книги / Пространственные задачи теории пластичности

Or =

,

О 1

Г

2 1

1 +

0) (г)

—р +

2

In

------ In 7

-7

---------77,

1

а

3

1 +

со (а)

а© =

ог +

со

=

аг +

г3

,

ч

- /

1 "Ь ^ o “ 6 7 л ^ г ^ р.

Те* =

-^Гз’

Р

u =

Qwr'

и =

с т9' а < г <

ъ-

Из уравнения

(2.36)

находим

р = 2 Ш £

+

-

„2

4 Ш -------- 1 +

<?

, (2.40)

Q ( 1

g ) -

V

'

Q + \ Q ° - + c* -ae

3

(ъ*

А\ ,

9

(1 -

б4)2 6е ..

8 1 — 6463

т = 0. (2.41)

+ Т

17* ~

1 ) +

16

~

3 т ~ c - i

б рз

р = 2 In +

-§ 1п

~ ° 1

~—п + сЧ*,

(2.42)

где

1 +

V i — С-

246 (1 + б2) т _________

С =

б2) (1 — б4) /п2 +

166 (1 + б2 + б4)'

9 (1 +

§ 9. НОРМАЛЬНЫЕ И КАСАТЕЛЬНЫЕ СИЛЫ

где обозначено

Т (г) =

*2 +

2*а-г5

arcsin

+ 4**’

/ . *

Из

(2.22)

получим перемещения в этой зоне

U=

0(Р ) Р2

2G

'■ -

W

+

4 £ 19 (г>-

Q (р)| +

Т 7 Т

^ [Т (г)' т '(Р)' ’

(2.44)

OT,OQ = — q +

Q (р)

Т

-^2"),

oz= — q + <?(р) -pr,

(2.45)

,

а2

^Г0— Г

S’»

t r2 = s—,

тег = 0, р <

/• <

6.

Для перемещений в этой зоне из

(2.24)

получаем

и =

Р2^

)

2Gr

и =

Hr

tr 1

a2

*2 \

(2.46)

Gp

2G [ r* ■ p “ ) '

4

+

sa

,

г

p < r < 6.

"G

l n T

’

Из уравнения

(2.25)

находим зависимость р от внешних сил

s2

а2

р — g = 2 1 n £ +

* —~2~ “ГГ + @ (Р)

<?(о) —

ln -----------^------------- +

1 - А - + С(«>

— ^ (Р)

(Р) — ^ («)]» а < Р < Ь - (2.47)

При t

0 из

(2.47)

находим

p - g = 2 ln-g +

2 1 n -| j : ^ g + 2< ?(a )-< ?(p )(l + - ^ ) , а < р < 6.

Полученное

уравнение

устанавливает зависимость между р и

внешними силами.

Рис.

2.4

напряжения в пластической зоне

Ог= — р +

2 1 п-£ +

In

+

(?(«) — <?('•)■

Ов =

Or +

2Q(r)i

Gz =

or +

Q{r)y

(2.48)

тГ0 = t

а2

T0z = Тгг =

0, а ^ г ^

р,

где

г—1

________

e ( r ) = |

/ l - *

2j£ -

(2-49)

Соответствующие перемещения в пластической зоне находим

из (2.44)

при D = 5 = 0

g(P)

и =

Р2

2G

г

v =

+

g ----[(?(Г) — (?(р)Ь

И>— о,

а < г <

р. (2.50)

В упругой зоне компоненты напряжений из

(2.45)

при s -*■ 0

будут

и = р2 9 (Р).

H r

иГ г

- * Лр- )}

Р 2Gr

Gp

»

м,==5° »

р < г < 6 .

(2 .5 2 )

У р а в н е н и я д л я р н а х о д и м и з ( 2 . 4 7 ) , п о л а г а я в н е м s = 0 :

p — q =

2 1 n - g +

I n \

+

<?(“) — Q(P)jF-

( 2 .5 3 )

П р и н и м а я з д е с ь

p = b, н а х о д и м

з а в и с и м о с т ь метру в н е ш н и м и

с и л а м и в п р е д е л ь н о м с о с т о я н и и т р у б ы .

И з полученных

4 . К р у г о в а я п о л о с т ь в

б е с к о н е ч н о й

п л о с к о с т и .

Полагая д = 0, Н = — t

при

из

(2.48) — (2.53) полу­

чим решение в пластической

области:

для

напряжений

ar = — p +

21n-£- + In

+ <?(«) — Q(r),

Oe =

Or +

2Q (r), o* = Or +

<? (r),

(2.54)

о

T(j2 == Tr2 — 0,

Я ^ г ^

p,

Tr0 = t —“ 7

Г "

для перемещении

W = 0’

а < Г< Р -

Здесь <?(г) определяется согласно формуле

(2.49).

ди

0

1

dw

w

а

£г — 7 7 ’

2Yeq> — T i n

r ctg 0 >

i/

1 ди

0

dw

w

г° ~ Т + 7 1 о ' 2Vr<p--^r — — .

(2.56)

м . v , n

0

dv

v . 1 du

8<P = 7 + T ctg0’

2Vre =

7 7

p + 7

ae ’

условие пластичности Губера — Мизеса

(ar — <Je)2 + (oe — (Тф)2 + (оф —

Or)2 +

6 (тге

+ Т0Ф+

т?ф) = 6 (2.57)

8г M<Jr d ), •. ^гб Атге,

(2.58)

принимает значение

1/(2G),

где G — модуль

сдвига,

делен­

ный на к.

6 = ^

поверхностях

задаем

На внутренней 6 = а и внешней

соответственно условия

Со = —pi,

тг0 = т{,

т0ф=

д< при

0 =

а,

р,

(2.59)

а на граничной поверхности между

пластической

и упругой зо­

вокруг

конической

поверхности

0 = а

образуется

пластическая

зона, ограниченная

поверхностью 0 =

положение

которой под­

лежит определению в ходе решения задачи.

2.

Решение в пластической зоне. Компоненты напряжений в

пластической зоне удобно представить в следующем виде:

Or =

сге +

71 (ег — е9),

стф =

сте

^ (ег + 2ее),1

^ге — 7

?г0>

V 8? + ®г®0+ 80+ Y?0

а ^

0 ^ у.

/ i _

T20_

.2

T;Гф