книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfприходим к двум системам дифференциальных уравнении
дх2 |
= 0 |
^ |
= 0 |
|
Э2Д |
= 0, |
||
|
' |
ду2 |
|
|
дх ду |
|
||
^ = |
0 |
U’ |
^ |
= 0 |
ду |
дх |
|
|
дх |
|
ду |
U’ |
|
||||
Интегрируя эти уравнения, получаем |
|
|
|
|||||
ди |
“ у = |
dv |
(0* = |
|АИ>0 + |
Ах + Ву + С, |
|||
|
|
|||||||
2ыху = |
дип |
dvn |
2(0« |
= |
дшп |
|
(3-17) |
|
-хт! + |
. |
дх |
|
|||||
|
ду |
|
|
|
|
|
||
дш,
2(0VZ= - ^ +
Здесь А, В, С, D — произвольные постоянные. Далее, исключая F(x, у) из (3.15), приходим к выражению
' - * + И г № ■- 5 ) L - Ш О И № + Ж |
. * - |
-4(*М)-4Ш4№+£)Ь
О
где Н — произвольная постоянная,
9 = |
| А |
° 2 + |
4 |
[ ( 5 |
+ |
**“ 0 + °у) + |
( I F |
+ ^ |
- Dx) ]. |
|||
(О = 1 f № ) * + — |
+ (£3» V 4- J - |
\ ду |
14- д^- У |
’ |
|
|||||||
“ |
^ |
[ дх ) |
+ |
дх ду |
+ |
[ ду) + |
4 |
|
+ дх ) |
|
||
и к дифференциальному уравнению |
|
|
|
|
|
|
||||||
i l _ ilU_Li^o , fMl _ о |
[_L№ _ ^ l _ o |
гзis> |
||||||||||
дх2 |
ду2) |
l Й U » |
+ dx)\ |
z dxdy L Q U * |
d y j \ - " - |
(6ЛЬ> |
||||||
Уравнение (3.14) |
с учетом (3.17) |
перепишется в виде |
||||||||||
дх [4(т&+ |
+ду)]+£[4 |
|
+ и-. - Н] + i E -°- |
|||||||||
Далее, из (3.13) и (3.17) будем иметь |
|
|
|
(3.19) |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
дип |
dvn |
|
|
|
|
|
|
|
(3.20) |
|
|
|
■ fr + |
ду + |
И^о + Ах + By + С = 0. |
|
|||||||
Система |
дифференциальных уравнений |
(3.18) — (3.20) при |
||||||||||
заданных граничных условиях, в принципе, определяет |
функции |
|||||||||||
uo, Уо и Wo. Компоненты напряжений определяются через эти функции следующим образом:
|
|
7 |
|
\ |
|
|
|
|
|
г,., = |
_L (дш' |
Hu0 + Dyj, |
|
|
|
|
|
||
|
J + |
х*г _ М |
+ |
— Dx) |
|
||||
|
2Q \ дх |
|
|
|
|||||
Скорости перемещений (3.16) при учете (3.17) можно пред |
|||||||||
ставить в следующем виде: |
|
|
|
|
|
||||
и = |
и0е1*г + |
* |
у (e»z — 1 ) ---- ф (e,u — |
— 1 )» |
|
||||
|
|
|
|
|
I-1 |
|
|
|
|
v = |
v0e^z -----— х (e^z — 1 ) ---- {e^z — pz — 1), |
(3.22) |
|||||||
|
|
|
Р |
|
|
(.1 |
|
|
|
w = |
w0evz -j- — |
(e^z — 1) {Ах + By + |
С). |
|
|
||||
|
|
|
И* |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, компоненты напряжений (3.21) и скорости |
|||||||||
перемещений |
(3.22) |
являются решениями уравнений теории пла |
|||||||
стического |
течения |
(3.1) — (3.4). |
Они представляются |
через |
|||||
функции щ, Уо, м>(Ь определяемые из системы дифференциальных |
|||||||||
уравнений |
(3.18) — (3,20) |
при заданных граничных условиях. |
|||||||
При ц Ф 0, используя уравнение |
(3.20), |
можно из уравнений |
|||||||
(3.18), (3.19) и из выражений (3.21) и (3.22) исключить функ |
|||||||||
цию wo. Тогда приходим к системе из двух дифференциальных |
|||||||||
уравнений |
(3.18) — (3.19) |
относительно функций щ и VQ. |
|
||||||
2. |
Второе представление решения. Если ввести функцию нап |
||||||||
ряжения /(я, у) при помощи соотношений |
|
|
|
||||||
|
|
2Й -(^ Г + |
+ D y ) = % - E x , |
|
|
||||
|
|
m ^ |
+ ^ ~ Dx) = - % |
- Ey' |
|
(3.23) |
|||
|
|
|
|
||||||
из (3.2 1 ) |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
||
“ - - г . * - У ‘ - ( £ + Ч - ( 3 - в * ) ‘ |
( М « |
Далее, исключая из (3.23) функцию WQ, приходим к диффе ренциальному уравнению
£ [ т ( t o + |
+ ~k [ т |
£ х )] = D + Т Г f e + 5 ) - |
|
|
(3.25) |
Уравнение (3.18) перепишется в виде
£- £)[■*(2?+S)1- [■*(5■-5)1 -
Уравнение (3.20) и выражения компонент скоростей переме щений остаются без изменения, а выражения для компонент на пряжений из (3.21) примут следующий вид:
_ |
_ . |
X ( o duo |
. avo) |
_ |
_ , X (дио |
, |
9 |
cr.x = |
аг + |
— |
+ ~щ;)' |
av = |
a* + ^ [ - t e |
+ |
2 ^ / ’ |
OyJ.1л.—0 |
|
dvA |
|
— 0 |
окI |
д х ) |
|
) |
dx, |
д х у |
|
£ 1 |
|
д и п |
— |
( 2^г-° |
|
|
О) |
V д х |
тху |
= |
( д% |
|
2со \ду |
|
а/ |
Е х , |
1 II
df___ Е у .
д х
Для нахождения функций /, но, Уо, и>о, входящих в (3.27) и (3.16), следует интегрировать систему дифференциальных урав нений (3.20), (3.25), (3.26) при соответствующих граничных условиях.
§14 . Двумерпый тензор скоростей деформаций |
|
|
||||
1. |
Пусть имеем |
такое пространственное напряженное состоя |
||||
ние идеально пластических несжимаемых тел, когда компоненты |
||||||
скоростей деформации не зависят от одной из координат, скажем, |
||||||
от z, а являются искомыми функциями только х н у . |
у). Пере |
|||||
Принимая ц |
0, из |
(3.12) |
будем иметь е„ = |
<о#(х, |
||
ходя в полученных формулах для напряжений |
(3.2 1 ) |
к пределу |
||||
при р, -*• 0, находим |
|
|
|
|
||
|
4 |
[ ди. |
д о \ |
л ( д и л |
d v \ |
|
сг.г* = G z + 4 (2 » ? + » • ) ■
[*&+£)]L * - * ^ * ) -
' ™ = М % + Ш <3-28>
о
Ъхг’ -i(S ?+4
где ооозначено
Q° = j / ^ |
2 + ~Т [ Ы * |
+ °у) + (иг — Dx) ]• |
|
|
|||||
Скорости |
перемещений из |
(3.22) |
при |
|х |
0 записываются |
||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и = и 0(х , у) + D yz-----2“ z2, |
|
|
|
|
|||
|
|
v = |
vQ(х, у) — D xz-----Y z2, |
|
|
|
(3.29) |
||
|
|
w = w0 (х, у) + Axz + Syz + |
Cz. |
|
|
|
|||
Система |
|
дифференциальных |
уравнений |
(3.18) — (3.20) |
при |
||||
[а — 0 примет следующую форму: |
|
|
|
|
|
||||
( * . _ i l \ |
\ ± № |
+ *»У| _ 2 _ * _ |
\ ± /Ч > _ |
ЧЛ 1 = |
о |
|
|||
\зх2 ау2; |
[ |
йо ' ' д!' |
д х)\ |
д х д у [ а 0 \дх |
ду) J |
’ |
(3 >3 0) |
||
дип |
ди. |
|
|
С=0. |
- j + |
S* + Ах + Ву + |
|||
2. Если ввести функцию течения <р(ж, у) соотношениями |
||||
|
дф |
А , |
с |
|
и0 ~~ ~дуЛи |
2 х |
------2Т Х’х' |
||
|
0ф |
В |
|
(3.31) |
Уп = |
|
С |
||
дх |
|
|
— у, |
|
третье уравнение (3.30) |
удовлетворится |
тождественно, а первое |
||
и второе перепишутся следующим образом:
Ь - Ь ) [ £ ( У “ Ту1) ] + 2 |
[2£Ту —Ах + ву)] = ° ' |
(3.32)
причем
Q* = ] Х ы * + - г [ Ы * + + |
(v _ D x ) . > |
w*=(S-^--r)2-(S -^ -4)(S+^+-r)+
. |
( й2<р |
, |
в |
с \ 2 |
1 /а2ф |
а2ф\ 2 |
+ |
Ы * |
+ |
ВУ + |
т ) |
+ -Г |
- I ? ) (3.33) |
Для компонент напряжений из (3.28) получим
ст* = а‘ + £ ( £ т |
у - 2А х~ |
В! ' - - Т С)' |
|
аУ= а * ~ Щ |
{ £ % |
+ Ах + |
2Д(/ + -J- с), |
а, = Я + 2£z + [^ - ( г ^ |
+ Я */)]г.=0 + |
|
|
+4-}{£[£(S- $)]L* - £(й-2Л* - Ву~ £ с ) +
|
1 / |
\ |
|
if0 w n |
|
\ |
Гхг = го; (“^ |
+ Дгт |
Ti/z = |
( 1 7 |
— |
|
|
Подставляя выражения щ и VQ из |
(3.31) в |
(3.29), для компо |
||||
нент скоростей перемещений получим |
|
|
|
|||
и = |
U |
( х 2 + |
Z2) + Ztyz — 4 т |
.Г, |
|
|
V = |
— 2 |
— -§- (г/2 + 22) — &rz — - у у, |
(3.35) |
|||
w = w0 (х, у) + Axz + Byz + с z.
Для нахождения функций <р и м;о, входящих в выражения компонент напряжений (3.34) и скоростей перемещений (3.35), необходимо проинтегрировать систему дифференциальных урав нений (3.32) при заданных граничных условиях.
3. При введении функции |
напряжения f(x , у) по (3.2зу |
при р — 0: |
'* |
|
(3.36) |
компоненты напряжений (3.34) определяются выражениями
X
Выражения скоростей перемещений (3.35) остаются без из менения, а система уравнений, определяющая функции ф и / , запишется в следующем виде:
|
|
|
(3.38) |
После |
определения функций ф и / из |
(3.38) следует для на |
|
хождения |
функций |
w0 проинтегрировать систему уравне |
|
ний (3.36). |
|
системы уравнений (3.38), |
|
4. |
Отметим простейшее решение |
||
когда |
|
|
|
|
Ф = / = 0, А = В = D = 0. |
||
Тогда согласно (3.33) |
и (3.24) находим |
|
|
|
с о * = !^ С , х = / 1 -Е Ц х ^ + у% |
||
и оба уравнения (3.38) удовлетворяются тождественно.
Формулы для напряжений (3.37) упрощаются: |
|
||
Ох= Оу — Н + 2Ez, |
|
|
|
oz = |
H + 2Ez + УЗУ1 — 2?2(х2•+ у2) , |
(3.39) |
|
т*2 == |
Ex, TyZ=== Еу, |
= 0. |
|
Согласно формулам (3.35) получаем для скоростей переме щений
Сс
и -----2" х ' |
v |
-----2" У» |
(х - у) + Сг• |
(3.40) |
|
Для рассматриваемого здесь случая из (3.36) находим |
|||||
дшп_________ УЗЕСх |
ди>п |
_______ У~ЗЕСу |
|
||
дх ~ |
V i - E - t f + |
if)' °У ~ |
V 1 - Е- (х- -f |
у'1) |
|
Отсюда, иптегрнруя, получаем |
|
|
|||
|
Н'О= g + |
/ з |
~Y V i — Е2(я2 + у2), |
(3.41) |
|
где g = const. |
|
(3.39) — (3.41) |
может описывать течение |
||
Полученное решение |
|||||
пластической массы между сближающимися двумя парами оди наковых параллельных шероховатых жестких прямоугольных плит.
§15 . Задача Прагера
Рассмотрим пространственное течение идеально жесткопласти ческой среды, соответствующее однородному напряженному сос тоянию. По всему объему тела в форме прямоугольного паралле лепипеда компоненты напряжений принимаем постоянными.
Полагая в |
(3.10) а\ = |
Ь\ = 0, яо = |
£, Ьо = |
т, находим |
|
||||||
|
|
Oz = = |
С , |
Xxz = |
|
XyZ = 771. |
|
|
|||
Здесь принимаем, что t, т, |
с — заданные постоянные. |
получим |
|||||||||
Далее, полагая |
в |
(3.7) |
Ао = |
Во = |
Со = |
0, -из |
(3.9) |
||||
о$ = |
с + |
-г—(2АХ+ B-L), |
сГу = |
с + |
— (Лх + 2Bj), |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ло |
|
|
т |
|
|
|
|
, |
_ |
1( 2 |
± Н Ж ± 3 |
± 3 |
(3'42) |
|
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А\ = |
pAo, |
-Bi == |
|
С1 = |
sA-o, |
|
|
|||
где Ру Чу S |
считаем |
заданными |
постоянными, |
и |
принимая |
||||||
L\ = D\ = Н\ = 0, из (3.11) будем иметь
и = |
Я0 (pxz + |
syz + |
a0z2), |
|
v = |
X0(sxz + |
qyz + |
fc0z2), |
(3.43) |
w = |
— -у- |px2 + qy2 + 25X1/ + |
(p + </) z2]. |
||
Здесь Ao — произвольная положительная постоянная. Компоненты девиатора напряжений представляются в виде
s* = Pi |
sv = |
q, sz = |
p |
q, |
Тжу |
5, Tarz == £, TyZ |
7М» |
(3.44) |
|
|
о = |
c + p + q. |
|
|
Сопоставляя выражения Яо из (3.42) с соотношениями (3.43), получим условие текучести, которому удовлетворяют компоненты девиатора напряжений:
p2 + pq + q2+ 52 + t2+ т2 - 1. |
(3.45) |
Полученное решение, описывающее однородное напряженное состояние (3.44), (3.45) и соответствующее ему трехмерное ио ле скоростей перемещений (3.43), построено В. Прагером [139]
в1954 г.
§16. Изгиб, растяжение и кручение прямоугольной плиты
Техническая теория пластического изгиба плит основана на гипотезе Кирхгофа — Лява. Не пользуясь этой гипотезой, рас смотрим [55] предельное состояние толстой прямоугольной пли ты из идеально пластического несжимаемого материала, вызван ное равномерно распределенными изгибающими моментами М\у
М2, растягивающими силами Ni, N2, крутящими моментами М\2
икасательными силами N\2, приложенными на торцах (рис. 3.1).
Врешении (3.9) — (3.11), принимая для нашей задачи неко торые произвольные постоянные равными нулю, получим:
для напряжений
Ох = |
2ех+ гу |
|
|
Оу = |
е* + 2е1/ |
|
||
V e l + |
|
|
|
|
|
(3.46) |
||
|
|
|
|
V e l + ^ y + ^y+ ylv ’ |
||||
|
^ху — |
____ |
Уху |
|
1 |
СТ2 = TXz = 'fyz — О, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
+ гхеу + |
еу + |
Уху |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&х |
Ао + A\zy Gy |
Во “ЬВ[Z, *fxy— Со ~ЬC\Z\ |
|
||||
для компонент скоростей перемещений |
|
|
|
|||||
и = Axxz + Cxyz + А0х + Dxy, |
|
|
|
|||||
v = Cxxz + |
B xyz + |
(2C0 — DJX + В0уу |
|
(3.47) |
||||
|
Ал |
в л |
Л + В , |
|
(Ao + Bo) z* |
|
||
w = -----— |
У*-------------2' |
22 “ |
Cixy ~ |
|
||||
Приведенные безразмерные |
компоненты |
напряжений |
(3.46) |
|||||
и скоростей перемещения (3.47) являются решением уравнений теории идеально жесткопластического течения с условием теку чести Губера — Мизеса с произвольными постоянными Аи Д, Ci и Д .
Принимая, например, ^ i^ O , компоненты напряжений можем представить в виде
ох = 2*о + |
Ьо + (2 + М * |
= ао + |
2Ьо+ |
С1 + 2bi) г |
|||||
V O.Z2 + |
202 + |
7 |
|
|
V az- + |
2(3z + Y |
|||
гху-- |
|
С0+ У |
|
&z ~ |
|
|
|
— 0, |
|
"Vaz2 + 2pz+ Y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CL— 1 + |
+ |
b\ + |
c\, |
Y = |
Oo |
+ |
a0^0 “t" |
||
fi = |
a0 + |
b,,^ + c0c1 + |
4 - (аЛ |
+ b0), |
|||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ao |
, |
Si |
ci |
_ |
c |
|
|
|
a0 — л 1 |
|
— ~T~7 |
|
V |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.48)
(3.49)
Шесть граничных условий на торцевых сечениях плпты мож но представить в форме
/1 |
h |
(3.50) |
| a ijd z = Arjj, |
[ a{jZ dz = Afjj. |
|
! |
—Л |
|
—Л |
|
Подставляя выражения о*, оу и т*у из (3.48) в (3.50) и вводя обозначения
Гh |
|
|
|
|
Ju = f - г f |
dZ-------- , |
* = 0,1,2, |
(3.51) |
|
Л V az2 + 2$z + y |
|
|
||
находим |
|
|
|
|
A^1= ( 2a0+ |
2>o)/o + (2 + bi)/i, |
(3.52) |
||
N2 =(ao + 2bo)Jo + (1 + 26i)/i; |
||||
|
||||
Mi =(2ao + bo)Ji +(2 + &i) / 2, |
(3.53) |
|||
# 3 = (ao + 2 6o)/i+ (l + 2&,)/2; |
||||
|
||||
N12 — CQJO4" C1J1, M12 = |
CQJ1 + cih. |
(3.54) |
||
Полученная система из шести нелинейных алгебраических уравнений содержит пять неизвестных постоянных. Шестое урав нение устанавливает соотношение между внешними силами, при которых наступает предельное пластическое состояние плиты.
Из этих неизвестных параметров три можно легко исключить. Определив значения Jo и J\ из (3.52), а также J\ и /г из (3.53), получим
/ 0 = 1 [2N 2 — — £>j (2 N j — N 2)], A = 3 (Ь0 — a ^ ) ,
Ji = 4 (2A/-!—N2)—a0 (2N2- N 1)]= ± [2M2- M 1- b l(2M1~ M 2)},
(3.55)
Л = 4 [6° (2A/i - Л/2) - a0(2M2 - M,)],
где положено Д Ф 0. Из второго равенства (3.55) находим
|
2М2 - М 1 |
2N2 ~N^ |
2^, - N2 |
||
Ъ! |
гм1 — м2 + |
|
— м 2 а° |
2M1 - M i |
(3.56) |
Из системы уравнений |
(3.54) определяем |
|
|||
Сп — |
|
м ,/ а~ . У г |
|||
|
J1 — J0J2 |
’ |
J'i ~ JQJ2 |
’ |
|
где принято |
/ i — J0J2=^=0. |
|
|
|
|
Таким образом, величины а, р и к, определяемые по зависи |
|||||
мостям (3.49), в конечном счете зависят |
только |
от двух неиз |
|||
вестных постоянных: ао и Ьо. |
|
|
|
||