книги / Пространственные задачи теории пластичности

от=

о2 +

1

ае =

а2 +

1

2ее),

Q (2ег + ее),

-^ (е, +

(4.65)

т Г2 =

Yrz,

Q =

Y

*т+

бгве +

ео + yfz.

Используя представления

(4.64), из

(4.65) получаем

(Jr =

ог2 +

1

/

-

2 /

.

0ZF \

dr dz/ ’

<*е =

СГ2 —

1

1

+

г-d V \

« о 1^ 2

drdz)'

1

/

а2.

д/?

-

д'-F'

(4.66)

Trz -2Q 0l Г<9г2

dr

Г^

J F dzF

m2( £>V. у2

_

1 dz dr dz

1 \dr

4 V dr2

1 dz2/

г дг/

Подставляя выражения (4.66)

в уравнения равновесия

(4.62),

приходим к дифференциальному уравнению относительно F

1^г2 +

г «г

г2

йг2) [ Q0 V 5г2

аг

Г az2 J J _

- о

Г 1

К

2r d*F )]

\ 2 д \ 1

( 2 dF

d£F

(4.67)

dr dz I

QQ\dz

dr dz) I

dz I

QQ\ r

dr dz

и выражению для az

° 1 = Я +

[ ^ ( | г ~ 2г й

) ]

‘ " | ( 'а Г +

Т * )^ .<ь“

L

и

Jr=o

5

А

В

2А

(4.69)

и = — —т=- г

-------, w =

--7=z + 2L.

У 3

г

У з

г

Вводя обозначения

тг2 = т = 2^- И ’" — 'I5')»

(4-70)

причем

_________________________

Q0 =

y r 4 V

+ Я2 + ^

Н " -

V )2.

(4.71)

Г\\) — яр

=

2т

Vл 2/-4+ в\

(4.72)

V i —

Подставляя

значения функций F и Qo в (4.66)

и

(4.68),

по­

лучаем

1 /з

Агъ — В ,г-.---------о

„

УЪАгг + в

У 1 -

т

Or = o z — 7

V

1■ ;~ т2,

(Те

=2

- о f r

^

т -,

oz = Я — 2Cz — т +

У~ЗАг2 - В

I V

I =

? - - 2

V i

— Т2

dr

B \ 4

^

V

А-А +

в

*

J V

А***

a V

AV + B ?

= М + т

+ J

(>л - l2) f •

u ^ + # Z + О f

V A ar* + ^ d r

I

/ г з ? ^

<?0 =

ог +

[£ (г|)' +

г|т) —

(4.73)

где

Тг* =

к KS2 “

Я W

+

!>*) +

(3 -

2v) bp +

v (v - 2)],

w =

j l 2W

+ i|r)2 +

(3 — 2v) |я|)(г|)' +

i|)2) +

(v2 — 3v +

3) o|r +

+

|

l{b -

1) (я|/ + -ф2) +

(3 -

2v) ^

+

v (v -

2)]}X/\

Скорости перемещений будут

и = —rv~2/^,

w =

rv~2(v — g\|^) /.

(4.74 J

Подставляя выражения

(4.73)

в уравнения равновесия

(4.62) г

приходим к выражению для ог

=

N +

^

-

1 ) W

+

Ф )

+

(3 -

2V)

+

V (V -

2)] -

I

-

f [(b -

1) (г))' +

Of2) +

(3 -

2v)

+

v (V -

2)] %

(4.75)

( I 2 -

1 )

[(Е2 -

1 ) (ч»'

+ Ф 2) +

(3 -

2v)

+ V (V -

2)]}'

+

+

2£ j i

[2g W

+ ф2) + (3 -

2v) Ч»]}' -

— Ш[(I2 — 1) W

+ ф2) + (3 — 2v) 6т[) + V (v — 2)] —

-

Г? W + Ф2) + (3 — v) Ч>] =» 0.

(4.70)

4.

В частном случае,

когда v(v — 2) = 0,

вводим

новую функ­

цию <р(6):

ф' + ф2 = фф.

Отсюда

ф = £ ф (У +

j

exp

J ф dgj dlj

exp ^j фdgj.

Из (4.73) и (4.75) приходим к формулам для напряжений

От= az +

-jj- (26ф + 3 — 2v),

ае =

oz +

(Зф — v),

6

а* = N + I

S - ~ !)Ф + (3 -

2 v )6 l- f Ш2 ~ 1) Ф + (3 - 2V)6|£,

Z(0o

'J

%

S0

(4.77)

Trz= 2^ - [ ( Г - 1)Ф + ( 3 - 2у)|].

Здесь введены обозначения

2coo = [(1 +

12) 2ф2 + 2(3 — 2v) (3 + 62)|ф +

+ (3 - 2v) 2| 2 +

4 (v2 - 3v +

3) ] |/2.

Уравнение

(4.76) сводится к более простому —

(I2 -

1 )

KI2 -

1 ) Ф +

(3 -

2v) 6]}'

+ 26

(26ф +

3 -

2 v)]' ~

-

£ ( 1 ф + 3 -

v) -

i -

[(|2 -

1) Ф + (3 -

2v) 6] =

0.

(4.78)

шО

о

М г = j orz dz,

Nr = j* ordz,

о

0

в виде

:s *

2

N = 1 — 2 ^ .

М = i - 2 %

hz

h

Отсюда следует уравнение текучести

М + (1 -

TV)2 = 1.

изгибающих моментов,

приложенных

на

торцевых

сечениях

(рис. 4.2). Аналогичная задача для призматических стержней

(задача Хилла)

рассмотрена в гл. 3.

для

напряжений

(4.52), поля

1 .

Будем

исходить из формул

скоростей перемещения (4.53) и дифференциального уравнения

v(4.51). Полагая в (4.52)

Е = Н = 0, находим

•—

V * у

df

1 df

л

Ar cos 9 + Br sin 9 -f- С

д/

2D

? d s = —

з

*

dv

у

l

] A - / 2r-r - * /g

я"

где v — внешняя нормаль к контуру

Г*, Q *—

площадь области

Q, ограниченной

контуром Г*. В этом случае

крутящий момент

определяется формулой

П

= 2

"f

2 J

j frdr d0,

k=i

где Д — неизвестные значения /

на внутренних

контурах Попе­

М 12 =

2 J J /г dr d0.

2. Для

случая тонкостенной

цилиндрической

трубы, пренебрегая

тГ1

и принимая без ограничения общности А =

0, из

(4.82) получаем

Br sin 0 -f- С _

„

xDr

/ 1

=“ те2

= ^ ~ — .

У з

где (7 =

const. В нашем случае, т. е. при замкнутом профиле трубы,

q =

о

и в предположении, например, D Ф 0, будем иметь

=

У З (Д 0гз1п9 +

С0)-

хг

/ ( S orsin 0 + Co)2 +

г2

)z

Уг (BQr Sin 0 + c0f + rl-1

где B0 =

УЗВ/D, С0% =

1/3C/DПС .

сила,

то, полагая С=

0, находим

Когда отсутствует

осевая

“l/З В0 sin 0

^

_______ х______

У 1 + В^ sin2 0

У 1 +

Z?2 sin2 0

Вводя обозначения

ЗЛГ

ЗМ12

^ i - 4 ( b 3 - a 3)’

"*12

4 (Ь3 — а3)’

“

”

/ 7 + ^ ’

для этих приведенных изгибающих и крутящих моментов получим

т 1 = 3^1. [£ (а) — (1 — а2) /С (а)],

т п =

У

1 — а 2 К (а).

(4.83)