В частном случае при п\ = П2 = п и v\ = V2 = VQ эти формулы упрощаются. Для компонент напряжений будем иметь

/

где h — радиус цилиндрической трубы. Формулы (6.29) являют­ ся решением Р. Хилла [171] о выдавливании пластического мате­ риала из сжимающейся цилиндрической втулки.

§41, Сжатие клина между плитами

Рассмотрим идеально жесткопластическую несжимаемую мас­ су в форме пространственного клина, сдавливаемого двумя па­ рами жестких плит. Первая пара плит, образующих двугранный угол и шероховатых по радиальному направлению, вращающихся в противоположных направлениях с одинаковыми угловыми ско­ ростями вокруг ребра, выдавливает клин в радиальном направле­ нии. Вторая пара параллельных гладких плит, сближающихся с

одинаковой скоростью в продольном направлении, сдавливает клин в осевом направлении. Введем цилиндрическую систему ко­ ординат так, чтобы плоскости 0 = 0 и z = 0 совмещались с плос­ костями симметрии клиновидного тела, ось z проходила бы через боковое ребро двугранного угла, а положения наклонных и па­ раллельных плит определялись бы уравнениями 0 = ± а и z = ±I соответственно (рис. 6.6).

Ввиду симметрии течения достаточно рассмотреть область

0 ^ г < а, 0 ^ 0 ^ а, 0 < z ^ L

Принимаем следующие граничные условия:

Здесь //г и coo — степень шероховатости и угловая скорость на­ клонных плит, Wo — скорость сближения параллельных плит.

Исходя из характера течения клина, естественно псследовать поставленную задачу, используя класс решений, полученных в

§19.

Всоответствии с граничными условиями (6.30) в указанных

Система (4.27) сводится к одному дифференциальному уравне­ нию второго порядка

где введено обозначение т = —т ге. Решением этого уравнения при поставленных граничных условиях определяется единственная отличная от нуля касательная компонента напряжений.

Формулы для нормальных напряжений запишутся в следую­ щем виде:

Исключая из первого уравнения (4.25) ег, будем иметь

u = - ± B r - ^ ± ( x ' + М),

Удовлетворяя граничным условиям (6.30), для и и w будем иметь

Вторая зависимость (6.35) с граничными условиями (6.30) отно­ сительно Тге пз уравнения (6.32) в принципе определяет функ­ цию т.

Условие сохранения массы

а

JU dQ = ^со0 + а -у-jГ,

О

означающее равенство количеств материалов, протекающих по радиальному направлению, и суммы выталкиваемых плитами ма­ териалов, как легко убедиться, выполняется тождественно.

Далее, определяя N из равновесия части клина 0 < £ < z

приходим к уравнению первого порядка

< М 8 >

Из (6.37), используя граничные условия (6.30), будем иметь

хт

В конечном счете задача свелась к численному решению диф­ ференциального уравнения (6.38) при условиях, определяемых вторым соотношением (6.39) и условием (6.40).

При больших значениях параметра М пли для малых значе­ нии а уравнение (6.38) перепишется в виде

Легко заметить, что if = —М является частным решением уравнения (6.41). Тогда находим

Отметим также общее решение уравнения (6.41)

т = V i - С2 (ф + М)~ е~Я*,

содержащее произвольную постоянную С.

Рассмотрим случай, когда шероховатые плиты вращаются, а гладкие — неподвижны, т. е. случай плоской деформации [56].

Принимая в (6.31) В = 0, находим % = 0, т. е. получаем

Для простоты принимая т = 1 и вводя функцию g(0):

уравнение (6.42) преобразуем к виду

, __ а + cos 2g

*cos 2g

с краевыми условиями

Здесь обозначено М = —2а. Решение уравнения (6.42) будет

0 = f - / ^ r i a r c t g (

Из второго граничного условия (6.44) для а получаются со­ отношения

Зависимость между а и а графически показана на рис. 6.7. Нетрудно заметить, что полученное решение имеет смысл при 2 а ^ л/2 .

§ 42. Течение через векториальный канал

Исследуем течение идеально жесткопластического несжимае­ мого материала через канал с двумя шероховатыми неподвижны­ ми наклонными жесткими плоскими стенками и шероховатой с уменьшающимся радиусом цилиндрической поверхностью, осью которой является боковое ребро двугранного угла (рпс. 6.8).

Используем цилиндрическую систему координат так, чтобы

что длина канала 21 значительно больше а.

Цилиндрическую поверхность и стенки считаем шероховатыми

тер деформирования, полагаем v = 0 по всему объему тела. Тогда

Компоненты напряжений определяются по формулам (4.52), где следует определить функцию /(г, 0) и достоянные Е и Н.

Для нахождения функции WQ из (4.54) приходим к системе дифференциальных уравнений

Интегрируя первое уравнение (6.50), подставляя полученное выражение wo во второе и определяя произвольную функцию, окончательно находим

где Q — произвольная постоянная. Для определения этой посто­ янной используем условие сохранения массы. Расход материала через произвольное сечение z = const в сторону положительного направления z должен быть равным расходу материала, вытал­ киваемого цилиндрической поверхностью из части, находящейся

вотрицательной стороне от рассматриваемого сечения

аа

J | wr dr dQ = v0aaz.

о о

ции / на контуре секториальыой области. Если положить /(г, 0) = = 0 по всей области, то дифференциальное уравнение (6.47) удовлетворяется тождественно. Тогда Е = т/а и