книги / Пространственные задачи теории пластичности

МЕ’р)= [(т) +Ш1

— функция Грина второго рода для кольцевой области. Для кру­

ине ограничивая общности а = 0 .

6.Сходимость решения. Рассмотрим вопрос сходимости ряда (9.51) для случая кольцевой области и степенного закона упроч­

нения. Поскольку Qo — бесконечно раз дифференцируемая функ­ ция, то я|)1, а следовательно, и а|)п будут такими же функциями. Тогда вторые производные удовлетворяют условию Гёльдера. В рассматриваемой области введем норму [110]

16 м. Л. Задоян

Из вычислений и геометрических соображений находим

Далее определяются неравенства для .норм функции о)„ и ее первых производных. Используем априорные оценки Шаудера, которые аз нашем случае могут быть записаны в виде неравенств

Рассмотрим вспомогательный ряд с общим членом Xnn~pR'\ где р и Л — некоторые положительные параметры, причем р > 1, a Л < 1. Легко получить оценку

2 к ~ Р (N - к)~Р < f = r ^ _р.

Тогда методом индукции можно показать, что для последова­ тельности (9.60) справедливо неравенство

||<?п||<п-рЯГ\ где R* — корень уравиеппя

а0 + О-уС + а2х2=

причем коэффициенты а( положительны и явно выражаются че­ рез параметры (3, у, б, с, р. Следовательно, из предыдущего за­ ключаем, что ряд (9.51) сходится абсолютно и равномерно с радиусом сходимости X = Л*.

Отметим, что доказательство единственности решения уравне­ ния (9.50) с краевым условием (9.49) очевидно. Таким образом, сумма ряда (9.51) и сумма рядов, полученных при помощи диф­ ференцирования этого ряда по г и 0, дают компоненты напря­ жений. Статические условия определяют параметры р. D.

7. Тонкостенная труба. Принимая = 0, из (9.47) и (9.43) получаем приближенное решепие задачи

При 7н->0 из (9.61) приходим к соответствующему решению задач совместного изгиба, кручения и растяжения тонкостенной цилиндрической трубы из идеально пластического материала.

§ 64. Изгиб, кручение и растяжение стержня

вкриволинейных координатах

Вкриволинейных цилиндрических координатах исследуется напряженное состояние стержня из упрочняющегося пластиче­ ского материала, находящегося иод действием осевого усилия, изгибающих и крутящих мо­

наты а и Р связаны с декартовы­ ми координатами х и у соотно­ шениями Коши — Римана (8.44). Ось z направлена вдоль стержня (рис. 9.5).

Будем исходить из дифферен­ циальных уравнений равновесия (8.45), соотношения между ком­ понентами деформаций и пере­ мещений (8.46), соотношения между компонентами напряжений и деформаций (8.48).

Компоненты напряжений отнесены к параметру к, имеющему размерность (напряжения. Полагаем, что функция / ( ео) содер­ жит физический параметр Л, значение которого К^ О соотвст-

1. Представление поля перемещений. Исходя из характера деформированного состояния стержня, полуобратным способом принимаем, что тензор деформаций не зависит от продольной ко-

Используя (9.62), по формулам (8.46) приходим к выражениям для трех компонент деформаций

и к двум системам дифференциальных уравнений. Первая — от­ носительно ег:

где Л, В1 С — произвольные постоянные. Принимая

где 2?,-, D — постоянные интегрирования, системе уравнений (9.65) удовлетворяем тождественно.

Исключая из (9.63) функцию и>о и используя (9.66), прихо­ дим к уравнению

Боковая поверхность стержня свободна от нагрузки. Поло­ жим, что напряжения оа и Ср и тар равны нулю по всему объему стержня. Тогда получается

a Е — произвольная постоянная.

2. Задача в напряжениях. Очевидно, отличные от нуля на­ пряжения T a z , T p z И

a2 = у / (е0) е2, е0 = "j/ * {Ах + By + С)2 + е^г + ер2, (9.68)

не зависят от z, следовательно, первые два уравнения равнове­

Это уравнение удовлетворяется введением функции напряжений

К

допускающее явпое решение относительно ао при п = 3/2 и п = 2. Далее, выражая компоненты сдвига через напряжения н исполь­ зуя соотношение (9.71), из (9.67) приходим к дифференциаль­ ному уравнению

д / Ах + By + С 1 дФ \ д / Ах -|- By -\- С 1 дФ \ 4xD JT* n

(9.72)

В случае односвязной области поперечного сечения Ф = 0 на контуре, а при многосвязпой области Ф принимает постоянные значения на контурах, подлежащие определению. Задача, таким образом, свелась к системе уравнений (9.72), (9.71) в области поперечного сечения при постоянных значениях Ф на контуре.

Для случая многосвязпой области поперечного сечения, ин­ тегрируя обе части уравнения (9.72) в области, ограниченной произвольным замкнутым контуром Г*, и переходя в левой ча­ сти к контурному интегралу, получаем формулу

Здесь dQ = II2da dp. Покажем, что это условие выполняется для криволинейного кольцевого сечения. Для такой области гранич­ ные условия примут вид

(9.79) получаем неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, решения которых сводятся к квадра­ турам. Подставляя выражения найденных коэффициентов в ис­ ходное разложение, после преобразования получим окончательное решение краевых задач (9.79) в форме

тора Лапласа в рассматриваемой криволинейной кольцевой об­

hh(g, a) = ch к (a — g + ocr — a2) + ch к (a + g — ccx — a2).

Отсюда, переходя к полярным координатам, получим функ­ цию Грина для кругового кольца. Так, принимая ос = 1пр, р = 0, из (9.81) получаем выражения (9.56) для кругового кольца с безразмерными радиусами б и 1.