книги / Оболочки и пластины

где

Граничные условия будут удовлетворены, если комплексную функ­ цию F представить в виде двойного тригонометрического ряда:

Соотношения (3, 2, 24) и (3, 2, 26) дают возможность определить выражения для усилий и кривизн:

Используя (3, 2, 30) и (3, 2, 31), находим прогиб

где

«тл (*) = almn Ч- 0 • п2, Ьтп(*) = 2еп2/ т .

Если сила Р приложена в середине пролета, то go = £i/2. Введем безраз­ мерную величину, связанную с максимальным прогибом:

рис. 3.11 и 3.121.

В качестве конкретных ортотропных материалов брались стеклопла­ стики КАСТ-В, ФН, СК-9Ф, СВАМ (1:1). Волокна основы располагались либо в продольном направлении, либо в поперечном. Для получения ре­ зультатов с более широким диапазоном изменения отношения Е^Е\ вво­ дился специальный модуль сдвига G0, равный

0 УЁ&

2(1+ / у л )

При этом в исходных уравнениях исчезали члены, содержащие комплекс­ но-сопряженную функцию. Вычисления показали, что при параметрах у>100, £i>3 введение G0 при определении w 0 дает погрешность не более 5%. Кривые на рис. 3.11 и 3.12 свидетельствуют о значительном влиянии ортотропии материала на прогибы оболочки. При фиксированных зна­ чениях у прогибы оболочки получаются тем меньше, чем больше отно­ шение Е2/Е1. Отсюда следует, что для замкнутых цилиндрических оболо­ чек любой длины выгоднее иметь большую жесткость в поперечном на­ правлении [29, 40].

1 Эти результаты опубликованы в работе [40].

Для изотропной цилиндрической оболочки система уравнений (3, 2, 20) сводится к известному уравнению В. В. Новожилова [51]

Функция Т (|, ф) связана определенными дифференциальными соотноше­

ниями с комплексными усилиями Ти Т2 и S. Рассмотрим конкретную задачу о действии на длинную замкнутую цилиндрическую оболочку двух равных по величине и противоположных по направлению радиальных

сосредоточенных сил, приложенных по концам одного диаметра (рис. 3.13). Для решения этой задачи применялись различные подходы [19, 32, 34, 48_50]. Мы будем придерживаться метода, изложенного в

работе [19].

Внешняя нагрузка, действующая на оболочку, в данном случае имеет

т = — оо

Используя свойство (3, 2, 18), периодическую дельта-функцию (3, 2, 36) можно представить в виде

6я (Е-!',<Р) = 6( £ - П £ 6 ( ф - т я ) .

т = —оо

Заменяя бесконечную сумму, стоящую в правой части этого равен­ ства, эквивалентным тригонометрическим рядом [52]

10 п. М. Огибалов, М. А. Колтунов

Это уравнение будем интегрировать с помощью преобразования Фурье

учитывая при этом, что (52]

&{ Ь } = \.

Применяя преобразование (3, 2, 43) к уравнению (3, 2, 42) и пере­ ходя к интесралу обращения, получаем

В точках P = P JTO= —pj+2,m на плоскости комплексного переменного р подинтегральная функция (3, 2 , 45) будет иметь полюсы первого поряд­

ка. В этом случае ее вычеты будут определяться по формуле (53]

Таким образом, решение уравнения (3, 2 , 39) построено в форме ряда (3, 2 , 41) с коэффициентами (3, 2 , 48) . Величины pjm затабулированы в

работе (19].-

4.Асимптотические формулы

Впредыдущем пункте решения задач о действии сосредоточенных сил ьна цилиндрическую оболочку были получены в форме одинарных или двойных тригонометрических рядов. Для вычисления прогибов такие решения вполне приемлемы. Однако при вычислении усилий и моментов приходится сталкиваться с расходимостью рядов в точке приложения сосредоточенной нагрузки. Выход из этого положения лежит на пути вы­ деления особенности и установления так называемых асимптотических формул, которые характеризуют поведение усилий и моментов в окрест­ ности особой точки. В. М. Даревский [21], а затем А. С. Христенко [22—24] для вывода асимптотических формул использовали прием рас­ щепления тригонометрического ряда на два ряда с ограниченной и не­ ограниченной суммами, причем это расщепление производилось так, что сумму второго ряда удавалось представить в видё конечной комбина­ ции элементарных функций. Мы изложим здесь другой способ вывода асимптотических формул, развитый для ортотропных цилиндрических оболочек в работах Ю. П. Артюхина [54—55], а для изотропных оболочек

вработе Ю. П. Жигалко [38].

Рассмотрим уравнение

где ь ( ---- , -----\ — линейный однородный дифференциальным Ъператор

Любое частное решение уравнения (3, 2, 52) называется фундаменталь­

ным.

Фундаментальное решение может быть определено лишь с точ­ ностью до слагаемого, являющегося решением однородного уравнения. Решение уравнения (3, 2, 52) можно найти методом разложения 6-функ­ ции на плоские волны. Это решение имеет вид [52]

(3,2,53)

где

т] = х cos Р + у sin Р — функция плоской волны.

С помощью подстановки

ц = р cos (Р — а),

р2 = х2 + у2\ а = arc tg

интеграл (3, 2, 53) преобразуем к виду

о