книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfРис. 6.15
Сила давления на контактной поверхности 0 = а на е д и н и ц у длины вдоль образующей будет
Р = —2' sin aj (a0 cos ф _ T0q) sjn ф)0=я dfp. 0
После вычислений получаем
P = 2r sina[p sin cp0+ (A + n\) (1 — cos cpo) ].
Условие сохранения массы запишется следующим образом:
г То |
|
|
|
|
|
|
j |
j [и (г, а, ср) sin а — и (г, (}, ф) sin PJ г dr dcp = |
|
||||
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
\| иг2sin 0 dQdcp + j |
j w (r, 0, (f0) г dr dQ. |
|
|
|
|
|
a о |
0 |
a |
|
Подставляя выражения скоростей перемещений из (G.79) и |
|||||
производя интегрирование, получаем |
|
|
||||
|
1 _ в- дфо |
( |
sin a |
+ v2sin p — 3 |
Г |
|
D -------------------г- |
\ |
l F sin 0 dQ |
||||
|
cos ot — cos p |
|
|
J |
|
|
|
|
' |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
—цф |
& |
|
|
(0.92) |
||
|
|
|
|
------ — ----- ° |
r ^ sin0d0. |
||||||
|
|
|
|
|
cos a — c o s p j Y |
|
|
4 |
} |
||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
Рассмотрим числовой пример. Для значений параметров |
щ = |
||||||||||
= 3; У2 = 4,2; |
ц = 2; |
т,\ = |
0,15; |
тп2 = |
0,2 ; |
тгх = |
0,2; |
п2 = |
0,25; |
||
а =15°; |
р = 4 5 ° получено |
численное |
решение |
системы |
диффе |
||||||
ренциальных |
уравнений (6.84)— (6.85), (6.87) |
при |
граничных |
||||||||
условиях |
(6.88). На |
основании |
полученных числовых |
резуль |
|||||||
татов на рис. 6.13 и рис. 6.14 приведены соответствующие гра фики напряжений (6.82) и (6.89).
Для различных случаев шероховатости конических поверх
ностей: |
1) |
7?ii = |
7?i2 = |
0, qi = 0,2, g2 = 0,25, |
2) rrt\ = |
m2= |
3i = |
= 32 = 0, |
3) |
77ii = |
0,15, |
7712= 0,2, 31 = 0,2, ^2 = |
0,25, 4) |
TTII = |
0,15, |
77i2 = 0,2, $i = 52 = |
0 на рис. 6.15 показаны графики контактного |
||||||
удельного давления. |
|
|
|
|
|||
§ 46. Течение между одномерно шероховатыми коническими поверхностями
Рассмотрим течение идеально жесткопластического несжимае мого материала между сближающимися по закону (6.76) кони ческими поверхностями, которые имеют шероховатость лишь в одном направлении. На основании полученных в предыдущем
параграфе формул и уравнений здесь будем рассматривать ча
стные |
случаи, |
когда |
= |
0, |
щФО и т{ Ф 0, гсг= 0 . |
Рассматри |
|||
вается |
также |
случай |
тп{ = |
= |
0, соответствующий |
идеально |
|||
гладким поверхностям. |
|
шероховатость. Пусть |
сближающиеся ко |
||||||
1. |
Тангенциальная |
||||||||
нические поверхности — идеально |
гладкие по |
направлению об |
|||||||
разующих. Полагая в (6.83) |
т\ = |
тч = 0, получаем |
|
||||||
А = |
2 ( п1 sin2 а + |
п0 sin2 р) |
|
5 = |
2 (/ij sin2 а cos Р + » 2 sin2 Р cos а ) |
||||
cos а - |
cos р |
|
|
cos а — cos р |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.93) |
Принимаем полуобратным способом, что продольная компо нента касательного напряжения т ге равна пулю по всему объе му слоя.
Тогда
|
|
|
Л cos 0 — В |
? |
|
|
|
п |
|
|
|
Т0ф — s — -------. О |
TrQ --- ТГф — и. |
|
|||||||
|
|
|
|
sin" 0 |
|
|
|
|
|
|
Из уравнения |
(6.87) следует F = 0, тогда |
дифференциальное |
||||||||
уравнение (6.84) |
перепишется в следующем виде: |
|
||||||||
|
|
|
/ ' + |
/ ctg 0 + |
рф = |
0. |
|
(6.94) |
||
Выражение % в нашем случае из |
(6.86) |
существенно упрощается |
||||||||
|
|
* |
" 7 |
Gк/' |
|
|
. |
,, |
|
|
|
|
= 7 |
* - sW f - |
|
|
|||||
Далее, исключая |
функцию ф |
из |
второго |
уравнения |
(6.85)' |
|||||
и из (6.94), |
приходим к следующему |
дифференциальному урав |
||||||||
нению второго порядка относительно /: |
|
|
|
|||||||
f |
+ |
cos 0 + __2xjxs |
sin 0 |
/ |
' - ^ |
/ = о |
(6.95) |
|||
|
|
|
У Т Г 7 |
|
sm" 0 |
|
||||
с вытекающими из (6.88) граничными условиями |
|
|||||||||
|
|
|
/ = ± |
при |
0 = |
а, р. |
|
(6.96) |
||
Вводя новую функцию g(Q) |
|
|
|
|
|
|
||||
приведем (6.95) к дифференциальному уравнению первого по рядка
Нормальные компоненты напряжений из (6.89) преобразу ются к виду
а, = 0в + xVl — s2, |
о, = се + 2xVl —s2, |
|
0 |
ае = — р — Л (фо — ср) + |
2х J V l — s* ctg 0 d0. |
|
О |
Здесь А определяется согласно (6.93), а р — из (6.91):
P = f ^ ) V i — s1 [1 — (Р — G) ctg 0] dO.
а |
|
Скорости перемещений из |
(6.90) будут равны |
v = |
—Зг/е-от, |
хо= — — {g sin 0 + cos 0) /е-д<р + — гsin 0, и = 0, |
|
[1 |
ц |
где D определяется из (6.92)
v sin а + sin Р
~~cos а — cos Р
Случай гладких по направлению образующих конических по верхностей рассмотрен в вышеупомянутых работах [48, 85]. Хо тя условия сближения конических поверхностей в указанных исследованиях и здесь приняты различными, выражения напря жений в обеих работах по существу совпадают.
2.Продольная шероховатость. Если конические поверхности
идеально гладкие |
по |
тангенциальному направлению, т. е. щ *=» |
||
= п2 = |
0, то из (6.83) |
будем иметь |
||
А = |
р (т г sin а + |
sin Р) |
ji (m1sin а cos р + т2sin р cos а) |
|
cos а — cos Р |
, в = |
cos а — cos р |
||
Принимая, что тангенциальное касательное напряжение те<р отсутствует по всему объему слоя. Из (6.80) и (6.81) следует
Тг0 = Т |
2 |
|
(6.97) |
||
|
||
Тгф = t = |
1 |
|
3 |
||
|
Сопоставляя выражения тге, теФи Тг* п0 (6.77) и (6.97), будем иметь
/' + / ctg 0 + |
sin 6 |
(6.98) |
^ |
||
(/' + / ctg 0 + fii)j)' = т%, |
ip'sin2Q + nf = |
0. |
Используя соотношения (6.98), из (6.78) находим
|
V |
(2У + |
з«* °* ' + ; £ ё * ) ( г + ^ * ) |
Х |
11 |
\ / |
1 - т2 - ^1 + -^ 2 Sin2 ej t2 |
Подставляя % в правую часть первого уравнения (6.98) и исключая / при помощи третьего уравнения (6.98), приходим к следующему дифференциальному уравнению второго порядка относительно *ф:
+ 3 ctg 0я|/ — |
'1>= |
|
|
|
- ку[(2 f + 3c«ge*' + ^ - 04>)(ч»’ +^Ч>)- |
(0.99) |
|||
причем здесь введено обозначение |
|
|
||
]г _ |
2 sin Q____________ {____________ |
|
||
|
" |
l / • |
Л* о) |
|
Граничные условия уравнения (6.99) |
следуют из (6.96) |
и треть |
||
его уравнения (6.98) |
|
|
|
|
|
■ф'= |
=F 4 sina прп 0 = а’ ^ |
(6.100) |
|
Вводя новую функцию g(Q)
Ф' =
из (6.99) приходим к дифференциальному ураинотшю первого порядка
g' + g2 + 3g ctg 0 |
-----= |
|
sin“ 0 |
= 1 г л [ (2g' + g-* + 3g ctg 0 + - ± ~ ) (g' + g2 + -=*£-). (6.101)
r \ |
sur 0/ \ |
sin 0/ |
Нормальные компоненты напряжений из (6.89) преобразу ются следующим образом:
Or = а0 — (g’ + g2 + 2g ctg 0),
a* = *6 - ^ (s ' + S2 + g ctgO +
ае = - р - Л ( с р - Фо) - | ^ 1 п ^ - 5 1 п | в ) .
+ g2 + g ctg 0 + |
j U c t g e g . |
- з К г ' |
sin*Q} 6 Q |
|
Здесь обозначено
V (‘ i' + e‘ + 3s«e<> + д ) ( « ' + *; + & )
Q =
Скорости перемещений из (6.79) будут равны
и = — |
2г sip3 0 |
—цго |
■ |
3г sin 0 . — ц ф |
|
ttyQe’ |
у = — ----- tyge , |
М-
w = Зг sin 0я|# цф + — rsin 0 .
Таким образом, определение нормальных напряжений и ско ростей перемещений сводится к интегрированию дифференци ального уравнения (6.99) или (6.101) при граничных условиях
( 6. 100) .
Выражение для р из (6.91) приводится к виду
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Р = — p-zr^r J (s ' |
+ |
£2 + £ ctg0 + |
[1 + |
(Р — 0)ctgO] |
|||
|
а |
\ |
|
* |
|
|
|
Для определения D из (6.92) получаем |
|
|
|
||||
|
Q... иФо |
3 |
|
|
Г |
|
|
|
L |
|
1 - е “ ДФо |
|
|
||
D = |
3ш?-^ о |
Г |
|
sin а + |
|||
----- --------- |
5 \яЬ sin 0 <20 Н----------------- д |
1 |
|||||
|
cos а — cos PJ |
Y |
cos а — cos р |
|
|
||
|
|
a |
|
|
L |
|
|
|
+ у2 sin р — |
W g' + g2 + 3g ctg 0 + |
-гтг') Ф sin3 0 dQ |
||||
|
|
|
|
Г а \ |
|
|
S1Q 0 / |
3.Идеально гладкие поверхности. Принимая тпц = п{ = 0, Из
(6.83) получаем А = В = 0, тогда из (6.97) находим т = s = t =* 0
и, следовательно, |
0, я|/ sin2 0 + \xf = 0. |
f + / ctg 0 + ця|)= |
Если исключить из этих уравнений /, то получаем уравнение (6.99) при h = 0. Удобнее исключить функцию *ф. Тогда прихо^ дим к линейному уравнению
/ " + / ' C t g 0 |
i + |
Полагая |
/(0 ) = I/ (д:), где х = |
ctg 0, |
получаем |
следующее |
урав |
|
нение: |
|
|
|
|
|
|
Далее, |
принимая 1/(я) = 2 (|), |
где |
£ = |
arcsh:r, |
получаем |
урав |
нение |
z" —(1 + Ц2)z = |
О, |
|
|
||
|
|
|
||||
общим решением которого будет |
|
|
|
|
||
|
z = ci sh V1 + |
+ с2 cli V1 + |х2£, |
|
|||
где с{ — произвольные постоянные. Если ввести функцию
Д (0) = VI + (A2 arcsli(ctg 0),
то общее решение уравнения (6.102) при граничных условиях (6.88) для / имеет вид
«Ч sh [Д (0) - А (Р)] + sh [Д (0) - Д (а)] 3 sh [Д (Р) — Д (а)]
В рассматриваемом случае |
напряжения |
будут |
равны |
||
■ /4 |
■ П |
I |
О1 |
Sin. 0 |
|
О'г = СГ0 + 1 ^ |
СГф= Оо + |
2, (70 = — р + |
2 In |
|
|
|
р |
|
|
|
|
Р = 2 + р |
J (Р — 6)ctg6d0, т,е = |
т6ф = тГ(р = 0. |
|||
Соответственно выражения для скоростей перемещений и кон тактной силы запишутся в виде
|
|
|
v = |
- 3 r/<rw, |
|
|
|
|
w = — \D sin 0 — 3 (/sin 0 )'e |
^ф], |
и = 0, |
||||
|
И* |
|
|
|
|
|
|
D = |
иг sin а + |
v2 sin р |
(l + |
2е ^фо), |
Р = |
2prsinasin ср0. |
|
cos а — cos р |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Конечно, как в задаче течения пластического материала меж ду коническими трубами, так и в задачах течения между ко ническими поверхностями следует принимать, что поперечные размеры гораздо меньше продольных.
В статье А. Акопяна [3] рассмотрено течение пластически анизотропной массы между шероховатыми коническими поверх ностями.
ВНЕДРЕНИЕ ЖЕСТКИХ ТЕЛ
В этой главе исследуется течение при внедрении жестких шероховатых цилиндрических и конусообразных тел в идеально жесткопластическую несжимаемую среду с условием текучести Губера — Мизеса.
Такое напряженно-деформированное состояние может возни кать в различных технологических процессах в той или иной отрасли машиностроения. В частности, подобная картина пласти ческого течения встречается при клинопрессовой сварке разно родных труб, теоретические основы и прикладные положения которой разработаны М. Шоршоровым и его учениками [184]. Технологическая схема такой сварки представляет собой предва рительный нагрев с соосным впрессовыванием трубы из более твердого материала с монотонно возрастающим по направ лению оси внешним диаметром в трубу из более мягкого ма териала, помещенную в плотную иедеформируемую прессформу.
Процесс соединения материалов происходит в твердой фазе, причем физический контакт образуется за счет пластической де формации более мягкого материала, вызывающей пластические деформации в приповерхностном весьма тонком слое трубы из более твердого материала. Заметных объемных формоизменений этой трубы в процессе впрессовывания не наблюдается.
Прочность соединения главным образом определяется нагре вом свариваемых элементов, скоростью впрессовывания элемента из более твердого металла и давлением на поверхности контакта, зависящим от механических свойств менее твердого металла ц формы поверхности элемента из более твердого металла. При математическом моделировании этой задачи можно полагать, что элемент из более твердого материала педеформируемый, а из более мягкого материала — идеально жесткопластическпй, несжи маемый, подчиняющийся условию Губера — Мизеса.
Плоская задача о внедрении жесткого клина с гладкими гра нями в полубесконечную идеально жесткопластическую несжи маемую среду методом характеристик исследована в работе Р. Хилла, Е. Ли и С. Тапера [191]. В этЬй работе, в частности,
определена зависимость между внедряющей силой и углом ра створа клина. В. Соколовский [166] развил эту работу, учиты вая шероховатость граней внедряющегося клина. В работе Д. Ив лева [79] при рассмотрении задачи о вдавливании тонкого лез вия в пластическую полуплоскость получено аналитическое ре шение задачи.
§ 47. Внедрение в идеально пластическую трубу
Пусть в абсолютно жесткую цилиндрическую пресс-форму
(1) вплотную введена цилиндрическая труба (2) пз идеально жесткопластического несжимаемого материала (алюминиевый сплав) с внутренним и внешним радиусами а и Ь соответствен но, а в нее (рис. 7.1) соосно с постоянной скоростью впрессовы
вается, |
совершая |
|
одновременно |
враща |
|||
тельное движение вокруг своей оси, ци |
|||||||
линдрическая труба (3) пз значительно |
|||||||
более |
твердого |
материала |
(стальной |
||||
сплав) |
с |
переменным внешним |
радиусом |
||||
|
|
R = |
а + ихе |
ь, |
|
|
|
где v и И\ — заданные положительные по |
|||||||
стоянные |
[71]. Материал этой трубы счи |
||||||
тается недеформируемым. |
|
координат |
|||||
Цилиндрическую |
систему |
||||||
закрепляем с жесткой трубой так, чтобы |
|||||||
плоскость |
2 = 0 |
прошла |
через |
входное |
|||
торцевое сечение, а положительное на |
|||||||
правление оси 2 совпало с осью трубы |
|||||||
(против направления движения). |
|
||||||
Полагаем, что вращение жесткой тру |
|||||||
бы происходит в сторону возрастания по |
|||||||
лярной |
координаты |
0 п |
материал |
дефор |
|||
мируемой трубы по всей толщине в |
области z > 0 переходит в |
|||||
чисто пластическое состояние. |
Торец |
z = l этой трубы |
считаем |
|||
свободным от внешних сил. |
|
(4.58) — (4.60). |
Введем |
обозна |
||
Будем исходить из |
решения |
|||||
чения uo = uJb, Я = v/b, ро = а/Ь, |
безразмерные |
координаты р = |
||||
= г/Ь, £ = zjb и функции |
|
|
|
|
|
|
/ (г) = &2/* (р). |
■ф(г) = |
Щ* (р)« R (z) = |
bR* ©> |
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
R* (6) = |
Ро + uo«v5- |
|
(7.1) |
||
|
|
|
||||
После преобразования формул (4.58), (4.59), опуская в даль нейшем знак звездочки, для компонент напряжений получаем
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
аг = |
от(р, 6) = |
- |
2А - |
2В1 - |
U f - |
| |
/) -J 2£, |
|
|
|
|
|
|
Р0 |
|
|
|
О0 = |
аг- (/' - |
j |
/) - f , |
а, = |
аг - (2/' |
+ |
| /) f , |
(7-2) |
|
со , |
|
|
D |
D |
. |
Е |
|
|
т0г — ^ 'ф» |
^ге — ^2*5 Trz — -^Р + р » |
|
|||||
где обозначено
© = ] / 1 — Тге — Тг2, х = |
f ‘ + j f ' f + ^ / 2 + |
Компоненты скоростей перемещений в новых обозначениях будут даны формулами
u = v f(p)ev6, v = 2^(p)evg + Gp,
=+ | / ) е У| + Я.
Здесь и в дальнейшем скорости перемещений отнесены к 5. Система дифференциальных уравнений (4.60) в новых обо
значениях перепишется в виде
r + \ r + (v! + ? ) / + 2 v « ' l / Г! + 7 / 7 + Л г- + Ф! - ° .
______________________ (7.4) / ' Ч ^ / 7 + 4 / 2 + ^2 = 0.
При малых значениях v и щ приближенно будем принимать
Vo cos а « и (ро, i)sin a , / ( Я ) « / ( р 0), (7.5)
где Уо — скорость впрессовывания жесткой цилиндрической тру
бы, a — угол между внешней по отношению к деформируемой |
|
трубе нормалью к поверхности р = Д(£) |
и осью z (рис. 7.2). |
В первом равенстве (7.5) пренебрегается |
вкладом продольной |
компоненты скорости перемещения, а во |
втором — пренебрега |
ется отклонением контактной поверхности ще*1 от внутренней
поверхности по сравнению с радиусом трубы ро. |
(7.5) и зави |
|||
Используя выражение и в |
(7.3), соотношение |
|||
симости |
|
Д' |
|
|
sin a = |
cos a = |
(7-6) |
||
V i + R |
||||
V i + л'*’ |
|
|
||