книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfжении осевой силы в [133] преобразовать двукратный интеграл,
применяя интегрирование по частям. |
кривые текучести [133] |
||||
На рис. 4.4 при alb = 0,1 |
(показаны |
||||
для частных |
случаев т = 0 |
и р = 0 . В |
общем |
случае, |
разлагая |
в степенной |
ряд подынтегральные функции |
(4.86), |
(4.88) по |
||
малым значениям р = 1 — а/b и ограничиваясь первыми членами, получаем р* == р/{2р), т% = т/{2р), /г* = /г/(2 р), определяющие поверхность текучести (рис. 4.5).
§ 27. Поперечный изгиб и продольное растяжение цилиндрического слоя
Пусть толстостенный цилиндрический слой из несжимаемого идеально жесткопластнческого материала находится под совмест ным воздействием равномерно распределенных изгибающих мо ментов М, приложенных на боковых сечениях 0 = ±0о, и продоль
ных |
спл 20o/V, |
действующих па концевых |
сечениях z = ± l |
|
(рис. |
4.6). Аналогичная плоская задача, когда действуют только |
|||
изгибающие моменты, решена Р. Хиллом [171]. |
|
|||
Для |
решения |
поставленной задачи [55] будем исходить из |
||
решения |
(4.10), |
(4.14) — (4.16). Полагая в |
этих выражениях |
|
некоторые произвольные постоянные равными нулю, будем пметь
напряжения
г |
2ео+ ez |
|
fir |
|
|
2е0+ ег |
||
о, = — 2сх + |
|
а© = От+ |
||||||
|
|
|
|
V Ву + е0е. + е2 |
||||
а У 4 + ЧЧ + е1 Г ’ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.89) |
о1 = о т+ |
е0+ 2Ч |
|
fr0 ^ Т0г == Tf2 == О, |
|
||||
0+ |
80Ez + |
Ч |
|
|||||
где |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еэ = |
А ----- г , |
ez = |
5 . |
|
(4.90) |
||
Скорости перемещений будут |
|
|
|
|
|
|||
и = — (А + |
|
С |
v = |
(24 + |
В) г0, |
w = Bz. |
(4.91) |
|
В) г -----j-, |
||||||||
Полагая С ¥=0 и вводя обозначения |
|
|
|
|||||
A = C sla 2, B = Ct/a2, |
a 2 = s2 + sH -l2, |
2p = 2s + |
£, |
|||||
где s ц f — новые |
произвольные |
постоянные, отличные |
от нуля |
|||||
компоненты напряжений (4.89) перепишем в виде
т/а |
2 (р*2 — 1) |
dx_ |
|
= |
, |
2(pi2— 1) |
|
_ Г |
|
|
|||||
•] |
a2*4 — 2рх2~ 1 |
* |
6 |
Г |
/ a ' V - 2 p i 2-b 1 |
^ |
|
|
oz = or -\— |
+ 2<^x ~ 1 ., |
x = |
|
|||
|
V ^ a V ~ 2Pz2+ l |
a |
|
||||
Здесь использовано условие or = |
0 при г = a. |
|
|||||
Скорости перемещений (4.91) |
будут |
|
|
||||
и/с — — (s + t)x — 1/х, |
у/с = |
2 рх0, |
w/c = tzla, с = С/а. |
(4.93) |
|||
После вычисления интеграла из (4.92) находим
_ J L i n |
^ а2д;4 ~~ 2P* 2 + 1 + |
ад;2 ~ Р/а |
|
|
|
а |
/ а 2-гр+1 + а- |
р/а |
|
|
|
|
+ In |
У' |
— 2Рж2 + 1 — Р*2 Ч- 1 |
1 |
(4.94) |
|
|
|
У^а2 — 2р + 1 — р+ 1 |
я2 |
|
|
|
|
|
||
Используя условие аг = О при г = Ь, получим |
|
|
|||
/ а 2- 2 р + 1 - р + 1 |
= ( / а У - 2 Р ц ~ + ер — Р/<х |
№ |
|||
|
|||||
/ а У - 2 р ц + 1 - р ц + 1 ^ |
\ У а 2- 2 р + 1 + а - р / а |
|
|
||
|
|
|
|
|
(4.95) |
|
|
р. = |
Ь2/а2. |
|
|
В осевых 0 = ±0о и торцевых z — ±Ь сечениях имеем .условия
ьь
|
М = |
|ОцГ dr, |
Na = |
j azrdr. |
|
(4.96) |
||
|
|
а |
|
|
а |
|
|
|
Подставляя о0 и ог из (4.92) |
в (4.96), преобразуя полученные |
|||||||
двукратные интегралы, окончательно получим |
|
|
||||||
|
|
М = |
т а 2, |
N = |
па; |
|
|
|
го = А " [ a2|i2 — 2рр. + 1 — У а2 — 2Р + l] + |
|
|
||||||
2а" |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ± |
Р2 |
4) |
1. / у - 2 Р р - М |
Ч |
- « р - р / « . |
(49?) |
||
|
|
/ |
|
К |
а 2 - |
2р + 1 + |
а - р/а |
|
2а \ а |
|
|
||||||
п = 4а“[ V<*У — 2{Jp + 1 — Vаг —20 + 1 ] + |
|
|
||||||
|
, |
3<р |
/ у ^ 2 р М - 1 - 1 - ^ - Р / « |
(4 98) |
||||
|
|
4а |
|
/ |
а 2 _ 2 р + 1 + а - р / а |
|||
Полученная система из трех алгебраических уравнений |
(4.95), |
|||||||
(4.97), (4.98) определяет два неизвестных постоянных s, t и уста навливает зависимость между М и N, при которой наступает предельное состояние слоя.
Используя уравнения равновесия, нетрудно показать, что условие
ь
| ere dr = О
удовлетворяется тождественно. 8 М. А. Задоли
В случае отсутствия продольных деформации появляется по верхность разрыва напряжений. Перейдем в выражениях (4.94) к пределу при t 0. Для этого предварительно умножим Числи тель и знаменатель дроби под знаком логарифма в первом сла^ гаемом (4.94) па выражения, получаемые соответственно из
числителя п знаменателя заменой знака перед вторым и третьим членами па обратный.
Переходя к пределу при ^ |
0 п учитывая, что для внутрен |
||||||||
него сжатого |
слоя sr2 —а2 =^0, |
из (4.94) и (4.92) находим |
|||||||
<тг= |
— 21п-£-, |
а0 = — 2 ^1 + In -£-j, |
а |
р, (4.99) |
|||||
где г = р — радиус поверхности разрыва напряжения. |
внешней |
||||||||
Переходя к пределу при ^ |
0 |
и |
учитывая, |
что во |
|||||
растягивающейся |
зоне |
sr2 — а2 > 0, |
из |
(4.94) |
п |
(4.92) |
аналогич |
||
ным образом находим |
|
|
|
|
|
|
|
||
аг = - |
2 I n |
(т0 = |
2^1 — In А ), |
|
|
(4.100) |
|||
Здесь использовано значение радиуса нейтральной поверх |
|||||||||
ности |
|
|
|
__ |
|
|
|
|
|
|
|
|
р = |
УаЬ, |
|
|
|
(4.101) |
|
следующее из условия непрерывности аг при г = р. Для скоростей перемещений из (4.93) получим
Переходом |
к пределу при t 0 аналогичным образом |
зави |
симость (4.95) |
обращается в тождество, а из (4.97) и |
(4.98) |
паходим |
|
|
|
|
|
|
|
|
М = - j(b — a f, |
N = |
0. |
|
|
(4.103) |
|
Формулы |
(4.99) — (4.103), |
описывающие чистый |
изгиб |
листа |
|||
в предельном иластическом |
состоянии, |
получены |
Р. |
Хил |
|||
лом [171]. |
формулам (4.92), |
(4.94) |
на |
рис. 4.7 для |
б = а/Ь = |
||
Согласно |
|||||||
= 2/3 приведены графики изменения компонент |
напряжений |
||||||
(в долях к) |
по толщине слоя. Соответствующая кривая текучести |
||||||
показана на рис. 4.8. |
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривается напряженное состояние при различных внешних силовых воздействиях идеально жесткопластической несжимаемой среды, имеющей форму конусообразных тел, т. е. тел, очертания которых могут определяться ортогональным пересечением плоскостей, конических и сферических поверх ностей.
Задача об осесимметричном течении пластического материала сводится в конечном счете к системе из двух обыкновенных диф ференциальных уравнений, содержащих ряд произвольных пара метров. Решение этой системы уравнений при соответствующих граничных условиях описывает предельное пластическое состоя ние конических труб под воздействием равномерно распределен ных на внутренней и внешней поверхностях нормальных и ка сательных сил. Исследуется предельное состояние конических и сферических слоев при изгибе и растяжении.
Задача предельного пластического равновесия конической трубы при внутренних и внешних давлениях решена Д. Ивлевым [84]. Такая задача о конической трубе при действии нормальных
и |
касательных распределенных сил рассмотрена |
автором [69]. |
В |
работах Д. Ивлева и Т. Мартыновой [84, 89] |
в сферической |
системе координат исследован класс решений общих уравнений теории идеально жесткопластического течения, характеризующе гося полем скоростей перемещений, пропорциональных радиаль ной координате.
§ 28. Основные уравнения и представления решений
Приводится класс решений общих уравнений теории течения идеально жесткопластической несжимаемой среды в сферических координатах, на основании которых строятся решения конкрет ных рассматриваемых задач [69].
1. Соотношения теории течения идеально жесткопластического тела в сферических координатах в обычных обозначениях имеют следующий вид:
|
дифференциальные уравнения равновесия |
|||||||
<9сг |
|
\ <9т0 |
а |
|
дт |
^ |
- а<р+ тг8ctg0) = О, |
|
аГ + Т “аГ + "г"sinоГ Э и аФ' + Т (2<Тг “ |
||||||||
|
|
|
|
111 |
с/ц> |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
дг.а |
1 |
да, |
|
1 ат8Ф |
|
|
|
|
ге , J_ |
^ 6 , |
|
+ “7 К<*в — Оф) Ctg 0 + Зтг0] = 0, (5.1) |
||||
|
дг |
* |
~ |
ло *1 |
«г,:,■ |
|||
|
|
г |
дО |
г sin 0 сМр |
' г |
|
||
т ? + т т ? + тл п п £ ■+ T (2^ clg0 + 3W = °;
соотношения между компонентами скоростей деформаций и скоростей перемещений
|
ди |
п |
1 |
dw |
w |
л. /л |
I |
i |
dv |
|
|
|
e r ~ ! b ' |
2 Ye<p — — |
30 |
|
r |
ct g 0 + |
FshTeaqT’ |
|
|||||
_ u |
1 dv |
9 |
|
____ 1____du |
|
dw |
w |
|
|
|||
£0 — |
r “Г |
’ |
Yrtp |
— r s -n Q |
"* |
dr |
г |
’ |
\ • ) |
|||
1 |
dw , |
и , |
v , |
n |
о |
|
v . |
i da |
||||
е<р= ГИ1Гёа? + ~ + T ctg0’ |
2Yr<>= |
a7— Г + 7 1 |
; |
|||||||||
условие текучести Губера — Мизеса |
|
|
|
|
|
|||||||
(от — ста)2 + |
(о’е — Оф)- + |
(Оф — ог)2 + |
6 (тге + |
Туф + |
т2ф) = |
6 (5.3) |
||||||
(здесь, как обычно, компоненты напряжений отнесены к пласти ческой постоянной к);
зависимости скоростей компонент деформаций от компонент
напряжений |
(5.4) |
er = X (аг - о) , ..., Tfro = Ятго, |
|
Отметим также условие несжимаемости материала |
|
ег + е0 + е2 = О. |
(5.5) |
Компоненты напряжений, удовлетворяющие условию пластич
ности |
(5.3), можно представить в следующем виде: |
|
|||
|
dr = ore + |
1 |
|
1 |
|
|
-о (ег — е0), |
(Тф = ое -----(ег + 2ее), |
|
||
|
|
|
|
---------------------------------------- |
(5.6) |
|
т« = -£■ Уи, |
й = |
+ |
ere0 + eg + у;0 + Yw + VU- |
|
Здесь |
ij = г0, 0ф, |
гср. Условие |
несжимаемости (5.5) при |
помощи |
|
(5.2 ) можно представить в форме |
|
|
|
|
|
||||
9 |
(иг2sin 0) + |
-jg (rv sin 0) + ^ |
(rw) = 0. |
|
|
(5.7) |
|||
dr4 |
— > 1 |
ae |
|
|
|
|
|
||
Вводя потенциальные функции течения Ф (г, 0, <р) и 4я (г, 0, ф) |
|||||||||
при помощи представлений |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
/дФ |
dV\ |
1 |
5Ф |
1 |
dV |
QV |
|
11 г2 sin 0 [<90 |
д ф ] ’ У |
rsinG |
dr ’ W |
г |
dr 9 |
( ' ) |
|||
тождественно удовлетворяем уравнению (5.7).
Эти потенциальные функции ищем в следующей форме:
|
Ф = Ф0+ Ф{ (г, 6) |
Ч' = Yo + Ч?i (г, 0) |
где |
и V i — произвольные функции г и 0, |
|
Ф0= |
Mr3sin 0 cos((p — cpi) + Cr2 sin2 0 + Nr2sin 0 cos 0 cos(cp — фг), |
|
Ч^о = |
Mr3 cos 0 sin(ф — Ф1) + Dr3sin0 + Nr2 зш(ф — фг). |
|
Здесь M, N, С, D, ц, ф,- — произвольные постоянные. Скорости перемещений будут даны формулами
(5.9)
дф1
V г sine дг + V0'
где обозначено
iio = |
2С cos 0 — 2N sin 0 cos (ф — фг), |
vo = |
—ЗМг cos (ф — Ф1) — 2С sin© — 2N cos 0 соб(ф фг), |
wo = 3Mr cos 0 sin(9 — ф 0 + |
3Dr sin0 + 2N зт(ф — фг). |
|
Компоненты скоростей перемещений представятся в виде |
||
e« = ^v(r, |
в) ет, |
(5.10) |
где |
|
|
|
( 1 |
д%\] |
|
\sin0 |
дг )\ |
Тогда компоненты напряжений (5.6) перепишутся в следую щем виде:
<УТ= ов + 4~(Fr — F0), аф = а0 — (FT+ 2F6),
“ о
Таким образом, представленные компоненты напряжений вы ражаются через неизвестные функции а0, Ф1 и Ч'ь
Подставляя (5.11) в дифференциальные уравнения равнове сия (5.1), приходим к выражению
где Я, Е — произвольные постоянные, а и а — некоторые фикси рованные значения г и 0 соответственно, и к системе дифферен
циальных уравнений |
1 |
(5.13)
в конечном счете относительно функций Ф\(г, 0) и Ч/ i(r, 0). Таким образом, приведенные компоненты напряжении (5.11),
(5.12) и скоростей перемещений (5.9) выражаются через неиз вестные функции Oi и 4я 1, определяемые из системы дифферен циальных уравнений (5.13) при соответствующих заданных грапичных условиях.
2.В дальнейшем будем рассматривать случай
Ф[ = |
гЛ+2/(0) sin. 0, |
4Fi = ?A+2i|)(0)sin 0, |
(5.14) |
|||
где /(0) п г|)(0) — произвольные функции, |
а К — постоянная. Тог |
|||||
да будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
F u = 7Л-'О)У(0), |
|
|
||
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
(Or = А,(/' + |
/ ctg 0 - (if), |
©в = - (А, + |
1) /' + / ctg 0 - |
цф, |
||
2©re = /" |
+ |
(/ ctg 0)' - |
(X - |
1) (А, + 2) / — Ц1|/, |
|
|
2(0Гф= (А, + 2) (А, — 1) t sin 0 + |
(/' + / ctg0—цг|)). |
Компоненты напряжений (5.11), (5.12) приобретают следую
щую форму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Or = |
OQ + |
-jj- [(2А, + 1 ) /' + (Я — 1) / ctg 0 |
(A, |
1 ) р/ф1, |
||||||||
Оф = |
ae + |
^ ^ ~ (/' — / ctg 0 + |
|i\|)), |
|
|
|
|
|||||
cre = н + 2£cp + |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||
G In r - |
4 |
f [/" + |
( / ctg 0)' - |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— (A, + |
2) (A, — 1 ) / — цл|/] |
+ (A, + |
2) J (/' — / ctg 0 + |
|M|J) ctg 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
T>-e = |
si- I f + |
(/ ctg 0)' — (А, — 1) (A, + 2) / - |
И>'], |
|
||||||||
T04> = |
1 &Г |
sin 0 ~ |
sinV )’ |
|
|
|
|
|
|
|||
тгч> = |
2ш [isInTT ^ |
/ C*Sв — H1!5) + |
(A- — 1 ) (A. + |
2) \|>sinej, (5.15) |
||||||||
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
СО = |
COr + |
0)г(0з + COQ + |
COr0 + |
(Оуф + |
(Огф. |
|
||||
Подставляя значения функций Ф 1 и |
из |
(5.14) |
в (5.9), для |
|||||||||
скоростей перемещений находим |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
и = |
но + r*ew(/' + |
/ ctg 0 — рд|)), |
|
|
|||||
|
|
|
v = |
v0- ( k |
+ 2) * W , |
|
|
|
(5.16) |
|||
w — wo + (X + 2 ) тАемфф sin 0.
Система дифференцпальных уравнений (5.13) сводится к сле дующей системе из двух обыкновенных дифференциальных урав нений:
{si££ [f„ + (/ ctg 0), _ (Х _ 1} {К + 2) f _ щ ,']}' +
+ — [(/ sin 0)' — рд|)sin 0] + G sin 0 = 0,
■Угг f i r to»'sin26 - м)] |
+ 4 " ffiУ + f ctg 0 “ И*) + |
1 ^ |
+ |
(Я — 1 )(А + 2) ф sin20J + 2£ = |
0. |
Таким образом, рассматриваемый класс течений пластической среды представляется решением (5.15), (5.16), содержащим про извольные функции / ( 0), if)(0) и ряд произвольных постоянных. Эти функции и параметры определяются из системы дифферен