книги / Пространственные задачи теории пластичности

ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ШЕРОХОВАТЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

Рассматривается пространственное и осесимметричное плас­ тическое течение идеально жесткопластического несжимаемого материала между шероховатыми жесткими поверхностями.

Задача о сжатии идеально пластического прямоугольного слоя между шероховатыми жесткими плитами впервые поставлена и решена Л. Прандтлем [142]. В этой работе, в условиях плоской деформации, определены компоненты напряжении, характеризую­ щие предельное состояние слоя. Далее А. Надаи [171, с. 268], исходя из решепия Праидтля, по жесткопластпческой схеме оп­ ределил характер скоростей перемещений при сближении жест­

определен характер течения идеально пластического материала через сходящийся канал, стенки которого жесткие, шероховатые и неподвижные.

Вышеуказанные решения имеют характерный для таких задач недостаток. На концах и в середине слоя эти решения недоста­ точно хорошо описывают картину пластического течения. Одна­ ко предельные нагрузки, определяемые по этим решениям, как показали дальнейшие исследования, дают достаточно близкие к действительности значения. С учетом реальных краевых условий для напряжений и поля скоростей перемещений методом теории линий скольжения решения этой задачи исследовано В. Соколов­ ским [166], Р. Хиллом, Б. Ли, С. Таппером [171, с. 262], Л. Ка­ чановым [98].

Л. Прандтль принимал, что касательное напряжение на по­ верхностях жестких плит равно пределу текучести при чистом сдвиге. Хилл снял это ограничение, вводя коэффициент, показы­ вающий «степень» шероховатости поверхности этих плит. Когда значение этого коэффициента равно единице, имеем случай, иде­ альной шероховатости, рассмотренный Л. Прандтлем. Нулевое значение коэффициента соответствует случаю идеально гладкой поверхности. С. Григорян [37] принял близкие к реальности ус­ ловия для касательных напряжений на поверхностях плит и ис­ следовал несимметричное течение пластического вещества.

Решение Ивлева представляется в форме: компоненты напряжений

Здесь, как обычно, компоненты напряжений отнесены к пласти­ ческой постоянной /с, а УоЬ/а и и>о — скорости сближения плит соответственно вдоль осей у и z.

Учитывая, что край х = О свободен от внешних лил, и исполь­ зуя условие равновесия части бруса

ах

^"Ь ^ '^Xz\z=a^'^' == 6, О о

определяем произвольную постоянную с\:

Далее используем условие сохранения массы. Поток материала через сечение х = const должен быть равен количеству матери­ ала, выдавливаемого плитами справа от этого сечения:

В частном случае, когда i>o = 0, из (6.1) — (6.2 ) следует из­ вестное решение Прандтля для плоской деформации

w = - w 0-j-, Хуг = rxz = V = 0.

§ 38. Вдавливание квадратного бруса

Пусть брус с квадратным поперечным сечением из идеально жесткопластического несжимаемого материала сжимается между двумя одинаковыми парами шероховатых плит, сближающихся с одинаковыми скоростями (рис. 6.2 ). Такую гипотетическую за­ дачу, как и в предыдущем случае, практически можно реализо­ вать, оставляя для движения плит необходимые зазоры в узлах (±а, ±а, z), где 2а — сторона квадратного поперечного сечения бруса.

Учитывая симметрию задачи, рассматриваем область 0 ^ х < а, 0 ^ у ^ а. Принимаем следующие граничные условия:

Далее используем условие сохранения массы: количество ма­ териала, протекающего через сечение z = const, равно количеству материала, выдавливаемого плитами.

Тогда имеем следующее равенство:

а а

|' § wdxdy + 2av0 (l — z) — О,

о о

L определяются по (6.9) п (6.10), представляют решение постав­ ленной задачи. Полученное решение в некотором смысле можно сравнить с решением Хилла [171] о вдавливании пластической массы внутрь сжимающейся шероховатой цилиндрической втул­ ки. Если переходить к цилиндрическим координатам, то из (6.7) и (6.8) следуют соответствующие формулы работы [171] для ци­ линдрической трубы, радиус которой равен а.

§ 39. Задача Надаи

Напряженное состояние при течении идеально жесткопласти­ ческого несжимаемого материала через клиновидный сходящийся канал с неподвижными шероховатыми стенками в условиях плос­

ваемом случае является статически определимой. Для трех ком­ понент напряжений имеем дифференциальные уравнения равно­ весия

1 д\г 0

и условие пластичности

Имеем граничные условия

Знак плюс перед радикалом обусловлен тем, что аг —о0 пропор­ ционально, с положительным множителем, выражению —2 е0>О .

Полуобратным способом, принимая, что тг0 не меняется в ра­ диальном направлении, и подставляя (6.14) в уравнения равно­

Интегрируя, будем иметь

Поскольку в (6.17) бия)) должны иметь положительные зна­ ки, то в (6.18) с также должно быть положительным. Кроме то­ го, во избежание обращения подынтегрального выражения в (6.18) в бесконечность, с должно быть больше единицы.

Удовлетворяя второму граничному условию (6.13), т. е. ^(a)== = я/4, для определения с получаем уравнение

Зависимость между с > 1 и а графически показана на рис. 6.4. Нормальные компоненты напряжения (6.14) и (6.15) при по­ мощи (6.17) можно представить

в форме

Or = ae + 2 cos 2г|э, с 0= Н — 2с In г -

видной массы при заданной силе вдавливания.

Приведенное решение получе­ но А. Надаи [197] в 1924 г. На основании этих формул можно построить кинематически возмож­

и следующие соотношения между компонентами скоростей де­ формаций и напряжений:

Поперечная компонента скорости перемещения равна нулю на оси и на стенке, следовательно, естественно принять v = 0 по всему объему клиновидной массы. Тогда из условия несжимаемости ег + е0= 0 находим

где ^(0) — произвольная функция. Далее, представляя соотноше­ ния (6.20) в виде

g' + 2gtg 2г|:=0.

Решая это уравнение, для скоростей перемещении окончательно получим

следует, что расход материала через любую цилиндрическую по­ верхность /* — const один и тот же.

Поле скоростей перемещений (6.22) найдено Р. Хиллом [171].

§ 40. Течение между цилиндрическими трубами

Рассмотрим течение идеального жесткопластического несжи­ маемого материала между двумя шероховатыми соосными, вра­ щающимися вокруг своей оси и одновременно сближающимися с радиальными скоростями цилиндрическими трубами (рис. 6.5).

Рис. 6.5

К таким гипотетическим задачам, как и в [171], конечно, следует отнестись с некоторой условностью, связанной с труд­ ностью их практической реализации. Однако анализ такого рода картины напряженно-деформированного состояния может быть по­ лезен для разбора, оценки и заключения в других ситуациях, близких к рассмотренной.

На внутренней г = а и внешней г = Ь цилиндрических поверх­

ховатости труб, удовлетворяющие по кольцевому и продольному направлениям условиям

0^ т\ + п\ 1, i\ + i2 Ф 0.