книги / Пространственные задачи теории пластичности

Остальные неиспользованные граничные условия из (5.46) дают

mi sina = m2 sin fi.

Скорости перемещений (5.16) для нашей задачи будут

и = \|:ssin 0 + 2g cos 0 + C cos 0,

и = —2g sin 0, w = 2if sin 0 + Dr sin 0.

Таким образом, определение напряжений по формулам (5.49) сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (5.50) при граничных условиях (5.51). После нахождения функций 5 и h, зависящих от т{ и q{l пз (5.52) определяем зависимость между внешними силами.

На сферической торцевой поверхности появляются распреде­ ленные нагрузки с интенсивностью ог, тге и тГФ, которые уравно­ вешиваются внешними силами р{, 1Щ и q действующими на бо­ ковых конических поверхностях трубы.

В работах [2, 38] исследованы предельные состояния пласти­ чески анизотропных и пластически неоднородных конических труб при распределенных нормальных и касательных силах на конических поверхностях.

§ 33. Изгиб и растяжение конического слоя

Пусть слой в виде сектора длинной толстостенной конической трубы из идеально жесткопластического несжимаемого материа­ ла находится в предельном состоянии под совместным воздействи­ ем распределенных относительно оси слоя изгибающих моментов и распределенных нормальных усилий, приложенных на осевых торцевых сечениях (рис. 5.4). Необ­ ходимо определить закон изменения этих сил вдоль образующих.

Для построения возможного поля скоростей перемещений потенциаль­ ные функции течения в (5.8) при­ нимаем в следующей форме:

Ф= г3(В — A cos 0 + С sin 0 cos ср),

=г3(Лф sin ф + С cos 0 sin ф).

Для отличных от нуля скоростей деформаций получим

sin2 0

Соответствующие компоненты напряжений запишутся в сле­ дующем виде:

ог = о0— х, аФ= Ое — 2х, к = sign еф.

После удовлетворения дифференциальных уравнений равно­ весия (5.1) находим

Go = Н — 2х In sin 0,

где Н = const. Принимаем, что нейтральная поверхность — кони­ ческая й является поверхностью разрыва напряжений.

Из условия отсутствия нагрузки на внутренней поверхности следует

где 0 = у — уравнение нейтральной конической поверхности слоя. Учитывая условия на внешней поверхности 0 = р, определяем

Предельный удельный изгибающий момент относительно осп 0 = 0, если обозначить М ' (г) = Л/*, будет равен

После вычисления интеграла находим

устанавливающей связь между внешними силами, при которых конический слой переходит в предельное пластическое со­ стояние.

На торцевой сферической поверхности с радиусом г действуют нормальные нагрузки с интенсивностью ar. Легко проверить, что тождественно выполняется равенство

Р

[ arsin 0 cos 0 dQ = 0.

а

Это означает, что сумма проекций сил на ось конической по­ верхности 0 = 0 равна нулю. Сумма проекций указанных сил на ось, перпендикулярную к оси 0 = 0 в плоскости ф = 0, уравнове­ шивается соответствующими проекциями нормальных сил Т

§ 34. Конический слой под воздействием изгибающих моментов,

нормальных сил и внутреннего давления

1. Рассмотрим предельное состояние конического слоя из иде­ ально жесткопластического несжимаемого материала, находяще­ гося под совместным действием изгибающих моментов и нор­ мальных сил, распределенных вдоль осевых сечений ф = ±фо, а также внутреннего равномерного давления. Требуется найти предельное напряженное состояние и соотношение между при­ ложенными силами, при котором наступает указанное состояние слоя.

Подставляя сюда выражения Ое в соответствующих зонах, по­ лучаем

1 /3 ( & 3 / 2 _ а З /2 )2

9 Уаь

Нормальное усилие на единицу длины на этой же окруж­ ности будет

(5.67)

г * = - И аегйг-

Используя уравнение равновесия (5.64) и учитывая гранич­ ные условия на сферических поверхностях, получаем

ъ

2. Для построения возможного приближенного поля скоростей переме­ щения и скоростей деформации рассмотрим в деформированном состоянии слой, ограниченный конической поверхностью 0 = а и сферическими по­ верхностями с радиусами г и р. При сообщении углу а приращения da этот слой, деформируясь, переходит в слой, ограниченный конической поверх­

лучает приращение деформации

(5.68)

Для приращения деформации кольцевого элемента получаем г* sin (а + da)

Условие сохранения объема рассматриваемого сферического слоя дает

Сохраняя в разложении sin а первый член, из (5.68) и (5.69) находим

поскольку приращения деформаций на нейтральной поверхности равны ну­ лю. Подставляя эти выражения в (5.70), получаем

й8ф= rfe0= 3 ^1— J а •

Переходя к нашим обычным обозначениям, для скоростей деформаций будем иметь

где А — произвольная положительная постоянная. Отсюда, используя вы­ ражения £г и Ее через скорости перемещений и интегрируя, находим

Согласно этим выражениям 'угв = 0. Если по этим формулам определить вф, то по сравпению с соответствующим выражением еф в (5.71) здесь появ­ ляется слагаемое 3 4 ( 0 c l g 0 — 1), исчезающее при малых 0.

Толщина слоя h = b — а в ходе деформирования получает приращение

ъ

dh = ^ deTdr.

а

Подставляя выражение der, получим

dh = ^ = ( “l/a — "l/fe)2 > 0,

т. е. толщина слоя в процессе деформирования равномерно увеличивается. Из полученного решения заключаем также, что в ходе деформирова­ ния коническая и сферические поверхности, ограничивающие слои, пере­ ходят в такие же поверхности с другим углом конусности и с иными

радиусами.

§ 36. Сферический слой под воздействием изгиба, растяжения и внутреннего давления

Пусть теперь круглая плита из идеально жесткопластического несжимаемого материала деформирована в сферический слой равномерно распределенными изгибающими моментами М, нор­ мальными силами Г, действующими на торцевой конической по­ верхности 0 = а, и внутренним давлением р (рис. 5.6).

Аналогично предыдущему предельное пластическое напря­

для внешней зоны сферического слоя находим

Согласно формуле (5.67), учитывая граничные условия на внутренней и внешней поверхностях, для удельной нормальной

силы находим

Полученные формулы (5.75) и (5.76) устанавливают соотно­ шения между внешними силами при предельном состоянии сфери­ ческого слоя.

На нейтральной сферической поверхности г = р имеем разрыв напряжений [аф] = [а0] = 2 V 3 + 1/2р.

Очевидно следует присоединить скорости деформаций и скорости пе­ ремещений

причем в этих выражениях р определяется согласно (5.74). Приращение толщины слоя в нашем случае будет

Это значит, что характер изменения толщины слоя зависит от р. При зна­ чении

имеем dh = 0, т. е. в ходе деформирования толщина слоя не меняется. При р < ро толщина растет, а при р > ро уменьшается.

При приложении внутреннего давления р и нормальных усилий Г* в процессе деформирования коническая и сферические поверхности оста­ ются такими же, меняются только угол конусности и радиусы этих по­ верхностей.