Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Пространственные задачи теории пластичности

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

37.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3920 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

луплоскость исследована в работе Р. Хилла, Е. Ли, С. Тан нера [191].

Среда полупространства считается несжимаемой и подчиня ющейся соотношениям теории течения идеально жесткопласти ческого тела с условием текучести Губера — Мпзеса.

Принимается, что на контактной поверхности возникают ка сательные напряжения, значения которых главным образом за

висят	от	шероховатости этой
поверхности.			сферическую			си
Используя
стему координат, полагаем,						что
пластическая			область,		образу
ющаяся вокруг жесткого конуса
с углом 0 = а, ограничивается
некоторой		конической			поверх
ностью с		углом 0 = р,			положе
ние которой			подлежит		опреде
лению в ходе решения задачи.
Далее	принимаем,			что	область
пластического течения ограничи
вается	поверхностью г = 7?(0),
свободной		от	внешних		нагру
зок,	форму		которой		также
следует определить.						и
В	работе		А. Багдоева				Рис. 7.7
А. Ванцяна			[16]	в несколько

иной постановке рассмотрена задача внедрения в идеально пла стическое полупространство.

Сферическую координатную систему свяжем с жестким ко нусом так, чтобы начало координат совпало с вершиной, а ось 0 = 0 прошла по оси конуса (рис. 7.7). Для определенности при нимаем, что вращение конуса происходит в сторону уменьшения азимутальной координаты ср. Допускается, что в пластической области радиальная скорость перемещения имеет положительное

направление.	теории идеально жесткопластического	течения
Соотношения	теории идеально жесткопластического	течения
в сферических	координатах в рассматриваемом случае	осевой

симметрии состоят из дифференциальных уравнений равновесия (2.55), соотношений между скоростями перемещений и скоростя ми деформаций

ди				о	1 dw	w	.	л
ег~ ё ? '				2Y0<P — T i e		r	ctg0.
и	,	1	dv	г,	dw	w
еа = Т	+	7 й ё’				,
и		v	. /ч	о	dv	v .	11	ди

e <f = — + — ctg -Yre —<7 ~ 7 + 7 I p

зависимостей между компонентами скоростей деформаций и на

пряжений er = X(ar —о),		....	Кге=Лтге,	и условия текучести
Губера — Мизеса	(2.57).	Полагается, что здесь также			компо
ненты напряжений отнесены к пластической постоянной к.
На контактной поверхности между конусом и средой при
нимаем условия
тГ0= Ши	Твф =	пи	v = V sin а	при 0 = a.	(7.35)
Здесь V — скорость внедрения конуса, тп\				и п\ — заданные поло

жительные постоянные — степени шероховатости конической по верхности по радиальному и тангенциальному направлениям со

ответственно. Очевидно, что тп\ + 77^ ^ 1 .

На граничной поверхности пластической зоны 0 = р прини маем нормальную скорость перемещений непрерывной, а танген циальные — разрывными. Тогда полагаем

у = 0, уте —°°, ЧеФ 00 при 0 = р. (7.36)

На свободной поверхности следует соблюдать условие отсут ствия внешних сил.

Далее, имеем условие сохранения массы: объем внедренной части конуса должен равняться объему вытесняемого материала.

2. Представление решения. Решение уравнений теории пла стичности (5.15) — (5.17), в частности, может приближенно опи сывать рассматриваемое здесь течение материала вокруг внедря

емого конуса. Принимая в (5.15) и				(5.17) Л =		р, =	0, из	пер
вого дифференциального уравнения получаем
		Tre =	G c t g 0 + ^ ,
где	Q — произвольная	постоянная. Используя граничные						усло
вия	(7.35), находим
	sin a cos 0 — cos (3			sin 8 cos a — cos 0				(7.37)
	тГ0 = х (0) = тхsin 0 cos a — cos p			1sin 0 cos a — cos p				(7.37)
				ТПп——p:-----------------5,
где	777-2 — неизвестная	положительная постоянная.					Остальные
компоненты (с заменой / на —/ sin 0)				представятся в следующем
виде:
	о* =	о0-	у /, а, =	ое — 2%f,
					0_
<т0 = _ Pl + A ln - f -		ЗА	+ 35 In ^		4 - 2	Г у / ctg0d0,
	i			tg—		~
	V 1 — x2							(7.38)
	V 1 — x2
	1 =		Т 0 Ф =	У ^ Л	т г ф =	— у - ф ,

/ ; ' 2 + r 2 + V ’

где / и ф — произвольные функции 0, а рь					тпч, (1, /?1 = Д (а ) —
положительные неизвестные величины,
.	тпл sin а + m. sin В			тплsin а cos Р + m cos а sin р
Д	___ 1	*	R __	1	;_______________________
	cos а — cos р		’	cos а — cos р
Принимая в		(5.16)	также	C = D = N = M = 0, для скоростей
перемещений будем иметь
и = —/ ' sin 0 — 2/ cos 0,				17 = 2 /sin 0,	и? = 2фвт0. (7.39)
Сопоставляя выражения тге по (7.37) и по					(5.15), а также пре
образуя	второе	уравнение (5.17), приходим			к следующей систе

ме дифференциальных уравнений относительно функций / и ф:

/" + 3/' ctg е +			К/'+Ч>'+я\|>г =			О,
i\|)' V l — т2 sin2 0			__ 3\\|iV i	— т2 sin2 8	=	0.	^
V г г + у 2+		t f - )	/ F +	r * +Т*
Согласно (7.35), (7.36) для этой				системы	уравнений		нахо
дим граничные условия
	У		\/	при		0 = ос,
			\/	1 — 1			(7.41)
							(7.41)
/ =	0,	ф' -► <» при 0 = р.
В формуле Теф из	(7.38),		переходя к пределу при 0->Р п
учитывая, что при этом ф '			«>, имеем зависимость между m2 =
^= -т(Р ) и л2 = т0ф(Р),
		Ш2 =	Y 1 — /20-

Это значит, что граничная коническая поверхность 0 = р меж ду пластической п жесткой зонами является поверхностью скольжения.

§ 52. Соотношения между параметрамп внедрения

Рассмотренная здесь задача внедрения вращающегося же сткого шероховатого конуса в идеально жесткопластпческое не сжимаемое полупространство описывается полями напряжений (7.37), (7.38) п скоростями перемещений (7.39), где входящие д эти выражения функции / и ф удовлетворяют системе диф ференциальных уравнений (7.40) с граничными условиями (7.41).

Наряду с этими функциями следует определить форму сво бодной поверхности г = Д (0), положение граничной между пла-

13 м. А. Задоян

стической и жесткой зонами поверхности 0 = р, а также пара метр П2 = Т0ф(Р).

Исследуем равновесие конусообразной трубы (рис. 7.8), за нимающей пластическую область г ^ £ ^ / ? ( 0), а < 0 ^ р . При равнивая нулю сумму проекций всех сил, действующих на по верхностях мысленно выделенного тела в направлении оси 0 = 0,

а также приравнивая нулю сумму моментов всех сил относи тельно этой оси и учитывая, что поверхность г = Д (0) свободна от внешних сил, получаем

«1

J [ае (г, a) sin а — т1cos a] sin аг dr — ^							>P)sinp +
4- mt cos Pj sin pr dr —			J	(ar (r,	0) cos 9 — x,e (9) sin 0] r2 sin 0 d9 = 0,
„						,		(7A2)
f 1				,2		^	тгфг3 sin2 0 dQ =	0. (7.43)
J	sin2 ar2 dr — j			n2sin2P/*2dr + j
Здесь	i ?2 = # ((}). Подставляя				в	(7.42)	выражения	компонент
напряжений и производя интегрирование, получаем
Р1 =		mlSin2a +	v2^ 2 sip2P			v2 sin2 ft (Z) 4- Л In v)		A
		2 (v2 sin2 P — sin2 a)				v2 sin2 p — sin2 a

v =

°	- З Л ' " § f + 3 S ‘ " - U S - - 2 J yf c t » 9 « .

Далее, интегрируя второе уравнение (7.40), находим

п2sin2 р — пг sin2 а 3 Х'Ф		9 d9 = 0.
Исключая при помощи этого	соотношения	последний интеграл
в (7.43), получаем
_sin2 а
2	V3 sin2 Р

Кроме функций / и *i|), остается определить также функцию /?(0) и параметр р.

При определении формы свободной поверхности	г = 7?(0) бу
дем игнорировать роль тангенциальной компоненты касатель
ного напряжения в процессе формирования этой	поверхности

по отношению к остальным компонентам ап и т»3 (рис. 7.9). Из условия равновесия элемента вблизи свободной поверх


ности г = Д (0)		в меридиональной плоскости на площадке		с нор
малью п имеем		[88]
оп =	ог (7?, 0) cos20* + Ое (Д, 0) sin20* +		тГ0(0) sin 20*,
Tns =	[oe (7?, 0) — or (7?, 0)] sin 0* cos 0* +		тге(0) cos 20*,

где 0* = 0n — 0, a 0n — угол между нормалью n и положитель ным направлением 2.

Пусть параметрическое уравнение линии пересечения свобод ной поверхности с меридиональной плоскостью задано в виде р = р (0), z = 2 (0). Тогда

sin 0П	cos0n	(7.45)
Вводя функцию со (0)		(7.46)
R =	-Л _е®(в)	(7.46)
	cos р

где h = Vt = Т?2 cos р — заданная			глубина, t — время внедрения,
и	переходя	к полярной системе координат		р = 7? sin 0, z =
=	R cos 0, пз	(7.45) получаем
		tg 0 — (o'		(7.47)
		tg 0n = 1 +	(o' ctg 0	(7.47)

Составим выражение, характеризующее интенсивность внеш них сил,

Т = On (G) + т /is (0),

и определим 7? из условия минимума Т по 0П. Дифференциро вапием и использованием (7.44) находим

дТ	(7.48)
— 2 ( ( Г г + CTQ ) т п $«

Полагая в рассматриваемой задаче аг + 0е < О и приравнивая нулю правую часть (7.48), получаем т„я= 0. Тогда

0,, = 0 + i a r c t g - J ^ - .		(7.49)
“	°г ~~ а0

Для этих значений 0Пиз (7.48) определяем

= — ( о г + Од) У ( о г — Од)2 + 4 x ^ 0 > 0 .

50п

При таком определении 0П функция Т получает минимальное значение. На поверхности г = 7?(0) имеем т„3= 0, а нормальное напряжение будет

С Г п ( 0 ) = 0 0 ( Я , 0 ) + - j [ 0 r — 0 0 + ] / " {O r — G g f + 4 X r 0 j .

( 7 . 5 0 )

Подставляя (7.49) в (7.47), определяя со', а затем учитывая выражение компонент напряжений (7.37), (7.38), из (7.46) находим

R =	COS0 exp		2iе / ( 1	т V V N -Г 2 +		<20	V i -
			2iе / ( 1	+ ЗТ2) / '2 + 4т2 W 2+..1\|>2)‘- f			V i -

Соответственно будем иметь
v = exp			_____ T V f'2 + V 2+		^ <20	Vi _
v = exp		i\ V (i + 3г2)/'2 + 4т2(^ 2 +			V2) - f		T2
		i\ V (i + 3г2)/'2 + 4т2(^ 2 +			V2) - f		T2
Условие сохранения количества масс дает
			R±cosа
			j	Р4 z = ± R\ sin2 a cos a.
			h

т2

(7.51)

(7.52)

Переходя к полярным координатам, получаем

Г е3Wsin3 0 (1 — со' ctg 0) d0 =	sin2 a cos a.
J	3v
a

Исключая со' при помощи интегрирования по частям, приходим окончательно к уравнению

	Р
Гехр 6Г-7----x/^+ ^+j^dS--		sin0 d0 =
a	§ V {i + Зт2) / ,8+ 4т2('1з'2 + У2) — /' ]Л — т2
	= 4	sin2 р cos р, (7.53)

которое	вместе	с	системой	уравнений (7.40) при	граничных уст
ловиях	(7.41)	определяет		функции /, г\|э и параметр р.
Правая часть			(7.53)	представляет собой	параболу у =

=(1 —х2), где х = cos р, а левую, примепяя теорему о среднем,

можно представить двумя прямыми вида у = С (cos а — х ) . Пере сечение этих линий доказывает существование корня р > а.

Сила давления конуса на среду равна

Р = — 2л sin а \ [ое (г, a) sin а — П1хcos aj г dr.

Условное напряжение, приходящееся на основание внедрен

ной части	конуса, т. е. р =	P/(nR\sin2a),			назовем	удельным
давлением. После вычисления интеграла получаем
т1 sin 2a + m2v2 sin 2p + 2 [v2 sin2 p (D +				A In v)l	+ ml ctga. (7.54)
	2 (v2 sin2 P — sin2 a)				+ ml ctga. (7.54)
	2 (v2 sin2 P — sin2 a)
Нетрудно	получить также зависимость			между силой		давления
и глубиной внедрения
	Р = Nh2,	N = яр sin3*a				(7.55)
		v2	cos2 P
При	вводя новые	функции	$(0) и		ф(0) при помощи
соотношений			Vi+s-
	\р' =	— \р-	Vi+s-			(7.56)
	\р' =	— \р-				(7.56)

V ^ - T - — ф2’

систему (7.40) сводим к системе дифференциальных уравнений

s '- 3 s c t g 9 +	-■ ф + 2т^			/ Г + 1 5	= 0,
	V1	—т2—Ср2
ф' + 2ф ctg 0 +	35		V i	— т2 — ф2	== о
	Vi
при граничных условиях
Ф = п\ при 0 = а;			ф = П2 при 0 =		р.

Компоненты напряжений (7.37), (7.38) преобразуются к виду

dr =	Пе +	V 1 + S2	*[/4 — Т 2 — Ф2,

(Тф =	сте +	2	/ l — т2 — Ф2,

/ г г ?

<Т0	----- P , + 4 1 n - £ - 3 X ln i!ii + 3B ln-S\|!^					+
<Т0			sin а		tg (a/2)
					0
					1^*1 — T2 — ф2 ctg 0 d0,
				+’J- / Г + **
	_	sin a	cos 9 — cos ft		2	sin P cos a — cos 9
	ТГ0 T	m1 s^nQ cog a — cos p		'	sin0	cos a — cos p*
				'	sin0	cos a — cos p*
		Т0Ф — S,	ТГф —	= - / 1	— T2 — A
			V T

Определяя из дифференциальных уравнений (7.56) функции /(0 ) и 'ф(в) при граничных условиях (7.41) для / и подставляя в выражения скоростей перемещений (7.39), находим

где обозначено

Форма свободной поверхности определяется из (7.51)

/	Э
/	р	/ г
Д = COS р ехр (4		/ г
Д = COS р ехр (4		1 + Зт2+ 4T2S2 — ф2 + V 1
Уравнение (7.53) приводится к виду
V1 + Зт2		т V 1 + s2 dQ____________	sin	0 d0 =*
	4TV~ — ф2 + 1^1 —т2 — ф2		sin	0 d0 =*
	4TV~ — ф2 + 1^1 —т2 — ф2			А
			=	А
			=	-jsin 2p cosp.

Удельное давление определяется согласно формуле (7.54), причем входящее в нее v и D имеют следующий вид:

[

9 Г___________ т V 1 -f s2

V “

6ХР {

I + 3T2 + 4TV - ( P2 +

, ____ ^------5

D =

- ЗА In 4 ^ 1

+ 35 111 -l-Sj P/ol

2 Г

Ctg 8 d9.

sma

tg(а/2)

Ha поверхности

r = i?(0) нормальное

напряжение будет

равно

—

о л i„ sin0

. qn 1

tg (0/2)

ffn= — Pi —

•+ 3 В In to

tg (a/2)

+ 4a

1 — T~ — Cp2 ctg 0 d0 —

V i +

/ l

+ s2 d0

1 / 1

—L- C2 /7ft

_2A Г

V ^ l - f

3x2 +

4T V 2 — Ф2 +

V ^ l — x 2 — ф2

H- - - -- r-- - - -,

■( V i

T32

T42S2

— cp2 + V i —T 2

— cp2 ) .

2 К

1 + 5

Согласно полученному решению на свободной поверхности вследствие приближенного удовлетворения граничным условиям на этой поверхности «появляются» внешние нагрузки. Влияние этих сил на напряженное состояние пластической области вдали от свободной поверхности полагаем незначительным. Для полу чения полного решения задачи необходимо найти еще поле на пряжений в жесткой области, удовлетворяющих дифференциаль ным уравнениям равновесия, граничным условиям на свободной поверхности, условиям сопряжения на граничной поверхности между пластической и жесткой областями, а также ограничен ности в бесконечности.

§ 53. Внедрение конуса в полупространство без вращения

Пусть жесткий шероховатый конус с постоянной скоростью внедряется в полупространство из идеально жесткопластического несжимаемого материала [70]. Будем исходить из постановки задачи и решения, приведенных в предыдущих двух параграфах, полагая, что конус вдавливается без вращения или вращается, но боковая поверхность в тангенциальном направлении — иде ально гладкая. Полагаем

-ф(0) = п\ = лг2 = 0, тп\= т , яг2 = 1 .

Принимаем следующие граничные условия:
v = V sin а, тГ0= тп\ при 0 =	а.
На граничной поверхности пластической	зоны 0 = р прини

маем нормальную скорость перемещения непрерывной, а тан генциальную разрывной, т. е.

v = 0, 7гб —00 при 0 = (5.

Второе уравнение (7.40) удовлетворяется тождественно, а из первого приходим к линейному дифференциальному уравнению

/ ' + ( 3 c t g 0 - y J = y ) / ' - °

с граничными условиями

/ = -- V при 0 = а; / = 0 при 0 = р,

решением которого будет

Формулы для отличных от нуля напряжений (7.37), (7.38) упрощаются и принимают вид

ar = o0+ VI — т2, аФ= о0+ 2 V1 — т2,

т _	= т sin а	cos 0 — cos Р
г0	sin 0	cos а — cos р

sin р cos а — cos 8 sin 0 cos а — cos p'

Соответственно для отличных от нуля скоростей перемеще ний (7.39) будем иметь

и =	V	cos 0,	sin0.
	2 / (а) sin2 0

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3920 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20235.32 Mб0Промышленные роботы. Ч. 3.pdf
#
12.11.202314.26 Mб0Промышленные системы водоснабжения и водоотведения. Ресурсосберегающие технологии очистки воды.pdf
#
12.11.202311.05 Mб1Промышленный экологический анализ..pdf
#
12.11.202314.59 Mб4Пространственная модель турбулентного обмена..pdf
#
12.11.20238.66 Mб1Пространственное развитие городских систем..pdf
#
19.11.202337.49 Mб0Пространственные задачи теории пластичности..pdf
#
12.11.20236.9 Mб1Противопожарное водоснабжение..pdf
#
12.11.20231.49 Mб0Прототипирование сетевой системы управления. Разработка Windows-приложения удаленного контроллера прототипа робота-официанта на базе PROMOBOT V.4.pdf
#
12.11.20231.35 Mб2Профессии в горной промышленности..pdf
#
12.11.2023588.52 Кб2Профессионально-прикладная физическая культура студентов технического университета..pdf
#
12.11.202312.87 Mб8Проходческо-очистные комбайновые комплексы калийных рудников. Ч. 1.pdf