книги / Пространственные задачи теории пластичности

Компоненты скоростей перемещении из (4.2) представим в следующей форме:

w = w0(г, 9) + 4г - ( еЦг — 1 ) <ог.

Вводя обозначения

дшт

Д = со2 — рг<;0, М = -^ f- — 2рсоГ2 + р2г/0,

(4.37)

N = — —jg----- 2|кое2 + |х-у0,

из выражения (4.36) определяем ег, ее и Yre.

Учитывая исходное допущение (4.30) и сопоставляя правые и левые части полученных равенств, приходим к простым систе­ мам дифференциальных уравнений

Подставляя сюда выражения со2, со02 и согг из (4.37), получаем

to* = p,u?o+ Ar cos 0 + Br sin 0 + С,

согласно (4.32), следует положить

Далее, подставляя (4.48) в (4.46), для компонент скоростей перемещений окончательно будем иметь

и = -----j ^ Ar2cos 0 — у (A cos 0 + В sin 0) z2— у Сг,

i; = + Br2cos 0 + у (A sin 0 — В cos 0) z2—- Z?rz — у CV0,

w = zr0(/*, 0) + Л/ z cos 0 + Brz sin 0 + Cz.

Таким образом, в конечном счете в рассматриваемом случае пластического течения задача сводится к системе из двух диф­ ференциальных уравнений (4.42), (4.43) относительно функции /(г, 0) и ср(г, 0).

3.Рассмотрим частный случай, когда соге = сог — со0= 0, т. о.

где x = sign (Ar cos 0 + Br sin 0 + С) . Для компонент напряжении

Соответствующее поле скоростей перемещений, если подста­ вить ф из (4.50) в (4.49), будет

и = — i (A cos 0 + В sin 0) (г24- 2г2) — 2- Сг + А/ sin 0 — ./V cos 0,

v = —2- {A sin 0 — В cos 0) (r-— 2z2) —Drz—2G r+M cos0+Ar sin 0,

(4.53)

w = u'o(r, 0) + Arz cos 0 + Brz sin 0 + Cz.

Система .уравнений (4.47) для определения функции WQ будет иметь вид

В рассматриваемом случае /задача сводится к определению функции / из уравнения (4.51), а функции WQ — из системы урав­ нений (4.54) при соответствующих граничных условиях.

§ 22. Введение функций течения

Рассмотрим течение идеально жесткопластической несжимае­ мой среды, когда скорости перемещений в продольном и танген­ циальном направлениях меняются но экспоненциальному за-

Условие несжимаемости (4.55) удовлетворяется тождественно.

/ М. А Задоли

Полагая

ф = 2лр (г) e>'z+fi9 + 1 Gr2, F = rf (г) еХг+|х0 — Я г2,

где ф(г) и /(г) — неизвестные функции, X и р — заданные пара­ метры, G и Н — произвольные постоянные, для скоростей пере­ мещений будем иметь

u = (lf — 2 цф) еХг+ц0,

у = 2 (гср)' е*'г+й0 + Gr,

w = — i. (г/)' ецг+й° + я.

Выражения компонент напряжений, приведенные в (4.10), будут иметь вид

двух обыкновенных дифференциальных уравнении относительно функций / и ф:

] / 1 ~ Тге — Ггг

Характер течения пластической массы на граничных поверх­ ностях тела или 'заданные внешние силы определяют краевые условия для полученной системы уравнений (4.57).

Полученное решение может описывать, в частности, простран­ ственное течение материала между шероховатыми жесткими сближающимися поверхностями Л, = г,-=Ь а, ехр (Яг + р0), где т\ и а, — положительные заданные постоянные.

2.В случае осесимметричного деформирования С = р = 0.

Обозначая (пр)' = г|), для компонент папряжений находим

гI

В отсутствие вращательного движения пластической массы имеем t|)(r) = D = G = 0. Тогда в формулах (4.58), (4.59) и в си­ стеме уравнении (4.60) следует положить

Tre = тог = v = 0,

СО= ] А — т;г.

Далее, если ввести новую функцию /г(/•):

/'= /Л ,

отличные от нуля компоненты напряжений из (4.58) примут вид

г

от= — 2А — 2Bz + и Г(1 — hr) у — ,

Trz = Br + - у , Xo = ] / r2A2 + rk + 1.

Соответственно отличное от нуля поле скоростей перемещений «будет

и = XjeXz, и; = — (-£- + /ij fekz + Н .

Второе уравнение (4.60) удовлетворяется тождественно, а первое пишется в форме

rVi' + r*A* — rA + Г-/-2 — 1 + # / г2Л2 + rA + 1 = 0. (4.01)

Таким образом, при осесимметричном течении напряжения и скорости перемещений определяются через неизвестную функцию Л, удовлетворяющую обыкновенному дифференциальному урав­ нению (4.61) первого порядка.

Полученное здесь решение может описать, в частности, пла­ стическое течение при внедрении жестких цилиндрических тел

видеально жесткопластическую несжимаемую среду.

§23. Осесимметричное течение

1.Рассмотрим осесимметричное течение идеально жесткопла­ стической несжимаемой среды с условием Губера — Мпзеса. Об­ щие уравнения теории течения в цилиндрических координатах состоят из дифференциальных уравнений равновесия

соотношений между компонентами скоростей деформаций и ско­ ростей перемещений

зависимостей между компонентами скоростей деформаций н