книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdf
напряжения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Or = |
Ое + |
б/'со, |
Оф = |
О0+ |
6 (/' — / Ctg 0) О), |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Ое = |
— Pi + |
6 ( ( /' — / ctg 0) со ctg 0 d0 — 3 J Tr6d0, |
(2.60) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tre = |
(/' |
+ / ctgO)co, |
т0ф = |
т = |
ql sin~ 0, |
тГф = |
0т |
||||||||||
|
CO= |
V(f' + fctg e )'2 + |
Vi-- |
|
/ctg7 |
0 + f ctg2e) |
’ |
|
||||||||||
|
1 2 ( / ,2 - |
|
||||||||||||||||
перемещения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
и = |
r ( f + |
/ ctg 0), |
v = |
- 3 г/, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 .G1 )- |
|
w = |
слг sin2 a sin 0 f |
— ^ |
— |
|-Z)rsin0, |
а ^ 0 < ! у * |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
.) |
«в sin3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь |
/ = /(0 ) — неизвестная |
функция, |
D — произвольная по |
|||||||||||||||
стоянная. |
|
|
(2.60) — (2.61) |
будут |
решением системы |
уравне |
||||||||||||
Выражения |
||||||||||||||||||
ний (2.55) — (2.58), если /(0) |
удовлетворяет дифференциальному |
|||||||||||||||||
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[ / ( / ' |
|
(/' |
+ |
/ ctg 0)'Vу |
11—т2т2sin00 _ |
_ |
_ _ |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
+ |
/ ctg 0)'2 + 12'2(/'- / ' / c |
t |
g |
0 |
+ |
/ 2 ctg2J |
0) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
6 (/' + |
/c tg 0 )VI— т2 sin 9 |
|
|
|
|
|||||||||
|
+ |
V(f + fctg 0)'2 + |
12 (/'2 - |
/7 Ctg 0 + |
/ 2 ctg2 0)= |
0. |
(2.62) |
|||||||||||
В выражениях (2.60) использованы два граничных |
условия |
|||||||||||||||||
из (2.59) |
при 0 = а. Третьим условием будет |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
(/' + |
/ ctg 0) 'со = |
mi |
при |
0 = |
а. |
|
|
(2.63) |
||||||
Вводя новую функцию ф = |
/7 /, |
уравнение |
(2.62) приведем к |
|||||||||||||||
дифференциальному уравнению второго порядка |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
( $ ' + |
'l’2 -М > ctg 0 — |
2. |
0 / |
)V i |
— г2 sin 6 |
|
|
|
||||||||
|
|
\ |
|
|
|
|
sin |
_______________ |
|
|
+ |
|||||||
|
(♦' + |
\J>2 + |
\|з ctg 0 |
1 |
|
f |
12 |
(г))2 — \р ctg 0 + |
ctg2 0) |
|||||||||
_ ]/ |
sin2 0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 (^ + |
ctg0) |
/ |
|
1 — т2 sin 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
+ |
tf2 + |
1|>ctg0 |
— |
sji| 2-e\ |
+ |
12 (гр2 — |
^ ctg0 + |
ctg2 e) |
|||||||
V \
с граничным условием
(V |
+ ф2 + of ctg 0 ------± - \ to = т1 при 0 = а. |
\ |
sin 0 / |
3. Решение в упругой зоне. Используя уравнения равповесия (2.55), решение в упругой зоне можно представить следующим образом:
напряжения
|
Or = |
Се + |
6GF\ Оф = Ое + |
6G (F' — F ctg 0), |
||||||
|
о9 = |
- |
Р2 - |
|
Р |
|
F ctg 0) ctg 0 dQ + |
Р |
||
|
6G |(F' - |
3 ] тг0dQ, (2.64) |
||||||||
|
|
|
|
|
ё |
|
|
|
|
е |
тГ0 = |
6G ^ д.£ Q |
f j , |
|
теф = |
т = q2 S.”2_QT |
тгф = |
07 у ^ 0 ^ р; |
|||
перемещения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
и = |
r(F' + Fctg 0), |
v = |
—3rF, |
|
|||
|
q2 sin2 P |
. n / t - |
^ 2 |
, |
cosY - |
cos 0 |
|
|
||
w = |
2G |
•r sin0 In |
Y |
|
sin Y |
sin*2~^|+ # r s in 0, Y < 0 < P - |
||||
tg Y
(2.65)
Здесь A n H — произвольные постоянные, а функция iJT= /JT(0) — общее решение дифференциального уравнения
|
f |
+ |
+ |
|
|
|
|
(2 .66) |
Исключив А из граничного условия |
тге — m2, при |
0 = р об |
||||||
щее решение уравнения |
(2 .66) можно записать в виде |
|
||||||
F = В [Pi (COS 0) — Р\ (cos Р) N (cos 0)] + |
|
|
|
|
||||
|
|
+ C\Q\ (COS 0) — Q\(cos P) N (cos 0)] — |
N (cos 0), |
|||||
|
|
N{x) = |
sin |
(x) |
|
|
|
|
|
|
1 + sin PN+ (x) * |
|
|
||||
Здесь В, |
С — произвольные |
постоянные |
и |
введено обозначение |
||||
|
|
X |
|
|
|
|
X |
|
N ^ x) = |
Р\{х) |
J Q\{\) |
Y T ^ d l - Q l |
(х) |
J P l ( g ) V T r p d g , |
|||
|
|
cosy |
|
|
|
COSY |
|
|
где P\ (x), |
Q\(x) — присоединенные функции Лежандра первого |
н второго |
рода. |
Исходя из непрерывности напряжений и перемещений на по
верхности 0 = у, находим условия |
|
|
|||
|
|
Н = D, |
qi sin2 а = дг sin2 {), |
|
|
г|) = F'/'F4 |
г!)' = F'/F - Ff2/F2, |
/ = F при 0 - у, |
(2.67) |
||
G- [(Z’' + F ctg 0)'2 + 12 ( F ,2 — F'F ctg 0 + |
F2ctg2 0)] = |
|
|||
|
|
|
= 1 — T2 при 0 = Yt |
||
a также интегральную зависимость |
|
|
|||
|
P |
|
|
|
|
px — p2 = 3G | [F" — F' ctg 0 + (ctg20 — 1) F] dQ — |
|
||||
v |
v |
|
|
r _____ |
|
|
(\[/ + |
|
|
||
- s S |
|
^ ctg e + ctg2 9 — l) V 1 — T2 d9 |
|
||
|
+ Уctg 0~ Ti^e) |
+ 12 (-ф2—M5ctgо + |
ctg2e) |
||
a |
|
||||
|
|
|
|
|
(2.68) |
Дифференциальное уравнение (2.62), условие сопряжения (2.67) и граничное условие для тге на внутренней поверхности (2.63) в принципе определяют функцию /(0) и постоянные В, С и 7.
§ 1 1 . Коническая труба под воздействием нормальных и кольцевых касательных сил
Пусть упругопластическое состояние конической трубы вы звано совместным воздействием равномерно распределенных нор мальных и кольцевых касательных сил на внутренней п внешней конических поверхностях.
Принимая mi = m2 = 0, полагаем, что Тге равно нулю по все му объему тела. Тогда будем иметь
А |
А |
1 sin2 у |
| / |
А |
2 sin4 а |
(2.69) |
|
sin 0 ’ |
6G Ш у |
у |
1 |
Ql sin4 у ’ |
|||
|
|
где использовано условие сопряжения на поверхности 0 = у со
гласно |
(2.67). |
р < я / 2. В пластической зоне |
из (2.60) |
для на*- |
||||||
1. |
Случай |
|||||||||
пряжения получаем |
______ |
|
|
______ |
|
|||||
|
|
Or = |
Ое + |
V1 ~ т2, |
оф= а0+ 2 VI — т2, |
|
||||
= — />! + 2 |
In |
sin 0 |
+ ln |
1 + |
V i — т2 |
+ |
Vi — ql — |
Vi — T2, |
||
sin а |
1 + Vi-g\ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.70) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Te<p = |
т (0) = qx sin2 а |
|
Tr0 — ТГф — 0, |
o c < 0 < Y - |
|
||||
|
|
|
|
sin2 0 ’ |
|
|
|
|
|
|
Для перемещения будем иметь
|
|
г |
. |
*■ / |
Г ------------Г~4--- |
• |
|
|
|
|
||||
|
|
|
л |
2 sin a |
sin V |
|
|
|
||||||
“ ’ - Ж Г ^ - |
5 5 7 |
/ 1 |
— ^ |
( T |
) [ / l - t ! ( v ) — |
УГ=?\ + |
|
|||||||
sm |
а cos г |
|
|
+ |
Dr sin В, |
и = |
0, |
а ^ |
0 ^ |
у. |
(2.71) |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
Выражения для напряжений в упругой зоне следуют из (2.64) |
||||||||||||||
, |
1Г\------- |
оТТ |
sin2 Y |
cos 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
о . _ п в + |
2 П |
= |
|
^ |
^ |
2 2 » |
» |
|
|
|
|
(2.72) |
||
|
|
|
|
cos у sin |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2!a!s Г ln |
'12 |
|
cos 0 |
|
COS p |
I |
|||
oe = — Рч. — V i |
— T2 (Y) |
cosv[ |
|
itg-1l |
sin20 |
|
sin2p |
’ |
||||||
|
/CkS |
|
sin2 P |
|
|
тГ0 — Тгф — О, |
у ^ |
0 ^ |
P* |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Соответствующие перемещения из |
(2.65) будут |
|
|
|
||||||||||
v = i o у V T = 4 4 j ) ^ y |
|
||
|
|
sin 0 ’ |
|
|
|
ei |
. c o s y |
w = |
q2sin2P sin 0 |
, ^ 2 |
|
I n ---- — + |
|||
|
|
tg | |
sin‘ v |
u = 0, |
Y ^ 9 ^ P - |
|
|
cos 0
sin2 0 + Dr sin 0, (2.73)
Подставляя значения функций / и F из (2.69) в (2.68) и производя интегрирование, получаем уравнение для граничной поверхности 0 = у:
р , _ |
4 |
_ 2 in 4 Ы . + ,„ |
|
_ |
1 |
sin a |
ч\ |
r |
|
|
|
|
|
i n ^ i l + |
a ■ |
tg| |
* * ' * r |
Принимая здесь f = а и 4 = p, получаем соотношения для внешних сил, соответствующие предельным случаям чисто упру гого и чисто пластического состояний конической трубы. Так,
предельное пластическое состояние определяется уравнением
Pi — Рг = 2 In + In -------------------- - + V i — Qi — V i — g'i, sin a H - |/ i - q \
2. Случай p ^ л/2. Здесь может возникнуть двустороннее пластическое состояние (рис. 2.7). В пластической зоне
напряжения и перемещения определяются прежними форму
лами (2.70) — (2.71), |
а в упругой |
зоне |
— у — формула |
||
ми (2.72) — (2.73). В |
пластической зоне |
я — у ^ 0 < р |
находим: |
||
для напряжений |
|
|
|
|
|
|
Or = ов — У1 — т2, оф= а0 — 2 У1 — т2, |
|
|||
ае = _ pi + 2 1п Ж Г Г + 1п 1 + |
|
+ V i - Т2 - V i - ql |
|||
|
|
|
|
|
(2.74) |
Тв(р = |
т (0) = (h sin а , тг0 = |
тгф= 0, я — Y < 0 < p ; |
|||
|
|
sin2 0 |
|
|
|
для перемещении |
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
= 2G t g v / l - x a ( V ) S f ’ |
|
|
|
||
IV— -гг Qi sin2 a sin 0 / C0S T---- In tg |
— |
|
|
||
u |
\sin Y |
z / |
|
|
|
|
|
|
|
/ , — |
1 + |
|
|
+ Dr sin 0, |
и = 0, |
it — у < 0 ^ |
p. (2.75) |
5 ji. Л. Задолы
В рассмотренном здесь случае р > я/2 параметр 7 в формулах (2.70) — (2.71) и в (2.72) — (2.74), (2.75) определяется из со отношения
|
sin2 у |
+ |
[l-l- / l - T |
* ( T )]8 |
т|) + |
|||
P i — р 2 = 2 In |
sin a sin Р + 1п- ( l |
у 1- |
9*) |
( l +У i- |
||||
+ 2 V l — T2 (v )-^ A -ln tg -J |
+ V i |
— 9i + |
V l — gl, (2-7(5) |
|||||
следующего из условия сопряжения на поверхностях 0 = |
у и 0 = |
|||||||
= я — у между упругой и пластической зонами. При у = |
я/2 на |
|||||||
ступает предельное пластическое состояние трубы: |
|
|
||||||
Pi — Pi = - |
|
|
(* + |
] / 1 — </jsin4a ) “ |
||||
2 In (sin a sin P) + In -------> ■■■:------- |
------+ |
|
|
|||||
|
|
|
(1 + 1/ |
1 — |
|
( 1 -5- 1 / 1 — <rl) |
||
|
|
|
|
+ У 1 — cA + |
V х — |
|||
Принимая |
в (2.70) — (2.76) |
q\ = q%= |
0, |
получаем |
|
соответ |
||
ствующие формулы В. Соколовского [166], относящиеся к упругопластическому состоянию конической трубы под воздействием внутренних и внешних нормальных сил.
В статье [4] рассмотрено упругопластическое состояние ани зотропных цилиндрических и конических труб.
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
На основе теории течения в прямоугольных координатах ис следуется напряженное состояние идеально жесткопластических тел с условием текучести Губера — Мизеса.
Рассматриваются пространственные задачи предельного сос тояния среды, характеризующегося двумерным тензором скорос тей деформаций, и выводится соответствующая система дифферен циальных уравнений.
С использованием класса полученных решений общих уравне ний теории пластического течения рассматриваются предельные состояния прямоугольных параллелепипедов, толстых плит и призматических стержней при воздействии различных внешних сил.
§ 12. Решение уравнений теории пластического течения в прямоугольных координатах
Общие соотношения теории течения для идеально жестко пластического несжимаемого тела имеют вид:
уравнения равновесия
(3.1)
условие пластичности Губера — Мизеса
Здесь компоненты напряжений отнесены к пластической постоян ной к.
Опуская точки над и, и, w, связи между скоростями деформа ций и скоростями перемещений запишем в виде
(3.3)
Зависимости между скоростями |
деформаций |
и напряжений |
(1 .20) возьмем в виде |
|
|
6х == ^ (@Х о) , |
Уху == |
(3*^) |
Имеем условие несжимаемости материала |
|
|
£* + ^ - 1- е2 = 0. |
(3-5) |
|
Из соотношений (3.3) можем представить скорости перемеще
ний в следующем виде: |
|
|
|
|
|
и = |
и0 (х, у) — j* ^ |
dz + |
2 J yxz dz, |
|
|
v = |
v0( x , y ) - ^ d |
z |
+ |
2 § y vzdz, |
(3.0) |
w = |
ivQ(x, y) — J (e* + |
Sy) dz, |
|
||
где i/o, ^o, Wo — произвольные функции х н у .
Пространственное течение пластических тел иногда характе ризуется одномерностью тензора скоростей деформаций. Допуская, что тензор скоростей деформаций не зависит от х и у, находим
выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex == A Q + A |
iz, |
Еу |
|
В о |
-Ь В \Z, |
у xi/ == C Q С \Z) |
(3./) |
|||
где |
Bi, Ci — произвольные |
постоянные, |
и системы |
уравнений |
|||||||
|
дип |
|
dv |
|
|
|
1 |
/ди |
|
dvn \ |
|
|
дх - |
°’ |
ду |
~ |
|
01 |
2 |
[ду |
^ |
дх) “ |
|
|
|
d^w, |
А |
|
d~wt |
|
|
dmwn |
|
||
|
|
|
0 _ |
|
___о _ о |
|
___о _р |
|
|||
|
|
дх |
|
|
|
ду |
|
|
|
д Г д у ~ - |
|
После интегрирования находим |
|
|
|
|
|
||||||
|
и о = А0х + Dxy + D0, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
v0 = (2С0 — Dj) х + В0у + Нц, |
|
|
(3*8) |
|||||||
|
li’o -----------т - x' — I f |
у2— С1ХУ — L1X— HiV — L0, |
|||||||||
где D{, |
Li — также произвольные постоянные. |
|
|||||||||
Из соотношения (3.4), при помощи (3.2) и (3.5), будем'иметь |
|||||||||||
|
ох = oz + |
|
(2ех + |
еу), |
оу = oz + |
-1 - (ех + 2еу), |
|||||
|
|
|
|
1 |
_ |
^ 4 -I- V u + 4 + Y* |
(3.9) |
||||
|
тху |
Уху, |
|
|
|
|
|
|
ху |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
UZ
Учитывая, что xxz и т„г не зависят от х н у, и подставляя компоненты напряжений (3.9) в уравнение равновесия (3.1),
получим |
|
|
|
|
|
|
дот |
дххт |
л |
|
^ |
дит |
0. |
-г— |
----= О, |
- ^ + - ^ = 0, |
- ^ = |
|||
дх |
1 dz |
|
ду |
dz |
dz |
|
Отсюда |
Oz = |
—CL\X — Ъ\у + С, |
|
|
||
|
|
(зло); |
||||
|
4xz ~ a\z + a0l |
Xyz^biz+bo, |
||||
|
|
|||||
где a,-, bi, с — произвольные постоянные.
Для скоростей перемещений, используя (3.8), из (3.6) по
лучим |
|
|
|
|
|
|
и = DQ Ч~ DIУ Ч~ L]Z Ч~ AQX Ч~ A-±XZ ч~ |
yz Ч- |
2 J |
dz, |
|
|
|
v = HQ+ (2CQ— D j)x + B0y + H ]Z + |
C xz + |
Bxyz + |
2 j |
Xxyzdz, |
||
|
|
|
|
|
|
(3.11) |
w = — L0—L1x — H ly ~ { A Q+ B0) z — 4 г з2 — 4 г У2 ~ |
- 14 r * 1- ~ |
|||||
|
|
|
|
|
|
— Cycy. |
Таким образом, полученные выражения компонент напряже |
||||||
ний |
(3.9) — (3.10) и скоростей перемещений (3.11) |
[52] |
являют |
|||
ся решением системы уравнений пластического течения |
(3.1 ) — |
|||||
(3.4) |
и содержат ряд произвольных постоянных. Эти постоянные |
|||||
определяются из заданных граничных условий |
деформирова |
|||||
ния тела. |
|
|
|
|
|
|
§13 . Экспоненциальное течение идеально пластической среды
Рассмотрим класс пространственного напряженного состояния идеально жесткопластических, тел, деформируемых в одном на направлений по экспоненциальному закону, т. е. в предположе нии, что тензор скоростей деформаций — искомая функция х и у, а по координате z меняется по закону еЦ2, где \i — заданная по стоянная. Компоненты скоростей деформаций для исследуемого пластического течения среды ищем в форме
|
Sij = <о0еЦ2, |
(3.12) |
где (Dij = |
(Оц(х, у ) — произвольные функции х |
и у, |
1. |
Представление решения. Из условия несжимаемости мате |
|
риала имеем |
|
|
|
со* + соу Ч- Oz = 0. |
(3.13) |
Компоненты напряжений, удовлетворяющие условию пластич ности (3.2), допущению (3.12) и соотношению несжимаемости
(3.13), можно представить следующим образом:
Gx = |
1 |
+ <йу)ч Gy = G z + |
1 |
2(0у), |
G z + - д Г (2 с О з с |
-g* ( ® х + |
|||
Tjj = |
0)ij, |
Q =]/^С 02 + (Oxz + |
<0yzi |
|
где у принимает значения ху, yz, arz, и
СО= ] /" (0| + (0x(0y+ (Оу+ СОху*
Подставляя эти выражения компонент напряжений в урав нения равновесия (3.1), приходим к дифференциальному урав нению
- | г (т ) + ^ ( т г ) + 2 £ - 0 |
<314) |
и выражению
а2 = F + 2Ez,
где Е — произвольная постоянная, a F = F(x, у ) — неизвестная функция а; и у, удовлетворяющая системе дифференциальных уравнений
9F |
д |
2 ^ + |
сОу |
д |
(*ху |
|
дх + |
дх |
Q |
|
дуQ |
U’ |
|
дР |
д |
(йх + |
2<йу |
д |
(оху |
(3.15) |
ду |
ду |
Q |
|
' дх |
Q |
|
Скорости перемещений из (3.3) можно представить в следую щей форме:
u = |
dwn |
+ |
о |
1 |
|
|
d(D- |
ug(x, y ) - - ^ z |
— (e ^ — l)a>xz — - ¥ (e ^ — nz— i ) —r, |
||||||
|
дх |
|
JLI |
p2 |
v~ |
1 |
dx |
V = |
dwn |
|
9 |
1 |
(etu — Hz - |
d(i)„ |
|
o0(*. If) - -ft z + |
-П- (e<lz - |
!) <*V— — |
!) -^7. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
1 |
|
|
|
|
|
(3.1C) |
u; = |
{e^z — 1 ) ioz. |
|
|
|
|
||
wQ(x, y) + — |
|
|
|
|
|||
|
r |
|
|
|
|
|
|
Здесь wo, wo, wo — произвольные функции x и у. Подставляя вы ражения w, w, iw из (3.16) в (3.1 2 ), сопоставляя правые и левые части полученных уравнений и вводя обозначения
R = pw0— coz, Qx = u0 |
2 |
1 |
d(Dz |
-----—(0x2 + |
— |
-gz i |
|
|
|
Ц- |
|