Имея условную диаграмму, по формуле а* = а (1 + в) можно переходить к истинной диаграмме растяжения сг*=а*(е).

При больших деформациях иногда вместо обычной деформа­ ции е вводится логарифмическая или истинная деформация е.

хождение между логарифмической и обычпой деформациями не

превосходит 10 %. С другой стороны, как показывают экспери­

раммы растяжения для двух характерных материалов: малоугле­ родистой стали 10 и легированной стали 40 X. Действительные диаграммы построены до временного сопротивления, т. е. до воз­ никновения шейки образцов. С образованием шейки напряжен­ ное состояние стержня становится существенно неоднородным, а вышеприведенные формулы неприменимы.

Для малоуглеродистой стали 10 горизонтальная часть диаг­ раммы почти в 20 раз превышает предшествующую упругую часть деформации, а на диаграмме легированной стали 40 X совсем отсутствует подобный участок.

Типичная для большого класса металлических материалов условная диаграмма растяжения приведена па рпс. 0.2 с указа­ нием характерных точек.

Наибольшее напряжение Ол, до которого справедлив линейный упругий закон Гука между напряжением и деформацией, назы­ вается пределом пропорциональности.

Пределом упругости называется наибольшее напряжение ое, при котором может нарушиться линейный закон ГУК&, но е!це не обнаруживаются остаточпые деформации при полном снятии внешней нагрузки, т. е. при разгрузке.

Напряжение аа, соответствующее точке s, называется преде­ лом текучести материала. Отрезок ss*, практически параллель­ ный оси абсцисс е, называется площадкой текучести.

Начиная с точки s* рост деформации е сопровождается Мо­ нотонным возрастанием напряжения а до точки 6, гД© напряже­ ние принимает максимальное значение оь. Этот интервал назы­ вается этапом деформационного упрочнения. Напряжение Оь на­ зывается пределом прочности или временным сопротивлением материала, при котором в стержне образуется шейка. Дальней­ шее деформирование сопровождается заметным снижением на­ пряжения до разрушения образца.

При разгрузке и повторном нагружении, начинай с точки s диаграммы деформирования, как показывают эксперименты, де­ формирование происходит практически по линейному закону па­ раллельно отрезку oh.

Обычно, ради упрощения, напряжения oh и ое отождествляют с пределом текучести о3. На линейно-упругом участке при­ нимается

о = Ег при е ^ ев = 0,/Е,

где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости материала.

На площадке текучести полагаем

а = о3 при е3 е еГ,

причем е* — параметр, характеризующий материал. В стадии упрочнения материала имеем

а = /(е) при е * < е < е ь ,

где /( e ) — функция, аппроксимирующая кривую диаграммы рас­ тяжения на соответствующем этапе. Часто бывает достаточно принять линейный закон упрочнения

диаграммы растяжения, построенной по испытаниям цилиндри­ ческих стержней из соответствующих материалов.

В стадии разгрузки имеем а = ас 4* Е(г — ес) при гс — ^ е ^ ес,

где ое и ес — соответственно напряжение и деформация в точ­ ке с, от которой начинается разгрузка.

Если после полного снятия растягивающей силы снова нагру­ зить образец теперь уже сжимающей осевой силой, то деформи­

В этих случаях пользуются схемой идеально пластического те­ ла, введепием условного предела текучести. Это напряжение, соответствующее деформации е = 0,002.

Для многих материалов, свойства упрочнения которых за пределом упругости — доминирующие, диаграмму можно аппро-

ксимировать линейным законом, как показано на рис. 0.4, т. е. принять

Материалы, следующие такой схеме, составляют класс линейноупрочняющихся пластических тел.

Есть материалы, у которых вообще отсутствует начальная прямолинейная часть (рис. 0.5), а сначала действует существен-

но нелинейный закон между напряжением н деформацией (чу­ гун, стекло, лед и т. д.). Для таких материалов имеем соот­ ношение

о = /(е),

нелинейное при всех значениях е. Материалы, следующие этой схеме деформирования, составляют класс упрочняющихся пла­ стических тел. Для максимальной простоты иногда принимают степенной закон зависимости между напряжением и деформа­ цией для всего диапазона деформирования

ния материала. Уточнением этого закона может служить за­ висимость

а = ае + [ien,

содержащая три аппроксимационных «механических» параметра а, р, п.

В качестве исходной механической характеристики материа­ ла используются также экспериментальные кривые при чистом сдвиге. Эти диаграммы получаются при испытаниях цилиндри­ ческих тонкостенных труб на кручение. Кривая зависимости между касательным напряжением т и деформацией сдвига у, т. е. график функции т = т(ч(), называется диаграммой чистого сдвига материала. По своим характеристикам она идентична диаграмме растяжения для данного материала.

В пластическом состоянии деформация складывается из двух слагаемых: упругой деформации ге и пластической деформации ер, т. е. полная деформация е = ге+ ер, где ес = os/E.

В математической теории пластичности устанавливаются ана­ литические соотношения между напряжениями и деформациями для сложного напряженного состояния. Эти уравнения призваны отражать основпые закономерности процесса пластического де­ формирования, наблюдаемые из экспериментов при различных режимах нагружения образцов.

2. Краткий исторический очерк. В 1864 г. французский инженер Г. Трес­ ка [202] опубликовал результаты своих экспериментальных исследований, в которых он пришел к заключению, что металл пластически течет, когда максимальное касательное напряжение достигает критического значения. Так было установлено условие текучести для идеальпо пластического те­ ла, названное впоследствии условием Треска.

Б. Сен-Вепан [158, 159] в 1870 г., используя это условие, составил дву­ мерное уравнение пластичности и получил решение упруго-пластических задач о кручении цилиндрического стержня и чистого изгиба балки. В 1871 г. М. Леви [112, 113], следуя Сен-Венапу, сформулировал соотно­ шения идеально пластического тела для пространственного напряженного состояния, предложил зависимости между напряжениями и скоростями де­ формации и дал способ линеаризации этих уравнений в случае плоской деформации.

М. Губер [192] в 1904 г. и Р. Мизес [117] в 1913 г. сформулировали ус­ ловие текучести, сводящееся к постоянству интенсивности касательных на­ пряжений. Оно затем трактовалось Г. Генки как условие пластичности, при котором энергия упругого формоизменения достигает критического зна­ чения.

В начале 20-х годов в работах Л. Прандтля [141, 142] и Г. Генки [29— 32] исследованы общие вопросы теории идеальной пластичности. Исполь­ зуя свойство гиперболичности уравнений идеальной пластичности при пло­ ской деформации, они предложили метод характеристик, который нашел

собом получили аналитические решения плоских задач о течении пласти­ ческого материала между жесткими шероховатыми параллельпыми и на­ клонными стенками.

В это же время Г. Генки сформулировал уравнения своей деформаци­ онной теории [30] пластичности, основанной на конечных соотношениях между деформациями и напряжениями при условии текучести Губера — Мизеса.

Р. Мизесом [117] предложены аналогичные уравнениям М. Леви физиче­ ские соотношения между скоростями деформаций и напряжений. В теории течения Леви — Мизеса препебрсгается упругой составляющей деформации.

Л. Прандтль [199] в 1924 г., используя зависимости Леви — Мизеса, нредложил новые соотношения, учитывающие также упругие деформации для плоской задачи. В 1930 г. Э. Репс [148] обобщил эти связи для общего пространственного напряженного состояния. Уравнения Прандтля — Рейса устанавливают дифференциальные соотношения между напряжениями и деформациями и, как показали опыты, достаточно правильно отражают ме­ ханику пластического деформирования.

В 20-е годы А. Падай проводились систематические экспериментальные исследования о пластическом состоянии вещества. Им было проведено тео­ ретическое и экспериментальное изучение распространения пластических зон при кручении призматического стержня с произвольным контуром по­ перечного сечения. В 1931 г. опубликовала книга А. Падай [121], обобщаю­ щая эти фундаментальные исследования автора.

В 1928 г. опубликовапы экспериментальные исследования В. Лоде [114], выполненные но инициативе А. Падай, о влиянии среднего главного напря­ жения на текучесть металлов. Им проводились испытания тонкостенных

тического деформирования явились исследования Г. Тейлора и Н. Квиннн [201], в которых проводились испытания над тонкостенными цилиндриче­ скими трубами при совместном растяжении и кручении при разных про­ граммах нагружения.

Р. Шмидтом [183] в 1932 г. и Ф. Одквистом [129] в 1933 г. предложены способы обобщения уравнений пластического течения Леви — Мизеса на случай упрочняющегося материала.

В 1934 г. С. Михлиным [120] и в 1936 г. С. Христиановичем [174] дано дальнейшее развитие метода характеристик для решения уравнений мате­ матической теории идеальной пластичности при плоской деформации. С. Христиановичем установлен ряд положений о разрывных решениях плосскон задачи идеальной пластичности. С. Михлиным получепо аналитическое решение задачи об упруго-пластическом состоянии вокруг круговой полости

вбесконечной плоскости.

А.Гвоздев в 1934—36 гг. предложил теорию предельного равновесия пдеальпо пластических тел, обобщенную затем в монографии [28].

Е. Меланом [195, 196] в 1938 г. доказаны теоремы о единственности решения краевой задачи как для идеально пластических, так и для упроч­ няющихся пластических сред.

Л. Качаыов [97] в 1942 г. сформулировал вариационные црпцципы де­ формационной теории пластичности и впоследствии дал их приложения в

ны решения ряда двумерных задач об упругопластическом равновесии идеально пластических тел с заранее неизвестными границами между уп­ ругой и пластической зонами. Ими были разработаны аналитические спо­ собы решения задач кручения призматических и цилиндрических стержней из идеально пластического материала, оказавшие заметное вадяние на дальнейшее развитие исследования этих проблем. Аналитическим реше­ ниям задачи об упругопластическом кручении цилиндрических с-тержней из идеально пластического материала посвящены работы В. Булыгица [18, 19], Г1. Перлина [136], Б. Аннина [9], Г. Ланчон [193], Ы. Арутюнцн^ и Ю. Ра­ даева [15].

Л. Галиным [24] в 1946 г. дапо решение упругопластической плоской задачи при двухосном растяжении пластинки с круговым отверстием. Обоб­ щениям и развитию этого решения посвящены исследования О. Дарасюка и Г. Савина [134, 149, 26], П. Перлина [135], Н. Остросаблипа [132]. В ра­ боте Г. Джанелидзе [40] рассмотрена задача о концентрации напряжений около кругового отверстия пластинки, находящейся в упругопластическом состоянии при равномерно распределенных радиальных силах, приложен­ ных на бесконечности.

В. Соколовским развит полуобратиый способ, на основании которого ис­ следованы плоские н осесимметричные задачи идеально пластических и уп­ рочняющихся тел, решения которых изложены в 1946 г. в его первой мо­ нографии. Им дано решение упругопластической задачи для полуплоскости, находящейся под воздействием равномерно распределенных сил на полубескопечной границе [166]. Развитию и обобщению этою решения для уиругопластического клина, на одной грани которого приложены равномерно распределенные силы, посвящены работы Г. Шапиро [179], В, Наяра,

Я.Рыхлевскою. Г. Шапиро [123], П. Иагди [198].

Вработах А. Ильюшина получила дальнейшее развитие и обоснование основанная Г. Генки деформационная теория пластичности, названная им теорией малых упругопластических деформаций. В 1945 г. А. Ильюшин показал, что при простом (пропорциональном) нагружении эта теория сов­

падает с более совершенной теорией пластического течепия. Эти и другие исследования обобщены в монографии [92], опубликованной в 1948 г.

A. Ишлипскпй [94] в 1944 г. дал решение осесимметричной задачи о вдавливании жесткого шара в идеально пластическое полупространство. Им исследовано [95, 96] пространственное деформированное состояние не вполне упругих и вязкопластических тел.

B. Прагер [138] в 1944 г., рассматривая тонкостенные цилиндрические трубы под совместным воздействием растяжения и кручения при разных путях нагружения, дал анализ заколов пластичности и зависимостей между напряжениями и деформациями в различных теориях пластичности. В 1948 г. он получил [140] основиые зависимости для различных решений плоской задачи идеально пластической среды.

В 1945 г. X. Рахматулиным [147] исследовано распространение волн

впластических средах и показано существование волны разгрузки.

А.Марковым [116] в 1947 г., С. Фейнбергом [168] в 1948 г., Г. Грин­ бергом [189] в 1949 г. исследовапы экстремальные принципы теории иде­ ально жесткопластического течения.

В 1950 г. опубликована монография А. Надай [122], где нашли даль­ нейшее развитие идеи автора в области экспериментального и теоретиче­

ского исследования механизма пластического деформирования с позиций токучести, прочности и разрушения материалов. Здесь получен ряд новых решений плоских и осесимметричных краевых задач теории пластичности.

В 1950 г. вышел фундаментальный труд Р. Хилла [171], где дан анализ мехапикп процесса пластического течения, сформулированы общие теоремы

строены классы решений уравнений пространственной и осесимметричной задачи теории пластического течения.

Анализ исследований по теории пластичности в СССР и за рубежом дан в работах А. Вакуленко и Л. Качанова [21], В. Клюшнпкова [101],

В.Койтера [104], В. Олыпака, 3. Мруза и П. Пежины [130].

В60—80-х годах вышел ряд первоклассных монографий, в которых рас­ смотрены краевые задачи теории пластичности. Это книги А. Френденталя

иX. Гейрингер [169], Т. Томаса [167], В. Олыпака, 3. Мруза и П. Пежины [130], Ю. Работнова [145], Д. Ивлева [84], В. Соколовского [166], Л. Кача­

твердого деформируемого тела и изложены общие соотношения и уравнения теории течения и деформационной теории для идеаль­ но пластических тел.

На основании деформационной теории в гл. 2 рассматривает­ ся упругопластическое равновесие толстостенных цилиндриче­ ских и конических труб из идеально пластического материала при различных внешних силах.

В гл. 3—5 на основе теории течения исследуется предельное пластическое состояние призматических, цилиндрических и ко­ нусообразных тел из идеально жесткопластического материала при различных комбинациях внешних сил.

Гл. 6 посвящена задачам о течении идеально пластического материала между сближающимися шероховатыми жесткими по­ верхностями. В гл. 7 рассматривается задача о внедрении жест­ ких шероховатых цилиндрических и конических тел в идеально жесткопластическую среду.

Вторая часть начинается с гл. 8, где приводятся основные уравнения и соотношения теории течения и теории упругопластическпх деформаций упрочняющихся пластических тел. Общие уравнения приводятся в прямоугольных, цилиндрических, сфе­ рических, а также и в ортогональных криволинейных координа­ тах. В гл. 9 рассматривается напряжениое состояние прямо­ угольных и круглых плит, призматических и цилиндрических стержней при совместном воздействии различных комбинаций внешних сил.

Напряженно-деформированное состояние тороидальных тел из упрочняющихся материалов исследуется в гл. 10. Рассматри­ ваются чистый изгиб и кручение неполного тора.

Вгл. 11 рассматриваются напряжения в цилиндрических и конических телах пз упрочняющихся материалов при воздейст­ вии различных внешних сил.

Пространственное, осесимметричное и плоское динамическое деформирование несжимаемых сред при степенном законе упроч­ нения обсуждаются в гл. 12. Рассматриваются нелинейные коле­ бания бесконечного клипа, конуса, полуплоскости, полупрост­ ранства.

Впоследней гл. 13 исследуются вопросы малонапряженности на крае контактной поверхности составных тел из упрочняющих­ ся материалов при кручении, плоской деформации и пространст­ венном деформировании.

ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО

Теория идеально пластического тела, преодолев трудности своего развития, отдельными блестящими успехами, начиная с 70-х годов прошлого века, завершила свое формирование, по су­ ществу, в 1930 г. Благодаря идеализации пластических свойств материала и предельному упрощению физических соотношений среды, эта теория, с одной стороны, изящна по своему аналити­ ческому строению, а с другой — правильно отражает главные качественные стороны процесса нелинейного деформирования.

Современная теория пдеальной пластичности — один из клас­ сических разделов механики твердого деформируемого тела. На основе этой теории ведутся фундаментальные исследования по изучению напряженно-деформированного состояния, а также различных вопросов прочности тел и конструкций, материалы которых подходят к модели идеально пластической диаграммы. В частности, определение несущей способности тел по предель­ ным пластическим состояниям играет решающую роль при про­ ектировании элементов конструкций в строительной технике и машиностроении.

В круг вопросов, рассматриваемых в первой части, входят упругопластические задачи о толстостенных трубах, предельные состояния призматических, цилиндрических и конусообразных тел, вопросы течения между шероховатыми поверхностями и внедрения жестких шероховатых тел в идеально пластическую среду.

ГЛАВА i

УРАВНЕНИЯ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ

В гл. 1 излагаются некоторые основные положения механики сплошной среды, исходные уравнения и соотношения теории пдеальной пластичности, используемые в рассматриваемых далее задачах. Даются понятия и определения напряженного состоя­ ния в точке и приведены дифференциальные уравнения движе­ ния элемента непрерывной среды. Затем вводятся необходимые характеристики деформирования при малых деформациях п да­ ются зависимости между деформациями и перемещениями. Да­ лее приведены общие соотношения и уравнения теории пласти­