книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfческого течения и деформационной теории пластичности. Здесь используется прямоугольная декартова система координат, а в дальнейшем применяются также цилиндрическая и сферическая системы координат.
§1. Напряжения
1.Напряжения в точке. В механике одним из основных по нятий для описания поведения твердых деформируемых тел под влиянием внешних силовых воздействий является напряжение. Напряжения — это внутренние удельные силы механического взаимодействия между различными макрочастицами тела. На пряженное состояние в некоторой точке М (х, у, z) тела рассмат ривается методом воображаемого сечения, называемым методом сечения.
Пусть тело под воздействием внешних сил находится в сос
тоянии равновесия. Проведем мысленно через точку М плоское сечение, разделяющее тело на две части, и, отбрасывая одну из них, взамен отброшенной части приложим в этом сечении к оставшейся части тела силы, необходимые для сохранения равновесия. Ориентацию этого сечения в прямоугольной си
стеме координат х , у, z опреде ляем направлением внешней нормали v. Выделим вокруг точки М элементарную пло щадку AF и обозначим вектор элементарных сил, действую щих на эту площадку, через
APv. Вектором напряжений р„ называется предел отношения APv/AF при AF -+■ 0. Обычно yv разлагается на нормальную аУи касательную rv составляющие вектора (рис. 1.1). Величины av и TV называются соответственно нормальным и касательным на пряжением в точке М на площадке с нормалью v.
Проекции ру, на координатные оси обозначим через Xv, Y\, Zv, тогда
|
Pv = Vx\ + Y% + Z%, |
av = Xvl + Yvm + Zvn, |
||
|
|
Ту = P\ — Oy, |
|
( 1. 1) |
|
|
l{ == COS (V, Xi). |
||
Здесь l, |
m, |
n — направляющие |
косинусы |
внешней нормали v, |
а U и xt |
принимают значения |
1,771,7% и |
х, у, z соответственно |
|
при i = |
1, 2, |
3. |
|
|
Напряженное состояние в точке М будет известно, если из вестны напряжения ov и xv для любого положения сечения.
Растягивающее нормальное напряжение считается положи тельным, а сжимающее — отрицательным.
2. Тензор напряжений и его инварианты. Нормальные напря жения на элементарной площадке, проходящей через точку М и перпендикулярной к оси х, обозначим ох, а касательные напря жения на этой же площадке по направлениям у п z обозначим через тху л т*2 соответственно. Если внешняя нормаль к площад ке имеет положительное направление координатной оси, то ком поненты напряжения считаются положительными, когда они совпадают с положительными направлениями координатных осей,
|
х |
Рис. 1.2 |
Рис. 1.3 |
и считаются отрицательными, если |
они направлены наоборот. |
Аналогично, когда внешняя нормаль имеет отрицательное на правление координатной осп, то положительными считаются те компоненты напряжения, которые имеют отрицательные направ ления координатных осей, и отрицательными считаются, когда направлены наоборот.
Рассмотрим в материальной окрестности точки М прямоуголь ный параллелепипед с боковыми ребрами dx, dy, dz, параллель ными координатным осям, на гранях которого действуют компо ненты напряжения положительного знака (рис. 1.2).
Из условия равновесия этого элемента относительно моментов
следуют равенства тху = т |
rxz = rzxi TVZ =■ xZVl выражающие за |
кон парности касательных |
напряжений. С учетом этого закона |
компоненты напряжений образуют симметричный тензор напря жений с шестью компонентами
Рассматривая равновесие элементарного тела в виде тетраэд ра с тремя взаимно перпендикулярными площадками, совпадаю щими с координатными плоскостями и проходящими через точку I , и с произвольно наклоненной по отношению к координатным осям площадкой с нормалью v (рис. 1.3), будем иметь
o^li^Tu |
(1.2) |
причем Ti принимает значения Х х, 7V, Zv соответственно.
В пределе, когда площадь наклонной гранп стремится к пу лю, формулы (1.1) и (1.2) дают связь между напряжениями в точке М по наклонной площадке с внешней нормалью v и по трем площадкам, параллельным координатным плоскостям. Та ким образом, имея в точке М компоненты напряжения в трех взаимно ортогональных площадках, можно определить напряже
ния в любой наклонной площадке. |
7 V, Zv |
Если точка М находится на поверхности тела, то Xv, |
|
будут проекциями внешних сил и формулы (1.2) пграют |
роль |
граничных условий. |
пло |
Нормальное и касательное напряжения на наклонной |
|
щадке, согласно (1.1) и (1.2), будут |
|
crv == охР + оут2 + o zn2 + 2хху1пг + 2тигтп + 2rxzln, |
|
|
TV = V x 2v + Y $ + Z l - o l . |
В |
каждой точке тела существуют, по крайней мере, три вза |
имно |
перпендикулярные площадки, на которых касательные на |
пряжения равны нулю. Эти площадки называются главными, а направления нормалей к этим площадкам называются главны ми направлениями тензора напряжения. Нормальные напряже ния, действующие на этих площадках, называются главны ми нормальными напряжениями и обозначаются Oi, 02, аз соот ветственно главным направлениям 1, 2, 3.
Главными касательными напряжениями называются
— напряжения, действующие в сечениях, каждое из которых проходит через одну из главных осей и делит пополам углы между другими главными осями.
Величину
Tmax= max { IxiI, |т2&1, 1тз1)
называют максимальным касательным напряжением.
Если главные оси пронумеровать так, что 0\ > 02 > 03, то мак симальное касательное напряжение будет
Если площадка |
с нормалью v |
(рис. |
1.3)— главная, то |
xv = 0, |
|||||
a av = а* — главное |
напряжение. Тогда, подставляя значения |
||||||||
|
|
|
— OjjjZ, |
Т"'у — 0^771, |
Zv —■ |
|
|||
в (1.2), для определения о* |
|
приходим к кубическому уравнению |
|||||||
где |
|
|
о* — /> * |
— / > * — «^з = |
0» |
(1.3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ \ = |
/ \ |
{То) = |
О* + CJy + |
Ozy |
|
|
|
|
|
j 2== |
2 |
<x) == |
O^Oy |
Gy&Z |
^x^2“b^xy”b Ту2"Ь ТЛ2 |
(1.4) |
|||
•/^3 = |
t/g (Гд) = |
(JajOyOz |
|
ОдТуг |
OyT^z |
Gz^xy 4" ^xy^yz^xz» |
|||
Значения |
главных напряжений о i, |
02, Оз не зависят |
от ори |
||||||
ентации координатных осей х, у, z, поэтому коэффициенты урав нения (1.3) / 1, / 2, /з также не будут зависеть от ориентации х , у, 2, т. е. будут инвариантами относительно этих осей. Выра
жения |
(1.4) называются |
соответственно |
линейным, |
квадратным |
|
и кубическим инвариантами тензора напряжения. |
|
||||
Среднеарифметическое значение нормальных напряжений |
|||||
|
а = |
1 |
Оу + |
а2) |
|
|
-д- (ох + |
|
|||
называется средним или гидростатическим давлением в точке. |
|||||
В главных осях имеем |
|
|
|
|
|
/1 |
= 01 + 02 + 0з, J2 |
---------O1O2 — O2O3 — O1O3, /з = |
01(У20з. |
||
3. |
Девиатор напряжения и его инварианты. Рассмотрим тен |
||||
зор с нормальными составляющими |
|
|
|
||
|
sx — Ох — О, |
Sy 1Оу |
о, |
St = 02 — о |
|
и с компонентами касательных напряжении тензора напряжения тху, ту2 и Тхг. Этот тензор
Хху Xxz
А> = тху sv V Ххг Tyz sz
называется девиатором напряжений. Обычно тензор напряжений представляют в виде
Та =•Sa + Day
где
о О О
So = О а О
00 а
—шаровой тензор среднего давления.
Главные направления девиатора напряжения Da и тензора напряжения Та совпадают, и главные значения s, можно опреде лять из уравнения (1.3), если в (1.4) ох, о„, oz заменить через $Ху
2^* «^3 = О»
где /г и /з — второй и третий инварианты девиатора напряжения:
J 2 = J 2 W o ) = |
$xsy |
SySz |
SXSZ+ ТХу “1 4yZ+ Т^, |
•/3 = *^3(DG) = SxSySz |
SxXyZ |
SyTxz — S2TXy + 2TXyTyzTxz. |
|
Согласно тождеству
Sx+ Sy+ sz = 0
первый инвариант равняется нулю J\(Da) =• 0.
В главных направлениях отличными от нуля инвариантами будут
j 2 ( ° о ) = 4 “ K s i — s i)2 + (S2 — Sa)2 + 0?3 — « i ) 2b
T3(Do) = ^1,<?253*
Неотрицательная величина Oo = V/2 называется интенсив ностью касательных напряжений. Прибавляя к выражению /2 нулевую величину 4z(sx+ sv + sz) 2 и преобразуя его, получаем
О0 = ^ / (ох — оу)2+ (оу — <т*)2 + (аг— от*)2 + б(т2у + + т*г)-
В главных осях имеем
а°=ITT ^^CTl“ + |
~Стз^+ |
—а^г' |
|
В случае чистого |
сдвига 0 \=• т, |
02 = 0, оз = |
—т имеем Go = т, |
а при одноосном |
растяжении |
а2 = Оз=*0, |
Oi^O получаем |
Go = О,/УЗ.
Проведенная через данную точку площадка, одинаково на клоненная к главным осям, называется октаэдрической. На этой площадке нормальное и касательное напряжения будут
ЛГ Т
Gyj — O’, Tv — у -^ -O Q.
Для характеристики отношения главных значений напряже ния или вида напряженного состояния вводится параметр
— 2 |
— 1. |
Для |
одинаковых значений |
ра |
диаграммы |
Мора*) подобны. |
||||||||
Этот постоянный параметр \ха введен |
Лоде в |
своей |
эксперимен |
|||||||||
тальной работе |
[114], выполненной |
по идее |
Надаи |
[122], |
и на |
|||||||
зывается параметром Надаи — Лоде. |
|
одноосном |
растяжении, |
|||||||||
При |
oi > 0 , |
02 = 0з =•0, |
т. е. |
при |
||||||||
|ха = |
—1. |
Когда |
о1 > 0, 02 = 0, |
аз = |
—0i, |
т. е. при |
чистом |
сдвиге, |
||||
fio = |
0. |
Для одноосного сжатия, |
т. |
е. |
при |
0i = |
02==<0, |
Оз<0, |
||||
имеем |
\ia= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Дифференциальные уравнения равновесия (движения).
Рассмотрим мысленно выделенный из тела элементарный прямо угольный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Учитывая при ращения внутренних сил на соответствующих гранях (рис. 1.2), массовые и инерционные силы этого малого элемента и проекти руя на координатные оси, получаем
Здесь Fi и —рWi — проекции массовых и инерционных сил на ко ординатные осп, р — плотность среды. Это — дифференциальные уравнения движения, которым удовлетворяют компоненты тензо ра напряженного состояния.
В дальнейшем иногда через о,; обозначаются компоненты тен зора напряжений. Так, в декартовых прямоугольных координа тах это три нормальные ох, 0У, ог и три касательные т*у, туг, rxz компоненты напряжений.
§2. Деформации
1.Зависимости между деформациями и перемещениями.
Твердые тела под внешними силовым, тепловым и т. п. воздейст виями изменяют свою форму, при этом меняются расстояния между точками тела. Деформация — характеристика этих изме нений. Проекции перемещений данной точки по координатным осям х, у, z обозначим через а, у, w соответственно.
Относительные удлинения линейных элементов в точке по
направлениям осей х, у, z обозначим соответственно через г*, еу, е2, а изменения первоначально прямых углов ху, yz, xz в этой же точке, т. е. относительные деформации сдвига, обозна чим через 2 ^ , 2^2, 2yxz. Этими шестью параметрами полностью характеризуется деформированное состояние в точке.
При малых деформациях компоненты деформации связаны с компонентами перемещения соотношениями Коши
(1.5)
где через efi обозначены е*, еу, ег и ^ чУХ1 уХг.
*) О круге Мора см., например, А. Надаи [122].
2. Тензор деформации и его инварианты. Шесть компонент деформации образуют симметричный тензор деформации
II О)
8х Уху УхZ Уху *У Ууг Ухг Уу* е2
Средняя нормальная деформация определяется как 1/3 часть относительной объемной деформации
е = -д- (вх + £у + е2).
Любое деформированное состояние в точке можно воссоздать нормальными деформациями ец в2, бз в определенных трех вза имно перпендикулярных направлениях 1, 2, 3. Эти деформации называются главными удлинениями, а оси 1 , 2, 3 — главными направлениями. Главные удлинения являются корнями кубиче ского уравнения
^2^* ^3 = О*
Главные деформации не зависят от выбора осей координат, поэтому коэффициенты этого уравнения не могут изменяться при повороте этих осей. Это значит, что коэффициенты указан ного уравнения являются инвариантами. Выражения
/ 1 = 1\{ТЕ) = е* + еу + е«,
^2 = |
^2 (^е) = |
— гх£у — е2/е2 — &х?г + |
Тху + Ууг + Ухи |
||
h = |
^3 (^е) = |
&X&уЕг |
&хУyz |
ЪуУхг |
ezYху + ^УхуУугУхг |
называются первым, вторым и третьим инвариантами тензора де формаций соответственно.
В главных осях имеем
/ 1 = 61 + 82 + 83, / 2 = — 8182 — 8283 — е 3,8*1, / 3 = 818283.
Выражениями
2yi = 82 — ез, 272 = 83— еь 2у3 = ei — е2
Ьпределяются главные сдвиги в точке. Максимальное значение полусдвига будет
Trnar = max {I71I, I72I, I Тз1>-
3.Девиатор деформаций и его инварианты. Девиатор дефор
маций определяется как тензор с нормальными компонентами
Сх 6* ' 6, €у Еу 6, €z 6z 8
и половинами составляющих деформаций сдвигов:
ех Уху Ухг
Уху ev Ууг Ухг Ууг ег
Он характеризует изменение формы элемента. Тензор деформаций представляют в виде суммы
Т е = S e + D e,
где
8 0 Oil
ЛО 8 О О 0 е|
—шаровой тензор объемной деформации, и, таким образом, де формированное состояние элемента тела всегда можно предста вить в виде наложения объемного расширения S e и изменения формы Dt.
Инварианты девиатора деформации строятся аналогично ин вариантам тензора деформации с заменой соответствующих ве личин. Первый инвариант вследствие тождества
|
|
ех + |
+ ez= О |
|
|
|
|
равен нулю. Второй п третий инварианты будут |
|
|
|||||
|
Т2 (7?с) = — е^у — еуег — е2ех + |
у% + |
у2уг + у2хг, |
|
|||
|
/ 3 {Т^е) = £x&ypz |
^хУух |
СуУхг &гУху "Ь 2 УхуУугУхг* |
|
|||
|
В главных направлениях отличные от нуля инварианты име |
||||||
ют следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
I2(De) = —e\е2 — е2ег — e3eh |
I3(DZ) = ехе2е3. |
|
||||
Второй инвариант |
можно |
представить |
также |
следующим |
|||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
Т2 (^е) = "g" [(ея — £у)2 + |
(Еу — £z)2 + (б2 — ех)2 + |
6 (уху + |
yyz + |
Yxz)]- |
|||
Неотрицательная величина во = 2УI2(De) или |
|
|
|||||
Со = |
"з" ^ ( ея — £у)2 “I" (е У— ez)2 + (ez — |
С*)2 + |
б (т * 1Г + Ууг + |
Ухг) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(1.6) |
называется интенсивностью деформаций сдвига. В главных осях имеем
Б0 = V Т У |
~ С*)* + (е2 — ез)2 + (Е3 — Ч)2- |
В |
случае чистого |
сдвига |
'Ух,, = 7, е* = е„ = |
в2 = *(уг =• |
= О |
||
имеем |
60 = 7. |
Для |
одноосного^ растяжепия |
ei > 0, |
62 = |
63 = |
|
= —72(ei — Зе) |
получаем ео = |
V3(ei— б). |
|
___ |
|
||
Иногда перед радикалом в выражении (1.6) |
вместо |
У2/3 |
при |
||||
нимается [166] коэффициент 1 /У6. |
Надаи — Лоде |
||||||
Для деформации также вводится параметр |
|||||||
характеризующий вид деформированного состояния в точке. При одинаковых значениях круги Мора подобны.
4. Уравнения совместности деформаций. Исключая из зависи мостей между компонентами деформаций и перемещений (1.5) компоненты перемещения, приходим к тождественным соотноше ниям Сен-Венана
А с |
А |
д2ухи |
д-гх |
^ д |
/ |
дуи7 |
дуХ1 |
|
|
Qx - |
дх ду' |
ду dz |
дх |
\ |
дх |
ду |
dz / ’ |
(1.7)
Эти шесть уравнений совместности деформаций выражают ус ловия неразрывности или сплошности тела.
5. Тензор приращений деформации. Пусть за бесконечно ма лое время dt перемещение точки получает бесконечно малое приращение с компонентами du, dv, dw. Определив компоненты приращения деформаций по соотношениям Коши, получим
dei>= 4 " [ ц (dui) + 57. (А ) ] - |
О -8> |
Величины dex, ..., dvxy, ... образуют тензор бесконечно ма лых приращений деформаций.
Интенсивность приращений деформаций определяем по выра жению
\ V( d z - d z t f ^ d z - d z t f ^ - |
dexy + 6(dylv + d yl+ d Ylzy |
Здесь deo — условное обозначение, |
не означающее прира |
щение €о. |
|
Приращения деформаций определяются по отношению к те кущему состоянию, поэтому для суммирования этих приращений
деформации, т. е. для вычисления в общем случае необхо
димо знать путь деформирования.
6. Тензор и девиатор скоростей деформаций. Подставляя в ( 1 .8) duis=u,idt1 где точка означает полную производную по времени, приходим к соотношениям для компонент скоростей
деформаций и скоростей перемещения
|
|
|
д и- |
|
д и - |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
\ дх- |
|
дх • |
|
|
|
|
|
|
Эти величины образуют тензор скоростей деформаций |
ц |
||||||||||
|
|
е* |
Уху |
Ухг |
|
|
|
|
|
||
|
Т . = |
Уху |
ч |
|
|
|
|
(1.9) |
|||
|
е |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y*z |
Ъг |
«* |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
Аналогично тензору деформации |
тензор |
скоростей |
деформа |
||||||||
ций представляется в виде суммы двух тензоров |
|
|
|
||||||||
|
Т |
. = |
S - |
+ |
|
D - . |
|
|
|
|
|
|
|
е |
е |
|
|
в |
|
|
|
|
|
Здесь |
— шаровой тензор |
скорости |
объемного расширения, |
||||||||
a D . — девнатор скоростей деформации, |
образуемый |
из |
Те* по |
||||||||
(1.9) |
с соответствующей |
заменой |
нормальных |
скоростей |
дефор |
||||||
маций через компоненты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ех = |
|
=== £|/ |
|
е1 |
&z =s |
^г |
’ е7 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
“ 5" ( fc‘jc |
+ |
Ц + |
Cz) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
— средняя скорость деформации удлинения.
Инварианты тензора и девиатора скоростей деформации опре деляют аналогичным образом, заменяя в этих выражениях е*,
|
Т*у* |
чеРез |
|
и е*, |
Tf*y, |
через ех, |
|
- •-1 |
4*1» |
соответственно. |
деформации |
сдвига определяется |
|||
Интенсивность |
скоростей |
||||||
выражением |
е0 = |
2 ]/ / 2 |
j или |
|
|
||
= |
V ^ “3" ^ |
( е * |
е1/)2 + (е1/ |
ег)2 + (ег~“ |
е х)2 + |
б ( УХУ+ у 1г + 7 ^ )- |
|
Здесь ео не означает дифференцирование ео по времени. Компоненты скоростей деформаций удовлетворяют шести
тождественным соотношениям, выражающим условие совместно сти скоростей деформации. Эти уравнения получаются из тензо ра (1.7), если заменить в них компоненты тензора Деформаций на компоненты тензора скоростей деформаций.