книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfможно пренебречь, то соотношения |
(8.9) и (8.10) |
дают |
||
* . . - ± 0 |
|
s.. |
(8.14) |
|
13 |
2о0 |
13 |
|
|
или в скоростях: |
|
|
|
|
|
ео |
|
|
(8.15) |
ЕЪ‘ — |
2а |
|
Si*' |
|
|
|
|||
причем к этим зависимостям следует присоединить еще и условие упрочнения (8.3).
Соответственно из (8.13) |
будем иметь |
|
ds>ij |
SijF (GQ) doo. |
(8.16) |
Приведенные в (8.14) или в (8.15) зависимости при учете условия (8.3), а также соотношения (8.16) устанавливают за коны деформирования жесткопластических упрочняющихся тел. Эти соотношения являются обобщением соответствующих урав нений Сен-Венана — Леви — Мизеса при учете упрочнения ма териала.
§ 56. Теория упругопластических деформаций
Деформационная теория пластичности или теория упруго пластических деформаций, предложенная Г. Генки [30] для идеально пластического тела, была обобщена Р. Шмидтом [183] для упрочняющихся пластических тел. Теоретическое и экспери ментальное исследования этой теории приведены А. Надаи [121].
Рассматриваемая теория устанавливает конечные завнсимости между напряжениями и деформациями. Аналогично случаю иде ального пластического тела в основу теории упругопластических деформаций упрочняющихся тел положены допущения: 1) тело изотропно, 2) относительное изменение объема является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению, 3) девиаторы деформаций и напряжений пропорциональны, 4) выполня ется условие упрочнения, заданное определенной зависимостью между интенсивностями касательных напряжений и деформаций сдвигов.
Эти положения сводятся к следующим зависимостям:
ец = |
е = Ко, |
(8.17) |
где г|э — некоторая скалярная функция пропорциональности, К — коэффициент объемного сжатия. В упругой зоне \f>=l/(2G),
ав пластической о[э — неизвестная функция координат.
Ксоотношениям (8.17) в стадпи упрочнения следует присое динить условие упрочнения (8.2), которое удобнее представить
14*
в форме
Go = / (во) во
или
60 = ^(00)00,
причем /г(оо)/(ео)= 1, где / или F — определяемая из эксперимен та при одномерном деформировании функция. Она не зависит от вида напряженного состояния элемента.
Используя выражения Оо и ео, из (8.17) находим
Я|) |
1 |
е о |
л г / V |
1 |
|
2 |
- ^ = |
2 F ^ ) |
= |
||
|
2 / ( ео ) '
Тогда соотношения (8.17) перепишутся в виде
Eij = |
+ 2* ^ (<70) faij — ° sij) |
или, разрешая относительно напряжении,
Оу = |
Sij + 2/ (е0) (е^* eSij), |
(8.18) |
Если, следуя В. Соколовскому, исходить из выражения ин тенсивности деформаций
е° = |
V (е* — v.y)- + (еу — ez)2 + (ez — e*)s + 6 (y% + |
+ YM ). |
(8.19)
то получим
Тогда соотношения между компонентами напряжений и деформа ций примут вид
Оц— afiij = /(ео) (eij ~ 66,7), е = Кв.
Обращая относительно деформаций, находим ец = Квбц + F Ы ) {оц — стб^).
При развитых пластических деформациях принимают ц = 1/2, т. е. К = 0. Это означает, что при допущении о несжимаемости материала соотношение е = Кв заменяется условием е = 0, или
е*+ Ev + Ez = 0.
Соотношения (8.18) и (8.19) устанавливают однозначпые зависимости между компонентами напряжений п деформаций.
Возможности теории упругопластическпх деформаций, как уже было отмечено в гл. 1 , ограничены по сравнению с теорией течения, поскольку вопреки экспериментальным наблюдениям в
ней не отражается история предшествующего деформирования. Другими словами, пластическое напряженное состояние не за висит от пути нагружения.
Деформационная теория, как показывают работы Е. Девиса [39], А. Ильюшина [92], А. Жукова и Ю. Работнова [49—51], дает удовлетворительные результаты при простом нагружении или при нагружениях, близких к простому. В работе С. Христиановича и Е. Шемякина [175] рассматривается вариант идеально пластического тела, в котором, в частности, расширяется поня тие простого нагружения.
Эти рассуждения ведутся в предположении малых деформа ций, Простое нагружение, как показал JI. Седов [152], в общем случае нагружения при больших деформациях неосуществимо.
Несмотря на указанные недостатки, из-за сравнительной простоты и доступности по сравнению с теорией течения теория упругопластических деформаций находит частое применение в анализе напряженного состояния элементов конструкций, мате риал которых обладает свойством упрочнения.
В работе Р. Киракосяна [100] в рамках теории малых упру го-пластических деформаций с помощью минимальных принци пов установлены некоторые неравенства, связывающие решения краевой задачи в линейно-упругой постановке и в постановке
сучетом упрочнения материала.
§57. Общие уравнения теории
упругопластических деформации упрочняющихся тел
Приводятся общие уравнения и соотношения теории упруго пластических деформаций упрочняющихся тел в различных си стемах координат.
1. Уравнения в прямоугольных координатах. Общие уравне ния в этих координатах состоят из следующей системы уравне ний и соотношений:
дифференциальные уравнения равновесия (движения)
(8.20)
где Fi, pwi — проекции объемных и инерционных сил соответ ственно;
соотношения между компонентами деформаций и переме щений
( 8.21)
закон упрочнения материала
ИЛИ |
|
ео = ^(0о)сго, |
|
(8.23); |
|
причем F(oo)/(eo) = 1> |
|
||||
|
|
|
|
||
°0 = Т7sV r (°x ~ °у)г + |
(°V — °*)2 + |
(°г — а*)2 + |
6 ( T*V + |
Х\г + х|г), |
|
|
У 6 |
|
|
|
(8.24) |
|
|
|
|
|
|
е0 = |
У {е х — £у)2 + |
(гу — ег)2 + |
(е* — е*)24+ |
6 (?£ „+ |
у$z+ Yxz), |
зависимости между компонентами деформаций и напряжений |
|||||
|
Oij — o6ij = 2f(e0) (sy — e6ij). |
|
(8.25) |
||
Если принять |
|
|
|
|
|
е0 = |
^ = у Г(ех — еу)2 + (е„ —е2)2 + (е2 —ех)2 + 6(-у2у + у\г + y l2), |
||||
то зависимости компонент напряжений от деформаций имеют
следующий вид: |
(8.26) |
Oij —обц= /(&о) (е# - еб„). |
Закон объемной деформации:
е= Ко,
апри допущении несжимаемости материала он запишется в виде
е*+ еу+ е 2= 0.
2. Уравнения в цилиндрических координатах. Дифференци альные уравнения равновесия (движения):
dr ^ |
г |
50 |
|
5z |
|
5 _ _ ! е + Дг = 0 (= р а ), |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.27) |
||||||
dXrQ |
. |
1 |
daQ |
|
. |
д%вг |
|
Н— “ ■+ |
й е = |
0 |
(= |
ру), |
||
dr |
"* |
r |
50 |
|
' |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
дт + |
|
|
0 Z |
+ |
|
- ^ |
, |
Trz |
+ |
й |
2 = |
0 |
( = |
ры ;), |
г |
|
50 |
|
|
+ - ^ |
|||||||||
где й г, . . рй, |
... — проекции |
|
массовых |
и инерционных |
сил |
на |
||||||||
направления соответствующих осей.
Соотношения между компонентами деформаций и переме щений:
= |
ди |
|
дГ1 |
||
|
и |
, 1 dv |
ее = " Г |
+ ~Т 1 0 ’ |
|
е2 = |
dw |
|
Hz' |
|
|
2Тех = 1Г |
+ |
50 ’ |
|
0 |
5а |
5а; |
|
2Тг* |
dz |
5г 1 |
, 1 да |
о |
5у |
I; |
|
о |
5у |
I |
5ш |
2 ^ 9 = - ^ - — + — ^ .
Закон упрочнения материала: |
|
|
|
||
|
|
0о = /(е о)ео, |
|
(8.29) |
|
00 = |
^71 У |
“ а0)2 + (ае “ а^2 + |
^аг — аг)2 + |
6 (т*в + |
Т02 + т” )’ |
|
|
|
|
|
(8.30) |
ео = |
*з* ^ |
far — ее)2 + (ее — е2)2 + |
(е2 — 8г)2 + |
6 (у?9 + |
Yez + т?2). |
Зависимости между компонентами напряжений и деформаций:
|
аг — о = 2/(ео) (ег —е), |
тгв = 2/(е0) Yre, |
(8.31) |
Если же за интенсивность деформаций принять |
|
||
с0 = |
К (сг — Се)2 + (ее — е2)2 Ч- (е2 — ег)2 + 6 (у?е + |
Ye* + Yrz)» |
|
|
|
|
(8.32) |
то соотношение между компонентами напряжений и деформа ций имеет вид
аг~ а = /(е 0) (ег- е ) , тге = / ( е 0)^го, (8.33)
Закон объемной деформации:
8 =*Ко\
этот закон при допущении несжимаемости материала запишется в виде
8Г + 8о + е2 = 0.
3. Уравнения в сферических координатах. Имеем следующие уравнения и соотношения в сферических координатах г, 0, <р:
дифференциальные уравнения равновесия (движения):
д ° г |
|
1 |
дтг0 |
1 |
дхгц> |
|
|
dr |
|
г |
*00 |
rsin0 |
дф ' |
|
|
|
|
|
+ -jr (2<Тг— (Те — Стф+ Тгеctg 9) + |
i?r = |
0, (= pu), |
||
^ 4 - 1 1 ^ 4 - |
1 |
gTe<P , |
|
|
|||
dr |
|
г |
00 |
r sin0 |
0ф |
|
|
|
|
|
H— — [(CTQ— cr<p) ctg 0 + 3tr0] + |
RQ = |
0, (=py), (8.34) |
||
grg |
, |
1 |
аТ6Ф , |
1 |
^ |
|
|
0r |
"* |
r |
dO |
г sin 0 дф |
|
|
|
4— — (2т0ф ctg 0 + ЗтГф) + Дф = 0 , (=рм>),
где Дг, . . pu, . . . — соответствующие проекции массовых и инер ционных сил;
соотношения между компонентами деформаций и переме щений
ег = |
ди |
|
|
n |
|
1 |
до . |
1 дго |
го |
. |
л |
|
|
2УбФ |
г sin 0 |
+ |
г <90 |
г |
® |
* |
|||
60 = |
и |
1 ди |
_ |
|
1 |
ди . dw |
w |
/Q о г\ |
|||
"Г |
+ Т 1 9 ’ |
2Vrg> = |
ТЖё |
+ 17 “ Т ’ |
<8,35) |
||||||
е,р= — + “ |
ctg0+ 7Же1ф’ |
2Vr0_a7 |
г |
+ г W |
|
|
|||||
закон упрочнения материала |
|
|
|
|
|
|
|
||||
°о = |
/ (ео) е0’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ст° = |
|
(ог — Не)2 + (сте — стф)2 + (стф — <тг)3 + |
б (т 2е+ |
^0ф+ т?ф), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.36) |
|
е0 — |
|
j/"(cr — ее)2 + |
(ее — еф)2 + |
(еф — 8г)2+ |
6 (y?e+Ye<p+Т?ф)’ |
||||||
зависимости между компонентами напряжений и деформаций |
|||||||||||
|
|
|
Он— аб« = 2/(ео) (eij — еда); |
|
|
(8.37) |
|||||
закон объемной деформации |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
е = Ко, |
|
|
|
|
|
|
|
который |
при |
допущении |
несжимаемости |
материала |
запишется |
||||||
в виде |
|
ег + е0 + |
еФ= 0. |
|
|
|
(8.38) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Отметим, что при степенном законе упрочнения о0 = AeJ1; если перейти к пределу при т -+■0, то придем к условию Губера — Мизеса для идеально жесткопластического тела.
§ 58. Общие уравнения в криволинейных координатах
Приведем общие уравнения теории упругопластических де формаций упрочняющихся тел при малых деформациях в криво линейных ортогональных координатах. Пусть точка в пространст ве однозначно определяется в криволинейных координатах из вестными соотношениями х = х(ос, Р, у), у = у (a, (J, Y), z = = z(а, р у). Линейный элемент по координате a f определяется соотношениями
* • - * • * “ • * • - / ( £ , ) ■ + ( 1 У ’ + ( £ ) * •
где a i= a , « 2 *=?, аз = Т- |
Здесь параметры #* называются |
коэффициентами Ламе и |
удовлетворяют дифференциальным |
соотношениям |
|
|
|
± ( ± д Б \ , ± ( ± ?£Л , ± д£_1 дЬ _ л |
|
||
Ц А 0а ) + ар (я 2 ар ) + н% д у |
д у - и’ |
|
|
± ( 1 а я л |
1 а я 1а я 2 |
(8.3 |
|
ар [ н 3 д у ) |
н2н3 ар |
ау _ и - |
|
Остальные две пары уравнений можно получить из (8.39) |
цикли |
||
ческой перестановкой индексов. |
|
|
|
1.Общие уравнения. Имеем следующие системы уравнений
исоотношений:
дифференциальные уравнения равновесия [128]
А (Н2Н3оа) + ± ± |
(Я*Я3т«э) + |
№ .* « » ) - |
|
|
|
|
|
|
|
1 дУ |
OIL |
|
|
|
|
|
|
|
г г |
д11ч |
|
||
|
|
|
|
#2 |
-ГГ |
Оу — |
О , |
^ -(В Д о р ) + ± ^ (Я ^ з Т а р ) + w H H& 4 v ) ~ |
|
|
|
|
|||
н2д* |
н |
. ау |
|
|
|
|
|
|
|
эн, |
ая, |
Оу = 0, |
(8.40) |
||
|
Я з "рр" |
Я 1 |
|||||
■^(Н^Оу) + 1 . ± { н м 1 х Лу) + ± J L ( HlHl4 y ) - |
|
|
|
||||
|
" я ар |
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
« " г |
г г |
З Я 2 |
п |
|
|
|
- Н * |
-а7 ст“ - |
я 1 |
ад у7 аР = |
0’ |
|
здесь массовые и инерционные силы приняты равными пулю; соотношения между компонентами деформаций и перемещении
1 да |
I |
1 |
ая, |
1 |
1 |
0 " , |
|
" l да |
" А а ар |
1 7) |
|
|
|||
|
у + " А з 0у |
||||||
1 да |
1 |
1 |
ая, |
|
|
1 |
* " 2W, |
2 7/ 4- |
|||||||
" . ар |
|
" А . 0а |
|
^ " А з 0у |
|||
1 до; |
|
1 |
д" |
|
, |
1 |
5"з |
"з ау + |
" А з |
|
|
|
" А з ар |
||
Pap : |
" . А 1А |
^1 ^ / а \ |
(8.41) |
|
Н1 да \П2) |
Я, ар [HJ' |
|
||
0 |
н„ а |
/ «л |
",II,_аа_ /v \ |
|
^epv “ я 2 ар |
(//J + |
я3 ау U/J |
|
|
2е - |
- 3 5 |
|
|
|
^fcav — т |
А з /) + " з ^ й |
|
||
|
н 1 |
|
||
где и, у, ш — компоненты перемещений соответственно по а, (}, ч;
закон упрочнения материала |
|
|
|||
Оо = |
/ |
(8о) ео- |
|
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ |
|
а° = ^ |
]/ (а а — ар)2 + (op—av)2 + (av — аа)2 + 6 (tap + t |v + T „v). |
||||
е0 = |
]/- § - ]/" (еа — ер)2 + (ер — eY)2 + (ev — еа)2 + 6 (е„р + e|v+ e«v); |
||||
зависимости между компонентами напряжений и деформаций |
|||||
|
|
Oa —а = 2/(ео) (еа —е), |
хар= 2/(ео)еа^ |
(8.42) |
|
если принять |
|
|
|
||
е0 = |
^ |
|/~(еа — ер)2 + |
(ер — ev)2 + |
(ev — еа)2 + 6 (e£p + e|v + e«v), |
|
то вместо соотношения |
(8.42) будем иметь |
|
|||
|
|
Оа — о = /(е 0) (ев — е), |
тар = /(ео)евр, |
(8.43) |
|
закон объемной деформации |
|
|
|||
|
|
|
е = Ко, |
|
|
который при допущении несжимаемости материала |
запишется |
||||
в виде |
|
еа + ер + |
ет = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Уравнения в криволинейных цилиндрических координатах. |
||||
Рассмотрим случай, когда •у= z, а криволпнейпые ортогональные координаты а и р связаны с декартовыми прямоугольными коор
динатами х{а, Р) и у (а, |
Р) соотношениями Коши — Римана |
|
|
||
дх |
ду_ |
дх_ _ |
ду_ |
/о 1 |
*\ |
да |
“ яр’ |
д§ "" |
да * |
К |
} |
Для коэффициентов Ламе будем иметь
Я 1- Я , - Л ( а . Р ) - 1 / ( | [ ) , + ( » ) * Я . - 1 .
Тогда шесть тождественных соотношений между коэффици ентами Ламе (8.39) сводятся к одному уравнению
да [ Н да } |
д$ ( Н д$ ) ~~ |
|
|
||
В рассматриваемой |
системе координат, |
принимая |
Н\ = Н2 = |
||
= Я(а, р), Я3 = 1, из |
(8.40) |
для уравнений равновесия получим |
|||
£ (B < ,.) + ± - Lд${ H |
дТ„ |
дН |
л |
|
|
4 a,) + H‘ dz |
^да ае = |
°> |
|
||
1 |
д |
дТо |
дН ав = |
0, |
(8.45) |
|
|||||
Соотношения между компонентами деформаций и перемещений, следующие из (8.41), имеют вид
_ |
1 |
ди |
1 дН |
„ |
_ |
1 |
ди> |
dv_ |
|
е<х~ |
Н да |
+ в г ар V' |
ZeP* |
— |
Н |
дР + |
дг ’ |
|
|
__ |
1 |
dv |
1 дН |
9 |
1 |
|
dw |
ди_ |
(8.46) |
8Р “ |
ТГ~др+ tf2 da |
^8аг |
~~ |
Н |
да ^ |
д ъ ' |
|
||
Закон упрочнения материала
2=1 / (®о) eoi |
|
|
|
|
|
|
Q° = |
l7 t ^ ( а<х — а^2 + |
“ Qz)2 + |
(аг “ а<х)2 + |
6 ( т«э + Т1* + |
таз), |
|
|
|
|
|
|
|
(8.47) |
ео = |
| / -у }/" (еа — ер)2 + |
(ер — ег)2 + |
(ez — еа)2 + |
6 (вар + ерг + |
е^ ). |
|
Зависимости между компонентами |
напряжении и |
деформаций |
||||
|
оа — а =» 2/(ео) (еа — е ), |
тар = 2/(е0) еар, |
|
|
||
или, |
если исходить из |
выражения интенсивности |
деформаций |
|||
е° = j/ё |
— е^2 |
^ — е^2 |
^8v ~ 8°^2 ^ |
e^v |
8av^’ |
|
имеем |
Оа — о = / (е0) (еа — е), |
тар = |
/(ео)еар, |
|
(8.48) |
|
|
|
|||||
Закон объемной деформации |
|
|
|
|
||
|
|
е = Ко, |
|
|
|
|
который |
при допущении несжимаемости |
материала |
запишется |
|||
в виде |
|
еа + ер + ет = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Уравнения в |
тороидальных |
координатах. Точка |
(a, |
ji, *у) |
||
в этой системе координат определяется пересечением поверхно сти из трех семейств [105]:
торы а = const:
( У х - + у2 — a cth a )2 + z2 = -ГГГ'
sn а
сферы р = const:
и полуплоскости у = const:
проходящие через ось Oz, где а — постоянная.
Связь с декартовыми прямоугольными координатами дается
формулами |
|
|
|
|
|
|
|
z = |
pcosY, |
г/ = |
р sin 7, s = tfsin[}, |
|
|
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
a sh a |
|
________ а |
|
|
|
* |
ch а — cos р ’ |
ch а — cos Р * |
|
||
Здесь |
0 < а < о о ? —я < р < |
я, |
0 ^ у < 2я. На |
рис. |
8.6 представ |
|
лены |
следы поверхности а = const, р = const |
на |
плоскости у = |
|||
= const. |
|
|
|
|
|
|
Полагая |
Н \=Н 2 = Н (а, Р) |
и |
#з = |
р(а, |
Р), из (8.40) |
полу |
||
чим уравнения равновесия в тороидальных координатах: |
|
|||||||
ш |
+ 4 ~ k |
|
|
|
|
|
0Р, |
|
+ нг w - р Ш ' - и ё 0 ' " “ • |
||||||||
|г № °е> + 4• |
<Я»Р1 ,*) + |
Я» |
- |
р |
- |
Д f с , |
- о, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.49) |
W |
+ ^ |
S ’ W W |
+ |
^ - 4 |
W |
t Pv) - |
0. |
|
Соответственно, полагая в (8.41) / / i = / / 2 = //, //з = р, находим