книги / Оболочки и пластины

1

§ 22. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ А. А. ИЛЬЮШИНА

Поведение упруго-пластической среды под нагрузкой в отличие от упругой характеризуется нелинейностью диаграммы а ~ е (рис. 2.20).

Растягивая образец при напряжениях выше предела упругости, мы обнаруживаем значительное искривление линии о—е, так что при изме­ нении деформации от предельной упругой GJ E д о (2~3) ое/Е тангенс

угла наклона касательной к линии о— ё изменяется от величины-^- = Е

J • de

до величины, в десятки раз меньшей модуля упру­ гости Е , или даже становится равным нулю. В по­ следнем случае говорят, что материал имеет пло­ щадку текучести, и соответствующее значение напряжения os называют пределом текучести.

Если в некоторой точке А диаграммы GA > OS прекратить растяжение образца и произвести раз­ грузку, то график зависимости напряжения от де­ формации в процессе разгрузки будет представ­ лять прямую линию АО\ параллельную начально­ му участку ОЕ, причем когда осевое напряжение будет полностью снято, относительное удлинение в масштабе диаграммы равно отрезку ОО'. Удли­ нение образца, которое он сохраняет при полной

разгрузке, называется остаточной, или пластической, деформацией, соот­ ветствующей напряжению оА-

Состояние образца при полной разгрузке (точка О' на рис. 2.20) можно принять за новое естественное его состояние. Если произвести новое (нагружение образца из состояния О', то график сначала пойдет по той же линии О'Л, которая описывает процесс разгрузки.

Таким образом, можно утверждать, что разгрузка и повторное на­ гружение являются чисто упругими процессами. Поскольку величина ал больше первоначального предела упругости ае, мы отмечаем повышение предела упругости по мере роста пластической деформации. Это явле­ ние называется упрочнением, или наклепом.

Точка А есть совершенно произвольная точка на диаграмме растя­ жения, и потому можно считать, что всякому напряжению а на кривой о—е соответствует деформация е, состоящая из двух частей: пластиче­

Зависимость о—е, установленную диаграммой растяжения, будем записывать для активного нагружения в виде [15] (рис. 2.20)

причем функция Ф(е) обладает следующим свойством:

еде

Процесс разгрузки описывается уравнением

Дадим ряд определений, которые понадобятся в дальнейшем. Интенсивностью касательных напряжений называется положитель­

ная величина, квадрат которой с точностью до постоянного множителя равен второму инварианту девиатора напряжений:

где ах= о Хх, •••» Tzx — компоненты тензора напряжений, оь аг, аз — глав­ ные напряжения. Вместо интенсивности касательных напряжений часто рассматривают эквивалентную ей величину, называемую интенсивно­ стью напряжений:

касательным напряжением на площадке, наклоненной под одинаковым углом к трем главным осям.

Вместо интенсивности деформаций сдвига часто рассматривается величина, называемая интенсивностью деформаций:

т. е. при постоянной нагрузке происходит увеличение деформации с по­ стоянной скоростью и имеет место установившаяся .неограниченная ползучесть при любых, даже малых, постоянных напряжениях. В то же время известно, что для большинства конструкционных материалов при относительно небольшом постоянном напряжении деформации затуха­ ют, приближаясь к.некоторой постоянной величине.

Если теперь в (2,23,2) положить е= 0, то получим

а = Ее == const.

Иными словами, в теле Фойхта отсутствует релаксация напряжений, что находится © противоречии с опытными фактами. Таким образом, имеется качественное несоответствие между законами (2,23,1) и (2.23.2) и реальной действительностью. Законы Максвелла и Фойхта можно рассматривать лишь как первые попытки построить математи­ ческую зависимость между напряжениями, деформациями и временем. Применение уравнений (2,23,1) и (2,23,2) *в современной литературе используется для качественного описания отдельных явлений в упруго­ вязких средах. Например, модель Максвелла качественно верно описы­ вает процесс релаксации напряжений, а модель Фойхта — процесс пол­ зучести.

Несколько лучшее качественное отображение реального процесса деформирования во времени дает общее операторное уравнение Алфрея

коэффициентами. Эти коэффициенты являются константами материала. Подробное рассмотрение закона (2,23,3) можно найти в монографии [103]. Мы не будем останавливаться на этом, поскольку уравнение (2.23.3) — частный случай более общей линейной теории наследствен­ ности.

Связь между напряжениями, деформациями и временем задается в линейной теории наследственности линейными интегральными соотно­ шениями

моменту t, на деформацию в момент t, K(t—s) — ядро ползучести, т. е. функция, выражающая влияние деформации .в момент 5 на напряже­

ние в момент t.

Уравнение (2,23,4) отображает процесс ползучести под действием заданного напряжения а(/), уравнение (2,23,5)— процесс релаксации при заданной деформации е(0- Считается также, что до момента вре­ мени / = 0 материал не подвергался нагружению и деформированию. Например, можно считать, что материал (или образец) изготовлен в момент / = 0.

При /= 0 уравнения (2,23,4) и (2,23,5) превращаются в уравнение

а (0) = £ е(0).

Отсюда ясен физический смысл константы Е — это модуль упругости при нагружении образца с «бесконечной» скоростью.

Уравнение (2,23,4) можно рассматривать как линейное уравнение Вольтерра II рода относительно неизвестной функции a{t). Тогда урав­ нение (2,23,5) можно рассматривать как решение уравнения (2,23,4),

а ядро R(t—s) как резольвенту ядра K(t—s). Разумеется, справедливо

иобратное утверждение, а именно равенство (2,23,4) является реше­ нием интегрального уравнения (2,23,5) относительно неизвестной функ­ ции e(i), а ядро K(t—s) — резольвентой ядра R ( t— s ).

От правильного-выбора ядер R(t) и К (t) и определения их параметров зависит точность решений задач о поведении конструкций под нагруз­ кой 'во времени.

(2,23,3). Для доказательства достаточно продифференцировать уравне­ ние (2,23,5) п раз и исключить интеграль­

чаются в том, что опытные данные по различным материалам дают кри­ вую изменения скоростей деформации при постоянной нагрузке, асимп­ тотически приближающуюся к обеим осям (рис. 2.21). Такая кривая не может соответствовать никакому закону деформирования, данному в форме (2,23,3) с конечными постоянными коэффициентами.