дится специальная группа уравнений, описывающая эти фи­ зические законы связи напряжений и деформаций. В частности, упругая модель основывается на прямой пропорциональности между напряжениями и деформациями — законе Гука. При этом связь компонентов напряжений с компонентами деформа­ ций — обобщенный закон упругости — имеет вид

Дополнением указанной группы уравнений к общей системе уравнений сплошной среды удается избавиться от статической неопределенности и число независимых уравнений становится равным числу неизвестных, которые таким образом могут быть найдены в ходе решения поставленных задач.

С точки зрения практических вопросов механики горных по­ род большой интерес представляют частные случаи напря­ женно-деформированного состояния среды — плоское напряжен­ ное состояние и плоская деформация.

П л о с к о е н а п р я ж е н н о е с о с т о я н и е возникает, когда все напряжения параллельны какой-либо одной плоскости (см,

Таким образом, хотя ег= 0, тензор напряжений для условия плоской деформации содержит компоненту сг2 и определяется выражением

При плоской деформации находятся средние точки тела, размеры которого в одном каком-либо направлении очень ве­ лики, при условии, что не изменяющиеся по значению нагрузки действуют перпендикулярно к этой длинной оси. Например, в гравитационном поле сил в условиях плоской деформации фактически находятся породы вокруг сечения горизонтальной горной выработки.

При использовании упруго-пластической модели в соответ­ ствии с теорией малых упруго-пластических деформаций к об­ щим девяти уравнениям следует добавить шесть физических уравнений

2о,-

Зависимость между а* и б,- выражается следующим уравне­ нием связи:

(модуль деформации) при пластическом деформировании не яв­ ляется постоянным, а изменяется от точки к точке и уменьша­ ется тем сильнее, чем больше сама деформация.

Необходимо отметить, что прямое решение уравнений для условий упруго-пластического деформирования почти невоз­ можно вследствие большого числа уравнений в частных произ­ водных и их нелинейности. В настоящее время получены реше­ ния лишь для некоторых частных случаев.

При проведенном рассмотрении условий упругого и упруго­ пластического деформирования мы пока не учитывали время воздействия внешних нагрузок. Между тем опыт показывает, что практически все реальные материалы обладают способно­ стью даже под действием постоянных нагрузок деформироваться во времени. Для описания подобного деформирования обычно привлекают различные модели, основанные на гипотезах ползу­ чести. Наиболее широко используется, как упоминалось выше, гипотеза линейно-наследственного деформирования.

Для одноосного деформирования эта зависимость имеет вид

( 120)

где L (t, т) — функция ползучести, определяемая эксперимен­

тально.

Акад. Ю. Н. Работновым показана возможность обобщения уравнения (120) на условия пространственного деформирова­ ния [115]. При этом физические уравнения ползучести приводят

где Е = Е (1—Е*), G= G (1—G*), v = v (l+ v * ) — временные опе­ раторы, состоящие из упругой постоянной (Е, G, v) и интеграль­

дующей заменой в решении упругих констант соответствующими временными операторами.

Таким образом, для учета ползучести, так же как и для учета пластических деформаций, требуется знать различные па­ раметры деформирования, для чего необходимы трудоемкие и длительные эксперименты.

§ 38. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНЫХ СРЕД

Наряду с моделями сплошных сред для описания де­ формирования массивов горных пород используют модели дис­ кретных сред. В этом случае среду представляют в виде сово­ купности отдельных частиц; каждая из которых, взятая в от­ дельности, обладает всеми свойствами твердого тела. Вместе с тем силы сцепления между отдельными частицами отсутст­ вуют вообще либо настолько малы, что ими можно пренебречь. Вследствие этого дискретные среды не воспринимают растяги­ вающих усилий, что резко отличает их от твердых сплошных тел.

Вто же время дискретные среды, так же как и твердые тела, способны воспринимать сжимающие нагрузки и по ха­ рактеру передачи усилий от одной частицы к другой могут быть подразделены на распорные и безраспорные [57].

Впервом случае (рис. 50, /) каждая частица ведет себя внутри массива как клин, в силу чего при воздействии внешней вертикальной нагрузки внутри массива возникают горизонталь­

ные составляющие усилия.

Во втором случае распора в среде не возникает, поскольку каждая частица передает нижележащим частицам только вер­ тикальные усилия (рис. 50, //) .

Вообще говоря, поскольку дискретные среды состоят из от­ дельных частиц-зерен, к ним лишь условно можно .применять понятие «напряжения». При этом под «напряжениями» в меха­ нике дискретных сред понимают усилия на отдельные частицы, отнесенные к площади сечения этих частиц. Таким образом, напряжение в какой-либо точке дискретной среды есть вели­ чина случайная, и для того чтобы характеризовать напряжен­ ное состояние какого-либо бесконечно малого объема, необхо­ димо усреднять значения напряжений в отдельных зернах. Подобное усреднение может быть представлено и как опериро­ вание с некоторым объемом эквивалентной сплошной среды, напряженное состояние которого в среднем соответствует на­ пряженному состоянию равновеликого объема дискретной среды.

Применение к дискретной среде понятия «деформация» также имеет некоторую условность. Под влиянием приложенных усилий отдельные частицы могут деформироваться сами, пере­ мещаться поступательно с поворотом, в результате чего проис-

горизонтальные перемещения в направлении осей Oz, Ох и Оу; yXz, Ууг и уху — сдвиги в направлении соответствующих коорди­ натных осей.

Соотношения (125) по их сути аналогичны уравнениям не­ разрывности для-сплошной среды.

Итак, для описания напряженно-деформированного состоя­ ния дискретных сред в настоящее время создан общий матема­ тический аппарат, а также имеются решения для некоторых частных случаев. Однако существенную трудность представляет экспериментальное определение коэффициентов, характеризую­ щих структурные особенности дискретных сред.

Дискретные модели, как и модели сплошных сред, весьма идеализированно отражают свойства реальных массивов горных пород, поэтому их применение носит характер определенного приближения к действительности. Вместе с тем модель безраспориой дискретной среды может быть, по-видимому, успешно применена для описания массивов скальных трещиноватых по­ род в случае их простейших структур, а модель распорной дис­ кретной среды — для описания грунтов.

§ 39. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ ГОРНЫХ ПОРОД

Параметры напряженно-деформированного состояния горных пород, т. е. напряжения и деформации, являются исход­ ными для оценки их прочности. При этом в зависимости от свойств пород условия их разрушения могут быть охарактеризо­ ваны различными комбинациями параметров напряженно-де­ формированного состояния.

По современным воззрениям разрушение кристаллической решетки твердых тел может происходить путем разъединения (отрыва) или скольжения (сдвига) атомов. Если в первом слу­ чае решетка сразу же распадается на части, то во втором ее разрушению предшествуют значительные искажения. Разруше­ ние поликристаллических тел протекает более сложно, оно яв­ ляется следствием многих разрушений как внутри отдельных кристаллов, так и по поверхностям их контактов.

По-видимому, в общих чертах таков же механизм разруше­ ния и горных пород, если учитывать присущие им неоднород­ ности структуры и состава. При рассмотрении этого процесса также выделяют две формы разрушения: а) отрыв, обусловлен­ ный деформациями удлинения, т. е. преимущественным дей­ ствием нормальных растягивающих напряжений; б) срез или скалывание вследствие преобладающего развития деформаций сдвига, вызванных касательными напряжениями.