книги / Оболочки и пластины

для защемленных кромок.

В случае малых k для получения -решения уравнений (3,10,14) в [99] используется метод возмущений по параметрам. В качестве таких параметров принимается k и величина, пропорциональная прогибу в центре сегмента, после чего решение ищется в виде

уравнения равновесия (3,10,11) и граничные условия (3,10,12) преобра­ зуются к виду

&

drf

при защемлении кромок.

Следующую систему двух уравнений получим, положив в (3,10,19)

f = (0,981 + 9,421 • 10~2*2 + 7,107-10-5^ —4,037- 10-8A6t+ 1,587- 10-11*8 —

— 4,426 • Ю"15*10) 10 — (0,269* + 7,552 -10"4*3 — 2,153 - 10"6*Б) Ц +

при граничных условиях (3,10,18) для защемленных кромок. Получен­ ное решение по методу разложения основных величин в ряды по сте­ пеням малых параметров — параметра кривизны сегмента k и пара­ метра прогиба — отношения прогиба в центре мало изогнутой пластины к ее толщине g,— можно сравнить с решением, полученным методом Бубнова—Галеркина с выбором аппроксимирующей форму прогиба функции в виде

при условиях (3,10,17) и 1=%о(т\— I)2 при условиях (3,10,18). Эти ретения будут иметь вид соответственно

§ 11. СПОСОБЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ РЕШЕНИЙ. ПРИЕМ В. И. ФЕОДОСЬЕВА

1. Оценка приближенных решений

Методы Ритца—Тимошенко и Бубнова—Галеркина дают прибли­ жение сверху к собственным значениям. Метод последовательных при­ ближений дает возможность двусторонней оценки. Рассмотрим его на примере уравнения колебания пластины [106]

(3,11,1) произвольно выбранную функцию wi(x, у) и построив интеграл полученного уравнения w2(x, у), удовлетворяющий граничным условиям, подставим его в правую часть уравнения (3,11,1). Интегрируя это урав­ нение, получим новое решение Шз(х, у), удовлетворяющее граничным условиям, и т. д. Таким образом, получаем последовательность функ­ ций wu w2, ш3, ..., которая стремится к одной из собственных функций рассматриваемого уравнения.

Напомним, что собственными называются функции, удовлетворяю­ щие уравнению и граничным условиям в предельных задачах. Каждой из таких функций отвечает [107] определенное собственное значение у. уравнения. Наименьшее х>0 определяет ту нагрузку, при которой впер­ вые становятся возможными две формы равновесияг Соответствующее

взятого для какой-либо точки пластины.

Сходимость процесса последовательных приближений можно пока­

где X п разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по соб­ ственным функциям уравнения (3,11,1):

Числитель второй дроби в правой части меняет знак в области Q, так как

L

Знаменатель той же дроби положителен, поэтому вся дробь изменяет знак внутри Q. Отсюда следует

Полагая u = wn+1, имеем v 2V 2ffiW i = kpwn, откуда

Здесь Wi>0, так как функция Грина положительная. Для получения нижней оценки неравенство (3,11,8) удобно использовать и при пря­ мых методах. За функцию и ,в этом случае принимают соответствующее приближенное выражение собственной функции. Пример использования неравенства (3,11,8) можно найти в [106].

2. Способы выделения главной части решения

Опишем другой вариант метода последовательных приближений, известный'в литературе как метод Ньютона—Канторовича [109].

Сущность метода, применяемого к решению весьма общих нели­ нейных задач, состоит в представлении искомой функции в виде суммы двух слагаемых, одно из которых считается известным и представляет собой найденную каким-либо способом главную часть решения, а дру­ гое слагаемое является искомой малой поправкой, причем последнюю ввиду малости можно приближенно найти из линеализированного урав­ нения.

При изложении этого метода применительно к задаче о больших прогибах пологой оболочки будем следовать М. С. Корнишину [108].

Пусть требуется решить систему нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих оболочек:

DV2V25 - Ф«А§- ?yt$ + 2<fxyk°i2 - 4°xxwyy- 4?yywxx + 2cp%wxy = A2 + 02.

(3.11.15)

Подставляя (3,11,13) в граничные* условия (3,11,12), будем иметь

Рассматриваемый вариант метода последовательных приближений сходится весьма быстро, поскольку уже на первом шаге получается ре­ шение с погрешностью второго порядка относительно искомых попра--

вок.

Принимая далее в качестве ф° и w° результат предыдущего при­ ближения, т. е. выражения фМ и ссК1), и повторяя цикл необходимое число раз, получим решение с любой наперед заданной точностью. В ряде случаев при решении нелинейных задач изгиба пластин и обо­ лочек достаточная для практических целей точность может быть до­ стигнута уже на первом шаге, если главная часть решения выбрана достаточно хорошо.

Ф°, а из (3, 11, 11) функцию распределения нагрузки р°. В этом случае Ai =0, &2= р —р°.

при нагружении ее равномерно распределенным по выпуклой стороне давлением q имеет вид

поворота нормали; Qk— угол наклона дуги меридиана недеформированной оболочки при г= а, штрих означает дифференцирование по р.

Вводя в качестве параметра высоту купола Я, преобразуем урав­ нения к виду

Да. Суммируя найденные приращения функции с их предыдущими зна­ чениями, продолжаем процесс интегрирования до значения р= 1. На контуре должны соблюдаться условия полного защемления, т. е.

Последнее условие соответствует условию запрещения радиального пе­ ремещения. Для того чтобы эти условия выполнялись, необходимо со­

ответствующим образом подобрать величины UQ и VQ, ч т о достигается путем последовательного интегрирования уравнений (3,11,27) и анализа

выходных величин 0p=i = 0* и zp==i = zk. Сначала для общей ориенти­ ровки, задаваясь параметрами 2 H / h и <7о, проводим многократное ин­

тегрирование при различных значениях и0 и v 0 и на плоскости uQv 0 по­

лучаем две кривые (рис. 3.19). Одна кривая соответствует тем значе­

кривых дают искомые значения и0 и но. Число точек пересечения равно числу форм равновесия при задан­

ном давлении qo. На рис. 3.19 циф­ рами У, 2 и 3 отмечены соответству­ ющие точки на плоскостях перемен­

ки У. Далее, совмещая Л с У' и уменьшая в несколько раз Аи0 и A v 0, продолжаем процесс приближения до тех пор, пока разность двух по­ следовательных приближений не станет меньше наперед заданного числа.

Чтобы избежать громоздкого обзора плоскости и0, Vo, точка опре­ делялась последовательно для разных q0, начиная с ?о= 0. При измене­ нии q0 точка У смещается, но можна выбрать Aqo так, что точка У остается в поле действия интерполяции.

Таким образом находятся траектории точек 1, 2, 3 в зависимости от qQ. Вблизи критических состояний точки У, 2 и 3 сближаются, а за­ тем становятся кратными. Здесь линейная интерполяция не дает ре­ зультата и вводится квадратичная интерполяция. В зоне близко рас­

«ловушку», определяем зависимость критического давления от высоты купола (рис. 3.24).